2.2 基本不等式课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高中数学必修第一册 2.2 基 本 不 等 式 学习目标 能推理得到基本不等式，并理解几何意义； 掌握应用基本不等式求最值的两种模型；（重难点） 会利用基本不等式判断不等式关系及比较大小； 能应用基本不等式解决简单的实际问题，并证明不等式。（难点） 旧知回顾 特别地， 对于任意有 当且仅当时，等号成立。 如果我们用,分别代替上式中的，可得 当且仅当时，等号成立。 基本不等式 讲授新知 如果可得 当且仅当时，等号成立。 基本不等式 正数的算术平均数 正数的几何平均数 讲授新知 能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式？ 故 （当且仅当a=b时，等号成立） 要证 当且仅当a=b时，不等式中的等号成立． 只要证 只要证 只要证 显然上式成立． 只要证 分析法 探 究 在图2.2-1中，是圆的直径，点是上一点，，过点作垂直于的弦，连接.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 图 2.2-1 如图2.2-1，可证△ACD∽△DCB，从而有因而CD= ，又圆的半径为 。由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 . 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立． 随堂练习 1.（多选）下列说法正确的是 ( ). A. 对于， 成立 B. 若且，则 C D.若，则中可以取等号 B C 重要不等式与基本不等式的异同 重要不等式 基本不等式 不等式 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a=b 例题解析 例1 已知,求的最小值. 解：因为, 所以 , 当且仅当， 即 ，等号成立， 因此所求的最小值为2. 思考 当 时,求的最大值. 一正 二定 三相等 思维提升 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正； 二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值（恰当 变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧）； 三是考虑等号成立的条件是否具备。 以上三点缺一不可 例题解析 例2 已知都是正数,求证： 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值. （2） 如果和等于定值,那么当时，积有最大值. 解：因为都是正数, 所以 . (1)时, 所以 . （1） 如果积等于定值,那么当时，和有最小值 例题解析 例2 已知都是正数,求证： （2） 如果等于定值,那么当时，积有最大值. 解：因为都是正数, 所以 . (2)时, 所以 . 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值. 思维提升 （2） 如果和等于定值,那么当时，积有最大值. （1） 如果积等于定值,那么当时，和有最小值 积定，和最小 和定，积最大 基本不等式的推广：当时,. 随堂练习 2. (1)已知,则的最小值为 . (2)已知,则的最大值为 . 12 2 解： 因为， 所以 解： 因为， 所以 当且仅当， 即 时等号成立. 因此所求的最小值为12. 当且仅当， 即 时等号成立. 因此所求的最大值为2. 随堂练习 3. 已知,求的最小值. 解： 因为 ， 所以 当且仅当 ， 即时，函数有最小值，最小值为3. 积定，和最小 配凑 积为定值 随堂练习 4. 已知,求的最大值. 解： 因为 ， 所以 当且仅当 ， 即时，函数有最大值，最大值为. 和定，积最大 配凑 和为定值 所以 ， 课后小结 重要不等式 基本不等式 不等式 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a=b 2.利用基本不等式求最值时，需满足: 3.已知x ，y都是正数， (1)若xy 等于定值P，那么当x =y时，x +y取得最小值 ； (2)若x +y等于定值S，那么当x =y时，xy 取得最大值 . 一正 二定 三相等 （积定值和最小） （和定值积最大） 课本： P46 15 习题2.2 1.2. 课后作业 $