第28章  锐角三角函数-2025-2026学年九年级数学下册练基础（人教版）

同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.1锐角三角函数、课时1正弦 知识点1正弦的概念 1.[2025云南中考]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sinA=() A号 B品 c 5 4 2.2025广州一模]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AC=3,则sinB=() A号 B c D A B C 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值() A.扩大5倍 B.缩小5倍 C.不变 D.无法确定 4.[2025重庆期中]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA=一 B 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a:c=2:3,求sinA和sinB的值. b B C 34/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 知识点2已知正弦值，求边长 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15,sinA=子则BC=( ) A.5 B.10V2 C.45 D.5v10 7.如图，在△ABC和△ACD中，LACB=90°，∠ADC=90°，AB=13,AD=4,sinB= 那么CD的长为( B ◇D A.4 B.3 C.2.5 D.2 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，线段AB的垂直平分线OD分别交AB,BC于点O,D,连 接AD,C0.若AD=5,sinB=则C0的长为 D 9.如图，在平面直角坐标系中，0B=5,sinA0B=多点A的坐标为(10,0)，求AB的长. A x 35/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.1锐角三角函数、课时2余弦、正切 知识点1余弦 1,如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2V2,AB=3,则coSA的值是( B C B号 C.3 2.[2025攀枝花中考]△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10, 则cosA的值为( ) A号 B c D 3.如图，在菱形ABCD中，DE1AB,cosA-号，AD=10m,则BE的长度是( ) A E B A.1 cm B.2 cm C.4 cm D.6 cm 4.[2025菏泽期中]在Rt△ABC中，若2AB=AC,则cosC的值是 知识点2正切 5.[2025云南中考]如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB=3,BC=4,则tanA的值为() B A B c D 36/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 6.如图，点A(3,t)在第一象限，0A与x轴所夹的锐角为a，若tana=则t=() 0 A.0.5 B.1.5 C.4.5 D.2 7.在Rt△ABC中，∠C=90，AB=V而，tanA=子那么△ABC的面积为- B C 知识点3锐角三角函数 8.[2025定西模拟]在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则下列三角函数值正确的 是() A.sinA=子 B.cos A= C.tanA=等 D.sin B= 9如图，在Rt△ABC中，C=90,sinA=9,求cosA,tanB的值 B 37/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 课时3特殊角的锐角三角函数值 知识点1特殊角的锐角三角函数值 1.[2025江门棠下中学一模]若锐角a=30°，则cosa的值是( A号 B鸭 C 2 D.1 2.[2025天津中考]V2cos45°-1的值等于() A.0 B.1 c-1 D.V2-1 3.下列选项中，结果与sin30° 的值不同的是() A.cos60° B.sin245° C.tan45°-cos60° D.cos 30 'tan30° 4.计算： (1)tan230°+cos230°-sin45tan45°； (2)()1-V18-|-V31+2cos30°. 知识点2由特殊角的锐角三角函数值求角 5[2025兰州期末若∠A为锐角，且tanA=5,则cosA的值为() A 2 C D.3 ·2 38/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 6.[2025汕头期末]在Rt△ABC中，BC=6,AC=2V3,∠C=90°，则∠A的度数是() A.30° B.40° C.45° D.60° 7.在锐角三角形ABC中，若sinA-1+(cosB-)2-0,则zC的度数是 8.(1)已知a为锐角，且tan(a-10)=气，则锐角a的度数是一 (2)已知sina-2tan60°=0，则锐角a的度数是 知识点3特殊角的三角函数值的应用 9.一题多解在△ABC中，已知LA=60°，∠B为锐角，且tanA,cosB为关于x的一元二次方 程2x2-3mx+3=0的两个实数根，判断△ABC的形状. 10.[2025唐山期末]如图，彩旗旗杆AB用AC,AD两根钢丝固定在地面上，点A,B,C,D在同 一平面内，AB1CD,BC=2,cOS∠ACB=2 COSLADB= 2 (1)求旗杆AB部分的长 (2)求钢丝的总长度.（结果保留根号） 39/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 课时4用计算器求锐角三角函数值 知识点1用计算器求已知锐角三角函数值 1.[2025淄博期中]用计算器求sn24°37'18”的值，以下按键顺序正确的是( sin24o737om18"= 2nd F sin 24o1 8o= c24m37W18 sin三 sin24o"3☑o"18°”2ndF= 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=26°，BC=5.若用科学计算器求边AC的长，则下 列按键顺序正确的是() C▣ B A5÷an26与 5÷sin26= 5×cos26= 5×tan26= 3.利用计算器求下列三角函数值（精确到0.0001）： (1)sin71°24'≈ (2)c0s5421'18”"≈ (3)tan21°17'23”≈ 40/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 知识点2已知锐角三角函数值用计算器求锐角 4.已知sinA=0.9816,运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是 b/ sin a /c 2nd F B 0 5.已知a,B两个角都是锐角，sina=0.2,cosB=0.8,则a+B≈ (结果精确到分) 6.如图，在△ABC中，己知AB=8,AC=9,∠A=48°. 求：(1)AB边上的高；（精确到0.01） (2)∠B的度数.（精确到1'） 7.如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道.已知楼梯共有五级均匀分布的台阶， 高AB=0.75m,tan/ACB=子，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短 距离ED=2.55.为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的表面与地面的夹角不得小于多少度？ (结果精确到1°) E (参考数据表) 计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001) 2 nd Ftan(l÷5)= 11.310 tan (1÷5)= 0.003 2 nd Ftan(5÷l9)= 14.744 tan(5÷19)= 0.005 41/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.2解直角三角形及其应用 课时1解直角三角形 知识点1已知两边解直角三角形 1.在Rt△ABC中，AB=4,AC=2V2,∠C=90°，则∠A的度数为() A.30° B.40° C.45° D.60° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=4V5,a=4V15,求这 个三角形的其他元素 知识点2已知一边和一锐角解直角三角形 3.[2025青岛期末]已知在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10,那么() A.BC=10c0s50° B.BC=10sin50° C.AC=10tan50° D.AC=10c0s50° 4.教材变式，在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.求下列直角 三角形中的未知量 (1)∠B=60°，c=25; (2)∠A=30°，b=V3. 知识点3解直角三角形的综合应用 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线长是3cm,sinA=号，则SAABC=（) A.V2 cm2 B.2v2 cm2 C.3√2cm2 D.4V2 cm2 42/55 同步基础A本@第28章锐角三角函数 6.2025菏泽期中]把两个大小相同的含30°角的三角尺如图放置，D,B,C三点共线，若AD= 6V6,则BC的长为( B A.6 B.6V3 C.2V3 D.2 7.「2025包头期末]如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6,CD=4, BC的延长线与AD的延长线交于点E (1)若∠A=60°，求BC的长： (2)若sinA=年，求AD的长. B C 43/55同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.1锐角三角函数、课时1正弦 知识点1正弦的概念 1.[2025云南中考]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sinA=() A号 B品 c 5 4 B4 答案：D 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=5,sinA=C=5 AB 13 2.[2025广州一模]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AC=3,则sinB=() A B c D B 答案：D 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=VAC2+BC2=V32+42=5,÷sinB=Ac=3 AB 5 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值() A.扩大5倍 B.缩小5倍 C.不变 D.无法确定 答案：C 解析：△ABC的三边都缩小5倍，但∠A的对边与斜边的比值不变，·sinA的值不变. 4.2025重庆期中]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，LA=30°，则sinA=一 B 58/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 答案：月 解折：在R△ABC中，∠C=90，A=30，BC=AB,sinA=%= 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a:c=2:3,求sinA和sinB的值. B ■ C 解：a:c=2:3,设a=2k,c=3k(k>0). 在Rt△ABC中，∠C=90°，'b=Vc2-aZ=V5k, snA=是=张-子smB=光=g-号 c 3k 3 知识点2已知正弦值，求边长 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15,sinA=子，则BC=() A.5 B.10v2 C.45 D.5v√10 答案：A 解折：在R△ABC中，∠C=90,sinA=器=京~AB=15,砦=有BC=5. 7.如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，AB=13,AD=4,sinB=5 3 那么CD的长为( B ◇D A.4 B.3 C.2.5 D.2 答案：B 解析：在Rt△ACB中，sinB=能=是AB=13,÷AC=5.在t△ACD中，由勾股定理， CD =VAC2-AD2=V52-42=3. 59/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，线段AB的垂直平分线OD分别交AB,BC于点O,D,连 接AD,C0.若AD=5,simB=则C0的长为一 B 答案：4 解析：：OD是线段AB的垂直平分线， BD=AD=5,0D1AB,0是线段AB的中点在胜△B0D中，BD=5,simB=胎=膏 OD=3,·OB=VBD2-OD2=4.∠ACB=90°，O是线段AB的中点， ∴.CO=OB=4 9如图，在平面直角坐标系中，OB=5,sin∠A0B=号点A的坐标为(10,0)，求AB的长 B 解：如图， 过点B作BC1OA于点C. 0B=5=BC=3, 在Rt△B0C中，sin/AOB=BC=BC=3 :0C=√0B2-BCz=V52-3z=4, :点A的坐标为(10,0)，·0A=10,AC=0A-0C=10-4=6. :∠ACB=90°，AB=VAC2+BC2=V62+32=3V5. 60/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.1锐角三角函数、课时2余弦、正切 知识点1余弦 1,如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2V2,AB=3,则osA的值是( B C 号 B C.3 D 3 答案：A 解折：在△ABC中，1C=90，AC=22AB=3,c0sA=点=9 3 2.2025攀枝花中考]△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10, 则cosA的值为() A写 B c D 答案：C 解析：'a=6,b=8,c=10,a2+b2=c2,△ABC是直角三角形，且∠C=90°，.cosA= = 3.如图，在菱形ABCD中，DE1AB,cosA=号，AD=10cm,则BE的长度是( ) D E B A.1cm B.2 cm C.4 cm D.6 cm 答案：C 解折：DE1AB,AD=90,c0sA=景怎=营：AD=10m,AE=6cm:四 边形ABCD是菱形，·AB=AD=10cm,.BE=AB-AE=10-6=4(cm) 4.[2025菏泽期中]在Rt△ABC中，若2AB=AC,则cosC的值是 答案：或号 61/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 解折：当B=90时，BC=VAC2-A=V2AB2-AB2=V3AB,cosC=E=铝- 2AB 3 2 ;当LA=90°时，BC=VAB2+ACZ=√AB2+(2AB)Z=V5AB, c0sC=能==2：直角三角形中斜边最长，∠C+90综上，c0sC的值是或 BC 5AB 知识点2正切 5.[2025云南中考]如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB=3,BC=4,则tanA的值为() B A号 B4 c号 D 答案：B 解折：：在△ABc中，ABC=90,AB=3,BC=4,anA=器=号 6如图，点A(3,)在第一象限，0A与x轴所夹的锐角为a，若tana=多则t=() Q 0 A.0.5 B.1.5 C.4.5 D.2 答案：C 解析：如图，过点A作AB1x轴于点B.点A(3,t)在第一象限， AB=0B=3又ama=品=有=是t=45. 62/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=V而，tanA=子那么△ABC的面积为一 B A 答案：月 解折：如图，在Rt△ABC中，∠C=90:,tanA=光=AC=3BC,由勾股定理得AC2+ BC2=AB2,(3BC)2+BC2=(VO)2,BC=1(负值舍去)，AC=3,÷SAABC=3AC. BC=×3×1=是 知识点3锐角三角函数 8.[2025定西模拟]在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则下列三角函数值正确的 是( ) A.sin A=月 B.cosA- C.tan A=号 D.sin B= 答案：C 解折：由勾股定理，得AB=VAC+BC=10,所以sinA=胎=8=台osA=能=品=号 tamA=器-君专，sinB=后=合-号，只有选项C正确 9如图，在Rt△ABC中，LC=90°，sinA=9,求cosA,tanB的值 B 解：sinA=%=停设AB=3k,BC=V5k Ac=VB2-BC=V6k,c0sA=%-9tanB=能=五. BC 63/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 课时3特殊角的锐角三角函数值 知识点1特殊角的锐角三角函数值 1.[2025江门棠下中学一模]若锐角a=30°，则cos的值是( A号 B号 C岭 2 D.1 答案：B 2.[2025天津中考]V2cos45°-1的值等于() A.0 B.1 c-1 D.V2-1 答案：A 解析：V2cos45°-1=V2×2-1=0 3.下列选项中，结果与si30°的值不同的是() A.c0s60° B.sin245° C.tan45°-cos60° D0s30 tan 30 答案：D 解折：sim30=京c0s60=之sin245=(受2=， 3 am45-os60r=1-=号0g-盖=是 2 4.计算： (1)tan230°+cos230°-sin245tan45°； 解：tan230°+c0s230°-sin245°tan45 =(2+(经-(？×1 =+ 12· 64/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 (2)()1-V8-|-V1+2cos30° 解：()1-V18-|-V3+2c0s30 =2-3W2-V3+2× 2 =2-3v2-V5+V3 =2-3V2. 知识点2由特殊角的锐角三角函数值求角 5,[2025兰州期末]若乙A为锐角，且tanA-号，则cosA的值为(） B号 C D.3 答案：C 解析： :tanA=点且∠A为锐角，LA=30°，cosA=复 2 6.[2025汕头期末]在Rt△ABC中，BC=6,AC=2V3,∠C=90°，则∠A的度数是( A.30° B.40° C.45° D.60° 答案：D 解折：：BC=6AC=23,∠C=90,amA=张=0=V3,A=60 7在锐角三角形ABC中，若削snA-气1+(cosB-号)2=0，则LC的度数是 答案：75 解析：：Isin A-1+(cosB-写)2=0，÷sinA-9-0,cosB-=0,则sinA=点， 2 CosB= 2,△ABC是锐角三角形，÷LA=60°，∠B=45°·∠C=180°-60°-45°=75° 8.(1)已知x为锐角，且tam(c-10)=9则锐角a的度数是 ； 答案：40° 解析： ~a为锐角，tan(a-10)=,&-10°=30°，÷a=409 (2)已知sina-2tan60°=0，则锐角a的度数是 答案：60° 解析：由题意，得sina=tan60°=×V3-复，：a为锐角，a=60 65/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 知识点3特殊角的三角函数值的应用 9.一题多解在△ABC中，已知LA=60°，∠B为锐角，且tanA,cosB为关于x的一元二次方 程2x2-3mx+3=0的两个实数根，判断△ABC的形状. 解：优解∠A=60°，.tanA=√3. :tanA,c0sB为一元二次方程2x2-3mx+3=0的两个实数根， “tan A-cos B=2(一元二次方程根与系数的关系)，cosB=号， 29 ∠B为锐角，∠B=30°，∠C=180°-∠A-∠B=90°，△ABC是直角三角形 10.[2025唐山期末]如图，彩旗旗杆AB用AC,AD两根钢丝固定在地面上，点A,B,C,D在同 一平面内，AB1CD,BC=2,cos∠ACB=号，cos-ADB=号 2 B (1)求旗杆AB部分的长 解：COs/ACB= 2 ,.∠ACB=45°， :tanLACB 1. AB1CD,·.∠ABC=∠ABD=90°， ·.AB=tan/ACB×BC=2. ·.旗杆AB部分的长是2. (2)求钢丝的总长度.（结果保留根号） 解：：∠ABC=90°，AB=2,BC=2, .AC=VAB2 BCZ=2v2. :c0s∠ADB=∠ADB=30, :∠ABD=90°，AD=2AB=4, ·钢丝的总长度=AC+AD=2V2+4. 66/90 同步基础A本@第28章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 课时4用计算器求锐角三角函数值 知识点1用计算器求已知锐角三角函数值 1.2025淄博期中]用计算器求sin2437'18”的值，以下按键顺序正确的是() sin 2 4 om 3 7o"m 1 8 o'm= 2 nd Fsin24o网18oW= c24o"37o"08”sin= sin 2 4 '3 7o'm 18 om 2nd F= 答案：A 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=26°，BC=5.若用科学计算器求边AC的长，则下 列按键顺序正确的是() B A5÷an26与 5÷sin26= 5×cos26= 5×tan26= 答案：D 3.利用计算器求下列三角函数值（精确到0.0001)： (1)sin71°24'≈ (2)c0s5421'18"≈ (3)tan21°1723”≈ 67/90