第26章  反比例函数-2025-2026学年九年级数学下册练培优（人教版）

同步培优A本@第26章反比例函数 26.1反比例函数 课时1反比例函数的图象和性质 1.[2025河北中考]在反比例函数y=中，若2<y<4,则( Aisx<1 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 2.[2025泉州期中]在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1与y=-(k为常数且k≠0)的 图象大致是( 齐 3.[2025内蒙古中考]已知点A(m,y1),B(m+1,y2)都在反比例函数y=-3的图象上，则下 列结论一定正确的是() A.y1>y2 B.y1<y2 C.当m<0时，y1<y2 D.当m<-1时，y1<y2 4.[2025广西中考]如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴 平行或垂直，且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=的一支上.若点A 的坐标为(4，)，则第三级阶梯的高EF=（) Y D B A.4 B.3 c D月 3/48 同步培优A本@第26章反比例函数 5.[2025武威模拟]已知点A(x1vy1),B(x2,y2)都在反比例函数y=6的图象上，若x1x2=-3, 则y1y2的值为 6.[2025河南中考]如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC,BD 相交于点E，反比例函数y=(x>0)的图象经过点A· 6 3 2 B 012345678910克 (1)求这个反比例函数的解析式： (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 7.[2025福建中考]如图，在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y=的图象与⊙0交于A,B 两点，且点A,B都在第一象限.若A(1,2),则点B的坐标为. 4/48 同步培优A本@第26章反比例函数 26.1反比例函数 课时2反比例函数图象和性质的应用 1.[2025漯河期末]如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线， 分别交反比例函数y=(x>0),y=-(x>0)的图象于点A,B.若C是y轴上任意一点，则 △ABC的面积为() 0 6 y=- B A.9 B.6 c D.3 2.[2025毫州谯城区二模]如图，一次函数y=x-2的图象分别交x轴、y轴于点A,B，P 为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=(k>O)的图象于点Q, Spoc=2则PQ的长是( C.4 D.6 k 4 B P B 第2题图 第3题图 3.[2025十堰月考]如图，平行四边形0ABC的顶点0，B在y轴上，顶点A在y=(k1<0)的 图象上，顶点C在y=(k2>0)的图象上，则平行四边形 OABC的面积是() A.-2k1 B.2k2 C.ki+k2 D.k2-k1 5/48 同步培优A本@第26章反比例函数 4.[2025东营中考A卷]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函 数y2=m的图象相交于点A和B(-4,-3),点A的横坐标为2. (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)观察图象，直接写出当y1≤y2时，x的取值范围： (3)点C为x轴上一动点，连接AC,BC,若△ABC的面积为18，求点C的坐标. 5.几何直观在平面直角坐标系中，直线：y=kx-k+4与反比例函数y=(m≠0，x>0) 的图象交于点A(1,4)· (1)求m的值. (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线l与函数y=(m≠0，x>0)的图象所围成的 区域（不含边界）为W.点B(n,1)(n≥4，n为整数)在直线l上. ①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数： ②当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值. 6. 4 3 01234567x 备用图 6/48 同步培优A本@第26章反比例函数 反比例函数中的数学思想方法 1.[2025广州中考]函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示，当y1,y2均随着x的增 大而减小时，x的取值范围是() A.x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D.x>1 012 y 2.[2025浙江中考]反比例函数y=4的图象上有P(t,y1),Q(t+4,y2)两点.下列正确的选项 是() A.当t<-4时，y2<y1<0 B.当-4<t<0时，y2<y1<0 C.当-4<t<0时，0<y1<y2A D.当t>0时，0<y1<y2 3.[2025杭州滨江区期末]己知关于x的函数1=兰2=：，为=x+6(k,为常数，k≠b 且kb≠0)，则下列说法正确的是() ①函数y3与y1,y2图象的总交点至少有两个； ②当k>-时，函数y2和y3的图象有两个交点： ③当k=-时，函数y2和y3的图象只有一个交点： ④无论k,b取何值，函数y1和y3的图象始终有两个交点. A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④ 7/48 同步培优A本@第26章反比例函数 一题练透 反比例函数的图象和性质的综合应用如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，OA=2, OC=3,E是AB的中点，反比例函数的图象过点E且与BC相交于点F. B 0 A (1)反比例函数的解析式是 (2)反比例函数图象的另一支位于第象限，点（一1，一2）（填“在”或“不在”） 这个函数的图象上 (3)己知点(3，y1),(-2y2),(-3,y3)都在这个反比例函数的图象上，写出y1,y2,y3的 大小关系： ·(用“<”连接) (4)P是这个反比例函数图象上的一点（不与点F重合），若OF=OP,求点P的坐标. (5)连接OE,OF,则四边形OEBF的面积为 (6)Q为y轴上一动点，当QE+QF的值最小时，直接写出点Q的坐标. 8/48 同步培优A本@第26章反比例函数 26.2实际问题与反比例函数 课时1反比例函数在现实生活中的应用 1.[2025宁德期末]某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四 所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数 x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四 所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是() 丙 丁 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积S(mm)的反比 例函数，其图象经过A(4,30),B(2,b)两点（如图)，则下列说法错误的是( A.y与S之间满足的函数解析式为y=(S>0) m 100H 80 B.点B的坐标为(2,60) C.若面条的总长度为100m,则面条的横截面面积为1.2mm2 012345Sm D.若面条的横截面面积不超过0.8mm2,则面条的总长度不超过150m 3.[2025杭州一模]某口服液生产企业于2024年1月份开始技术改造，其月生产数量y(万支) 与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后 是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题. (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ /万支 180 60 45 9/48 同步培优A本@第26章反比例函数 4.[2025大连]某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知某次消毒过程中，消毒 水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y(单位：效力)与时间x（单位：分)呈现 三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一 部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列问题： (1)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数解析式. (2)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问，本次消毒是否有 效？ y效力 6---- B以 31 D A1030 x/分 10/48 同步培优A本@第26章反比例函数 26.2实际问题与反比例函数 课时2反比例函数在其他学科中的应用 1.[2025扬州期末]琪琪新买了一盏亮度可调节的台灯（如图)，他发现调节的原理是当电压 一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I(A)与电阻R(2)满 足反比例函数关系，其图象如图所示.若该台灯工作的最小电流为0.1A,最大电流为0.6A, 则该台灯的电阻R的取值范围为 0.2- 》 1000R/2 2.[2025杭州余杭区期末]如图是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔 民赶海时的效率.已知人和“木海马”对滩涂的压力F(N),“木海马”的底面面积S()与人 和木板对滩涂的压强p(P)满足关系：F=pS,若人和木板对滩涂的压力F合计为700N· (1)用含S的代数式表示p· (2)当“木海马”的底面面积为1.42时，人和木板对滩涂的压强是多少？ (3)若要人和木板对滩涂的压强不超过2500Pa,则“木海马”的底面面积至少需要多少平 方米？ 11/48 同步培优A本@第26章反比例函数 3.[2025南平期末]如图1，某实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活 塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气.某同学试着 放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到4组数据（如下表）· 该同学经过分析数据发现，h与对应的m成反比例关系. 重物 门▣ 托盘 重物质量m/g 2 3 4 6 活塞 空气 活塞与桶底的距离h/cm 24 16 12 筒底 图1 (1)计算：t= (2)请你以的值作为一个点的横坐标，对应的h值作为该点的纵坐标，利用表中数据得到 4个点的坐标，将这4个点描在如图2所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接. hlem 28. 24. 20. 12 8------+------ 4 r--t 0123456789mg 图2 (3)要使活塞与筒底的距离h满足10≤h≤20时，求出m的取值范围. 12/48同步培优A本@第26章反比例函数 26.1反比例函数 课时1反比例函数的图象和性质 1.[2025河北中考]在反比例函数y=4中，若2<y<4,则( AiSx<1 B.1<X<2 C.2<X<4 D.4<x<8 答案：B 解析：：在反比例函数y=中，k=4>0,·在每个象限内，y随x的增大而减小，当2< y<4时，<x<21<x<2. 2.[2025泉州期中]在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1与y=-(k为常数且k≠0)的 图象大致是( 答案：A 解析：通解对k分类讨论如下： y=kx+1 y=-kx 结论 k>0 图象经过第一、第二、第三象限 图象位于第二、第四象限 排除选项C k<0 图象经过第一、第二、 第四象限 图象位于第一、第三象限 排除选项B,D 3.[2025内蒙古中考]已知点A(m,y1),B(m+1,y2)都在反比例函数y=-三的图象上，则下 列结论一定正确的是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.当m<0时，y1<y2 D.当m<-1时，y1<y2 答案：D 解析：对于反比例函数y=一三在每个象限内，y随x的增大而增大，且第二象限的函数值大 于第四象限的函数值.：m<m+1,当m<m+1<0时，即m<-1时，y1<y2:当0<m< 3/80 同步培优A本@第26章反比例函数 m+1时，即m>0时，y1<y2;当m<0<m+1时，即-1<m<0时，y1>y2.综 上，只有选项D正确 4.[2025广西中考]如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴 平行或垂直，且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=《的一支上.若点A 的坐标为(4，)，则第三级阶梯的高EF=（) 0 A.4 B.3 c 答案：B 解析：：点A(4,)在双曲线y=上，k=4×=6,y=:“双曲线阶梯”ABCDEFG 的所有线段均与x轴平行或垂直，且BC=DE=FG=1,·.点E的横坐标为4一1-1=2， 点G的横坐标为2-1=1，·点E的纵坐标为=3，点G的纵坐标为=6，EF=6-3=3. 5.[2025武威模拟]已知点A(x1y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=的图象上，若x1x2=-3, 则y1y2的值为. 答案：-12 解折：：点A(xy),BCx2,y2)都在反比例函数y=的图象上，=导2=号x12=-3, x2 y1y2=。.6=36=36=-12. X1 x2 X1X2 3 6.[2025河南中考]如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC,BD 相交于点E，反比例函数y=《(x>0)的图象经过点A· 4/80 同步培优A本@第26章反比例函数 Y 6 3 2 012345678910x (1)求这个反比例函数的解析式： 解：：反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(3,2),2=，k=6, ·反比例函数的解析式为y=(x>0). (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象： 解：作图如图所示 7 6 5 3 2 B 0 1 2345678910x (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 答案：员 7.[2025福建中考]如图，在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y=的图象与⊙0交于A,B 两点，且点A,B都在第一象限.若A(1,2),则点B的坐标为 B 0 5/80 同步培优A本@第26章反比例函数 答案：(2,1) 解析：通解如图，设直线y=x与AB交于点E,且点E在第一象限，过点A作AC1y轴于点C, 过点B作BD1x轴于点D,连接0A,OB,则AC=1,0C=2.:反比例函数y=k的图象、⊙0 均关于直线y=x成轴对称，·点A,B关于直线y=x对称，·∠AOE=∠BOE,:∠AOC=∠BOD 又：∠AC0=∠BD0=90°，OA=OB,∴.△B0D≌△A0C,·BD=AC=1,OD=OC=2, .B(2,1). 6/80 同步培优A本@第26章反比例函数 26.1反比例函数 课时2反比例函数图象和性质的应用 1.[2025漯河召陵区期末]如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平 行线，分别交反比例函数y=(x>0),y=-x>0)的图象于点A,B.若C是y轴上任意一 点，则△ABC的面积为（) 3 P 、6 /B A.9 B.6 c. D.3 答案：C 3 A D 6 B 解析：如图， 在y轴上找一点C,连接AC,BC,OA,OB.'C是y 轴上任意一点，AB/y轴，·SaA0B=SAARC:Sa40P=号×3=号，SaB0P=×|-6l=3, SAAOB=SAAOP +SABOP=+324SAABC=2 2.[2025毫州谯城区二模]如图，一次函数y=x-2的图象分别交x轴、y轴于点A,B，P 为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=(化>0)的图象于点Q, Sac=号则PQ的长是() 7/80 同步培优A本@第26章反比例函数 0 C 刀 B A号 B号 C.4 D.6 答案：B 解析：：一次函数y=x-2的图象分别交x轴、y轴于点A,B，A(6,0,B(0,-2).PC 是△AOB的中位线，C是线段0A的中点，即C(3,0),PC=1.PC//y轴，QP1x轴，·.点 Q的横坐标为3，设其纵坐标为y,则0C·y=即×3y=解得y=Q3,),PQ +1- 3 3.[2025十堰月考]如图，平行四边形0ABC的顶点0，B在y轴上，顶点A在y=(k1<0)的 图象上，顶点C在y=经(k2>0)的图象上，则平行四边形 OABC的面积是( k.y B A.-2k1 B.2k2 C.k1+k2 D.k2-k1 答案：D 解析：思路：过点A作AE1y轴于点E,过点C作CDLy轴于点D,根据反比例函数中比例系 数k的几何意义，可得S△MBE=S△coD=k2,S△cBD=SAAOE=引k,进而可得平行四边形 8/80 同步培优A本@第26章反比例函数 OABC的面积. B E 如图， 过点A作AE1y轴于点E,过点C作CD⊥y轴 于点D,·∠AEB=∠CDO=90°.由四边形OABC为平行四边形，可得LABE=∠COD,AB= C0,△ABE兰△C0D,SAABE=SACOD.:点C在y=的图象上，SAABE=SACOD=Ik2, 同理可得，S△cD=SA4e=k1，平行四边形0ABC的面积为2(k2+kD=k2+ lk=k2-k1· 4.[2025东营中考A卷]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函 数y2=”的图象相交于点A和B(-4,-3),点A的横坐标为2. (1)求反比例函数和一次函数的解析式： 解：：点B(-4,-3)在反比例函数y2=四的图象上，m=(-3)×(-4)=12,÷反比例 函数的解析式为y2=兰.：点A的横坐标为2，且点A在反比例函数2=的图象上，点A的 纵坐标为号=6，A(2,6).将点A(2,6),B(-4,-3)的坐标分别代入y=kx+b,得 9/80 同步培优A本@第26章反比例函数 2k+b=6, 解得 k= 0-4k+b=-3, 二言·一次函数的解析式为m=多x+3· b=3. (2)观察图象，直接写出当y1≤y2时，x的取值范围： 解：由题中图象可知，当y1≤y2时，x的取值范围是x≤-4或0<x≤2. (3)点C为x轴上一动点，连接AC,BC,若△ABC的面积为18，求点C的坐标. D 解：如图，设直线y1=x+3与x轴交于点D,令y1=0,即x+3=0,则x=-2, ·D(-2,0),设C(t,0),.CD=|t+2.△ABC的面积为18， SAABC=SACDA+SACDB=CD(YA-Y8),SAABC=CD.(6+3)=18, ÷.CD=4,即t+2=4,解得t=2或t=-6,·点C的坐标为(-6,0)或(2,0). 5.几何直观在平面直角坐标系中，直线l:y=kx-k+4与反比例函数y=”(m≠0，x>0) 的图象交于点A(1,4)· 4. 3 2 01234567x 备用图 (1)求m的值. 解：将点A(1,4)的坐标代入y=二>0)，得m=1×4=4. (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线！与函数y=”(m≠0，x>0)的图象所围成的 10/80 同步培优A本@第26章反比例函数 区域（不含边界）为W.点B(n,1)(n≥4，n为整数)在直线l上. ①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数： 解：当n=5时，B(5,1).“点B在直线上，1=5k-k+4,解得k=-子，直线的解析 式为y=-x+号.画出两函数图象如图1所示，区域W内的整点有(2,3)，(3,2)，共2个 6 5 5 4 3 3 2 01234567x 012345678x 图1 图2 ②当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值. 解：n=7,k=-: 解析：解法提示：当n=6时，B(6,1).:点B在直线L上，1=6k-k+4,解得k=-号则 直线的解析式为y=-x+号，区域w内恰有4个整点（如图2）.当n=7时，B(7,1),“点 B在直线！上，“1=7k-k+4,解得k=子则直线的解析式为y=x+名，区域w内怡 有5个整点（如图2）.“当区域W内恰有5个整点时，k的取值范围是-号<k≤-子：为整 数，n=7,k=-: 反比例函数中的数学思想方法 1.[2025广州中考]函数y1=ax2+bx+c与y2=k的图象如图所示，当y1,y2均随着x的增 大而减小时，x的取值范围是() A.x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D.x>1 11/80 同步培优A本@第26章反比例函数 012 答案：D 解析：由函数图象可知，当x>1时，y随着x的增大而减小；y2的图象位于第一、第三象限， 且在每一象限内，y2均随着x的增大而减小，所以当x>1时，y1,y2均随着x的增大而减小. 2.[2025浙江中考]反比例函数y=4的图象上有P(t,y1),Q(t+4,y2)两点.下列正确的选项 是( ) A.当t<-4时，y2<y1<0 B.当-4<t<0时，y2<y1<0 C.当-4<t<0时，0<y1<y2A D.当t>0时，0<y1<y2 答案：A 解析：：反比例函数y=生的图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内，y随，的增大而减 小，·当t<t+4<0,即t<-4时，点P,Q都在第三象限，0>y1>y2;当t<0<t+4, 即-4<t<0时，点P在第三象限，点Q在第一象限，·.y1<0<y2;当0<t<t+4,即t>0 时，点P,Q都在第一象限，y1>y2>0· 3.[2025杭州滨江区期末]已知关于x的函数y1-兰y2-，y⅓=kx+b(k,b为常数，k≠b 且kb≠0)，则下列说法正确的是()①函数y3与y1,y2图象的总交点至少有两个；②当 k>-时，函数y2和y3的图象有两个交点：③当k=-时，函数y2和y3的图象只有一个交点： ④无论k,b取何值，函数y1和y⅓的图象始终有两个交点. A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④ 答案：D 解析：令=kx+b,整理得kx2+bx-k=0,△1=b2+4k2.:kb≠0，△1=b2+4k2>0, 无论k,b取何值，函数y1和y3的图象始终有两个交点，故④正确.令=kx+b,整理得kx2+ 12/80