专题02 二次根式运算中的七大题型（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级上册

可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题02二次根式运算中的七大题型 题型归纳 延型一：一次根式的四则运算 题型二：最简一次根式 题型三：积的算术平方根 题型四：同类二次根式 题型五：已知字母的值化简求值 题型六：已知条件式化简求值 题型七：比较二次根式的大小 题型专练 题型一：一二次根式的四侧运算 1.下列计算正确的是(“) A.-22=-2 C.√6=√2x√3 D.（-V2=2 2.计算27×3 的结果是() A.9 B.3 c.-V5 D.5 3.下列式子正确的是() B.V-9)x(-4)=V-9×√-4=(-3)x(-2)=6 C.=y=xty D.V-7)}x6=76 4.计算√(-7)2x16×2的结果是() A.732 B.-7√32 C.282 D.-28√2 1/14 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.下列等式不成立的是() A.V12÷V3=2 B.√12xV5=6 C.V-4)×-3)=12 33 6.计算：67×}21÷23的结果是() A.-4 B.-2V5 C.40 D.7 7.下列各式中，计算正确的是() A.2V5x3V5=5V3 B.√7+√3=10 C.2√5-√5=V5 D.5√5-2V2=3 8.下列计算正确的是() A.V2+5=√5 B.2+V5=3V5 c5-得5= D.(1+V3)2-V3)=1-3=-2 9.计算：(35)= 10.计算V32a√2a(a≥0)的结果是 11.化简： (1)√9x16= ,V25×3= (2)√4x3=,V81×4=一： 49 (3)6x2=—’55 = (4)5 = ,√72= (5)./12 9 V25 V25 (6)V33×42= ,8= 12.计算：(2-5°20+5 5 8,第-5 14.计算：8×5=一 3√401 2/14 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.按下列步骤计算： 102÷(W5+32 =10W2÷5+3v2 +3√2 16.计算： ox列x写： a 17.计算： a8+x6-45 -70. 18.计算： aas(-62】 19.计算： 20.计算： 吸-反得 3/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)4a+8 a 2a 21.计算： ,金 Q)55xvi5 22.计算： 、月 m2x5周 (3)3aV12ab. a (a>0,b>0) 23.计算： as- 25+1+(5+(5-1 24.计算： ++ 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a49+小5-斗2r--同 25.计算： a④-s+: e295-（8- 题型二：最简二次根式 26.下列式子是最简二次根式的是() A.√0.3 B. C.5 D.√⑧ 27.在二次根式万，5a,5,9,经，0.5中，最简二次根式的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 28.下列各式是最简二次根式的是() A.√6 c.√3.2 D.√12 29.若a>0,把6 -4a' 化成最简二次根式为(). Ab B._2a Jab b c.6 D.2ab√-ab 30.下列二次根式中，是最简二次根式的是() 5/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 A. B.√20 C.√30 D.√80 31.已知a是一个正整数，√20a也是正整数，则a的最小值为() A.4 B.5 C.10 D.20 32.已知n为正整数，且√20n是整数，则n的最小值是(） A.20 B.5 C.4 D.2 33.己知√m-3是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： 34.已知二次根式√23-a与√⑧化成最简二次根式后，被开方数相同.若a是正整数，则a的最小值为 35.请写一个二次根式，使其化简后为√3(a为正整数)，这个二次根式可以是 36。如图，R1△ABC的边1C在数轴上，∠4C8=90,4C=1,BC=方4C,利用尺规作图如图所示，则 数轴上的点P表示的数是 O B 0 37.在平面直角坐标系中，若等边ABC的顶点A,B的坐标分别为0,2)，(25,0)，则点c的坐标为 38.如图，在ABC中，D是边BC的中点，E是边AB上的一点，且DE=DB,若BC=6,BE=4,则 CE= 题型三：积的算术平方根 39.如果9-x2=√3-x√3+x成立，则x的取值范围是() 6/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-3≤x≤3B.x>-3 C.x<3 D.-3<x<3 40.化简V32a5的结果是() A.42 B.4d c.4a2√2a D.-4a2/2a 41.化简： (1)√1600； (2)V-5)×(-75) 42.计算： v5a, 题型四：同类二次根式 43.下列二次根式中与√2是同类二次根式的是(). A.V18 B. 2 c.12 D.√0.2 44.下列二次根式能与√6合并的是() A.√0.5 12 8.7 c.√8 D.√24 45.√2n与√4是同类二次根式，则整数n的最小值为() A.3 B.6 C.9 D.24 7/14 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 46.最简二次根式√3a+8与√2-a是同类二次根式，那么a的值为() A.1 B.-3 C.-2 D.3 47.若最简二次根式√m+1能与√48合并，则m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 48.若√7与最简二次根式5√a+1是同类二次根式，则a=_ 49.若2m+2n-5与"√m+n都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则m+n= 50.有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： 50 ⑧ -3 ① ② ③ (1)上面三张卡片上的二次根式能合并的是 和 2计算： ②1 51.已知最简二次根式4a-5与√13-2a是同类二次根式. (1)求a的值； 2)若a≤x≤2a,化简：3-x+V4-4x+x2. 52.已知√63与最简二次根式√3a+1可以加减合并，b是27的立方根，c=√a+b. (1)求a,b,c的值； (2)判断以a,b,c为边的三角形的形状，并说明理由. 8/14 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五：已知字母的值化简求值 58.先化简，再求值：20)0，其中a=1+5。 a2-2a+1a+2a-1 54.先化商.再球值：a-4得a+405a,其中0=2。 55.先化简，再求值：x。-L÷x+2 +2x1-2r+’其中x=V5-2 56.已知a=√5-√2，b=√5+√2 (1)求a2-b2的值 (2)求a2+ab+b2的值. 57.化简求值：已知a=2-V5,求1-2a+d_a-2a+1的值. a-1 a2-a 9/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型六：已知条件牛式化简求值 58.已知Va2=5,(Nb)2=6,则a+b的值为() A.11 B.-1 C.1或11 D.-11或1 9+y9w=9.测+ 区的值是〈） A.6 B.-6 C.3 D.-3 60已知G-石2，则+右值为() a A.2W2 B.±2W2 C.23 D.±25 61.已知a+b=√2-1，ab=-1,则a2+ab+b2的值是() A.2-√2 B.4-2√2 C.2-2√2 D.3-V2 62.已知+左=3，则于708x的能为（） x 1 B.2020 1 A.2025 C.2025 D.2020 63.已知a-=万，则d2+2的值为 4已w=4,那么+y的是一 65.已知a+b=3+√2，a-b=3-√2，求代数式2a2-2b2的值是一 66.已知x+y=2√5，x-y=4,求下列各式的值： (1)x2+2xy+y2; (2)x2-y2. 10/14 专题02 二次根式运算中的七大题型 题型一：二次根式的四则运算 题型二：最简二次根式 题型三：积的算术平方根 题型四：同类二次根式 题型五：已知字母的值化简求值 题型六：已知条件式化简求值 题型七：比较二次根式的大小 题型一：二次根式的四则运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是根据二次根式性质化简及二次根式乘法，根据二次根式的性质及二次根式乘法依次分析各选项即可作出判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，故本选项不符合题意； B、，原式计算错误，故本选项不符合题意； C、，原式计算错误，故本选项不符合题意； D、，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简，解题的关键是掌握二次根式乘法运算法则． 利用二次根式乘法法则进行计算，然后化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列式子正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】A．原式，故本选项错误． B．原式=，故本选项错误． C．原式不能化简，故本选项错误． D．原式=，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．1．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，0；当a＜0时，二次根式无意义．2．性质：|a|． 4．计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】原式=． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质． 5．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 6．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 7．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘法和加减运算法则逐项判断即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算错误，不合题意； 、和不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、和不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 故选：． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的法则． 依次对每个选项进行二次根式的运算，判断其正确性． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接相加，所以，该选项错误； B、2与不是同类二次根式，不能直接相加，所以，该选项错误； C、根据二次根式的乘除法则，，该选项正确； D、根据多项式乘法法则， 该选项错误． 故选：C． 9．计算： ． 【答案】45 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：45 10．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简，根据二次根式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11．化简： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 【答案】 12 18 【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可得解； （2）利用二次根式的性质化简即可得解； （3）利用二次根式的性质化简即可得解； （4）利用二次根式的性质化简即可得解； （5）利用二次根式的性质化简即可得解； （6）利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：（1），， 故答案为：12，； （2），， 故答案为：，18； （3），， 故答案为：，； （4），， 故答案为：，； （5），， 故答案为：，； （6），， 故答案为：，． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用零次幂、二次根式的性质化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．按下列步骤计算： = = 【答案】 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：，． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键； （1）先将二次根式化简，然后去括号计算乘法，再算加减，即可求解； （2）先计算二次根式的除法并将二次根式化简，再算加减，然后即可求解 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 18．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】（1） （2） 19．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质可得：原式，根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和异分母分式加减法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题先对二次根式化简，然后将除法换成乘法并计算，最后算减法，然后即可求解； （2）先通分，再根据分式的加减法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）根据二次根式的除法运算法则即可求出答案； （2）根据二次根式的乘除运算法则运算即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 23．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照二次根式的性质化简，分母有理化，偶次方的运算计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算、再进行合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减； （2）先计算乘法，去掉绝对值，乘方，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂，二次根式的混合运算． （1）先计算负整数指数幂，立方根，绝对值，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除和括号里的加减，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 题型二：最简二次根式 26．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、是最简二次根式，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 27．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【详解】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 28．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 29．若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 30．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 31．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 32．已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 33．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 34．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 35．请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 36．如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，实数与数轴，利用勾股定理先求解，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数轴上的点P表示的数是． 故答案为：． 37．在平面直角坐标系中，若等边的顶点，的坐标分别为，，则点的坐标为 . 【答案】或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中两点间距离公式、中点坐标公式，等边三角形的性质（三边相等、三线合一 ）以及勾股定理．解题的关键在于利用等边三角形的性质确定点的可能位置，结合相关公式计算坐标，同时要注意根据图形的对称性全面考虑点的不同情况本题需要根据等边三角形的性质，结合平面直角坐标系中两点间距离公式来求解点的坐标．已知，，可先求出的长度，再根据等边三角形三边相等以及其对称性确定点的可能位置并计算坐标． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是等边三角形， ∴． 设点的坐标为． 情况一： 当点在第一象限时，过点作于点， ∵等边三角形三线合一，为中点． ∴的坐标为，即． ， 在中，根据勾股定理． ∴，，， ∴，， ∴点坐标为． 情况二： 当点在第三象限时，此时与关于原点对称（根据等边三角形的对称性 ）， ∴点坐标为． 故答案为：或． 38．如图，在中，D是边的中点，E是边上的一点，且，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，根据题意可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可推出，即，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型三：积的算术平方根 39．如果成立，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的意义，被开方数大于等于0，列不等式组求解． 【详解】∵， ∴， 解得：﹣3≤x≤3． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 40．化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断a的正负，再化简二次根式． 【详解】∵32a5≥0，∴a≥0，∴=． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 41．化简： (1)；    (2). 【答案】(1) ;  (2) . 【来源】华东师大版九年级上册 第21章 二次根式 21.2.2 积的算术平方根 同步训练题 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 42．计算： (1)；　　     (2)． 【答案】(1) ;(2) . 【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）原式． （2）原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题的关键． 题型四：同类二次根式 43．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．把各选项中的二次根式化简后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与是同类二次根式； B．∵， ∴与不是同类二次根式； C．∵， ∴与不是同类二次根式； D．∵， ∴与不是同类二次根式； 故选A． 44．下列二次根式能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式． 先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A、，不能与合并，不符合题意； B、，不能与合并，不符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，能与合并，符合题意； 故选：D． 45．与是同类二次根式，则整数的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，首先得出，再根据同类二次根式的定义得出最小为时满足题意，即可得出结论． 【详解】解：，且与是同类二次根式，是整数， 是正整数， ∴最小为时，与是同类二次根式， n的最小整数值是， 故选：B． 46．最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，解决此题的关键是掌握同类二次根式的定义即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 根据最简二次根式，以及同类二次根式的定义，列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故选A． 47．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．两个最简二次根式能够合并的条件是它们的被开方数相同，先将化简为最简形式，再令的被开方数与之相等，结合最简二次根式的定义求解． 【详解】解：，被开方数为3， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴． 故选：C． 48．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：由条件可知，则， 故答案为：6． 49．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 50．有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： (1)上面三张卡片上的二次根式能合并的是________和________； (2)计算：． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的乘除法，正确计算是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可； （2）先根据完全平方公式计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：，， 能合并的是①和②， 故答案为：①，②； （2）解：． 51．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 52．已知与最简二次根式可以加减合并，是27的立方根，． (1)求的值； (2)判断以为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式，勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先化简，然后根据同类二次根式的定义求出，再根据立方根和算术平方根的定义求解； （2）根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：， 由题意，得：，解得， ∵是27的立方根， ； ∴； （2）解：直角三角形，理由如下： ， ∴以为边的三角形是直角三角形． 题型五：已知字母的值化简求值 53．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算分式的乘法，再算减法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 54．先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据二次根式的性质，进行化简，再进行合并，然后代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 55．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： = = =， 当时， 原式． 56．已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的减法法则求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ，， 则 ； （2），， ∴， ∴ ． 57．化简求值：已知，求的值． 【答案】，3 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据二次根式的性质、分式的约分法则把原式化简，代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 当时， 原式 ． 题型六：已知条件式化简求值 58．已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 59．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 60．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 61．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 62．已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 63．已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 64．已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 65．已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 66．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 67．已知，，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断的正负性，再对原式进行化简，最后将与的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：已知，， 根据有理数乘法法则“同号得正”可知同号， 又∵两数之和为正， ∴， 将，，代入 原式． ∴的值． 68．解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 题型七：比较二次根式的大小 69．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 【详解】解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 70．比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较；比较两个根式的大小，可以通过平方后比较或调整根式结构的方法． 【详解】解：要比较和的大小，可对两数分别平方： 由于，根据正数平方后的大小关系与原数一致，可得． 故选：B． 71．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 72．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 73．比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 74．先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 75．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可； （2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 76．试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查比较两个数大小的方法，熟练掌握作差法比较两数大小关系是解题的关键：将与进行作差，比较差值与0的大小关系即可判断这两个数的大小． 【详解】， ． 77．在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 【答案】（1），，，； （2）①；②，图见解析；③，． 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式大小比较，二次根式有意义的条件，函数图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简和，即可得出答案； （2）①根据二次根式有意义的条件填空即可； ②代入求值，并描点画图即可； ③在图象中找出相应的点，比较纵坐标的差即可． 【详解】解：（1），， ， 又， ， 故答案为：，，，； （2）①， ， 故答案为：； ②当时，， ， 故答案为：2； 建立如图所示的平面直角坐标系，图象如下图为所求： ③根据图象可判断， ，， 故答案为：，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $