第1-2章阶段复习卷（13大考点汇编与52题跟踪训练）2025-2026学年人教版数学九年级上册

第1-2章阶段复习卷（13大考点汇编与52题跟踪训练）2025-2026学年数学九年级上册人教版 考点汇总 考点一：一元二次方程的定义与一般形式 考点二：由一元二次方程的解求参数 考点三：配方法与公式法解一元二次方程 考点四：因式分解解一元二次方程 考点五：用适当方法解一元二次方程 考点六：根与系数的关系 考点七：实际问题与一元二次方程 考点八：二次函数的图象与性质 考点九：二次函数与一元二次方程 考点十：图形问题与二次函数 考点十一：拱桥问题与二次函数 考点十二：销售问题与二次函数 考点十三：其他问题与二次函数 跟踪练习 考点一：一元二次方程的定义与一般形式 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中一定是关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（   ） A． B．5 C．4 D． 考点二：由一元二次方程的解求参数 5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 6．已知关于的一元二次方程一个根是2，则的值（   ） A． B． C． D．6 7．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．如果是一元二次方程的解，那么的值是（　　） A．0 B．3 C．6 D． 考点三：配方法与公式法解一元二次方程 9．解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 10．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 11．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A． B． C． D． 12．定义运算：，例如：．则方程的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 考点四：因式分解解一元二次方程 13．下面四个结论，正确的个数为（   ） ：；方程的解为；． A．个 B．个 C．个 D．个 14．方程的解是（   ） A． B． C． D． 15．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 16．一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 考点五：用适当方法解一元二次方程 17．解方程 (1) ； (2)． 18．不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)； (2)． 19．解方程： (1) (2) 20．按要求解下列方程 (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（方法不限） 考点六：根与系数的关系 21．已知，是关于x的方程的两个实数根． (1)当关于x的方程的一个根是时，求m的值； (2)当时，求代数式的值． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 23．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 24．一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 考点七：实际问题与一元二次方程 25．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 26．某商店准备进某一品牌的小型电饭煲，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台，商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ (1)本题如果设销售定价为元，请说明x所表示的意义；还需要列出哪些相关量的代数式？ (2)所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ 27．新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产过程中对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多元，件的进价相当于8件的售价，每天可售出件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为元，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 28．2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元； 考点八：二次函数的图象与性质 29．已知二次函数（为常数）的图象经过点和． (1)求二次函数表达式． (2)求抛物线的顶点坐标． 30．已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 31．二次函数（b，c为实数）的图象经过点，点． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标． (2)点在该二次函数图象上． ①若，求点的坐标； ②当时，n的最大值是5，最小值是1，求m的取值范围． 32．对于平面直角坐标系中的点和点，称为M、N两点的“宁波距离”，记作．已知点，点Q是直线上的动点，点R是抛物线上的动点． (1)求所有满足的点Q的坐标； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 考点九：二次函数与一元二次方程 33．已知方程 (1)若，求此方程的根； (2)设，是此方程的两个不相等的实根，且，求a的取值范围． 34．已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． (1)若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数的图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 35．已知二次函数的图像经过点，，且，满足． (1)证明：函数的图像必与x轴有两个交点； (2)若关于x的不等式的解为或（），解关于x的不等式． 36．自主学习，阅读下列解题过程： 解一元二次不等式： 解：设，解得：，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图象如图（1）所示，由图象可知，当或时，函数图象位于x轴上方，此时，即， 所以一元二次不等式的解集为或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：    (1)上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的______；（选择1个，填写序号） ①分类讨论思想；②数形结合思想； (2)一元二次不等式的解集是_______； (3)用类似的方法解一元二次不等式（要求：在备用图中画出大致图象） 考点十：图形问题与二次函数 37．如图1，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．顶点为D． (1)求出点A，B，D的坐标； (2)如图1，若线段在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为，．首尾顺次连接点、、D、C构成四边形，当四边形的周长有最小值时，在第四象限抛物线上找一点P，使得的面积最大，并求出此时P点的坐标； 38．如图，是正方形的对角线，，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、设长为． (1)请判断线段在平移过程中，四边形是什么四边形，并说明理由； (2)在平移变换的过程中，当，求的面积与的函数关系式； (3)是否存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上？ 39．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 40．如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？ 考点十一：拱桥问题与二次函数 41．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 42．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型支架，其中点在拱桥上，点在上，点在上． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，用含的式子表示出图形“”的长为，并求出的最大值． 43．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 44．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 考点十二：销售问题与二次函数 45．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫，已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求y与x的函数关系式； (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，则该商家最多可以捐赠给社区多少钱用于抗疫？ 46．某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为元，在销售过程中发现，每月销量万件与销售单价元之间关系如表所示： 销售单价元 月销量万件 (1)求每月的利润万元与销售单价元之间函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 47．某商场根据市民需要，销售一种防尘口罩，进货价为20元/个，经市场销售发现：售价为30元/个时，每周可售出200个，每涨价1元，就少售出5个，若供货厂家规定市场售价不得低于30元/个，且商场每周要完成不少于130个的销售任务． (1)确定周销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式； (2)确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3)当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 48．某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． (1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ (3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 考点十三：其他问题与二次函数 49．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 50．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 51．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 52．2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣、齐广璞夺金，激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情；如图1是某跳台滑雪比赛场地的实景图，某业余滑雪爱好者沿跳台斜坡加速至B处腾空而起，沿抛物线运动，在空中完成翻滚动作，着陆在跳台的背面着陆坡，建立如图2所示的平面直角坐标系，C在x轴上，B在y轴上，已知跳台的背面着陆坡近似是抛物线的一部分，D点的坐标为，抛物线的表达式为 (1)求a、b的值； (2)若评分细则规定：当运动员与着陆坡之间的竖直最大高度不低于6米时，该运动员滑雪的腾空高度分这一项就可以给满分，请问该运动员这一跳的腾空高度分是否得满分，请你通过计算说明 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1-2章阶段复习卷（13大考点汇编与52题跟踪训练）2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A C C A D A B 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C A B D C B 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意； B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．是一元二次方程，选项A符合题意； B．是分式方程，选项B不符合题意； C．是二元一次方程，选项C不符合题意； D．是一元一次方程，选项D不符合题意． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是掌握一元二次方程的一般形式． 根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可． 【详解】解：∵一元二次方程化为一般形式后，常数项为， ∴一般形式为， ∴一次项系数是， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的特征，解一元一次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．将代入，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方的程一个根是2， ， ， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解． 【详解】解：∵于的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∵， ∴方程两边同时除以，得， ∴； 故选：A ． 8．D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入中，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选D． 9．A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得 ： ， 配方得 ： ， 即． 故选：B． 11．C 【分析】本题考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决． 【详解】解：， ， ，，， 故选：C． 12．A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 13．B 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解，解一元二次方程，根据二次根式的性质，因式分解，解一元二次方程逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，原结论错误，不符合题意； ，原结论正确，符合题意； ∴，，原结论错误，不符合题意； ，原结论错误，不符合题意； 综上：正确，共个， 故选：． 14．D 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 得或， 解得：， 故选：D． 15．C 【分析】此题考查了新定义，利用因式分解法解一元二次方程． 原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选C． 16．B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：B． 17．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解： 或 所以 （2）解：    或 所以. 18．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系． （1）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可； （2）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴，． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元 二次方程的方法是解题的关键． （1）移项，提公因式分解因式解答； （2）用二次三项式的因式分解方法分解因式解答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 提公因式，得， ∴，， ∴． （2）解：， 分解因式，得， ∴， ∴． 20．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法，结合方程的特点选择合适，简便的方法是解题的关键． （1）根据配方法的运算法则运算求解即可； （2）整理成一般式后，套用求根公式计算可得； （3）移项后，提取公因式，再求解可得； （4）因式分解法求解可得． 【详解】（1） 解： 解得：，； （2） 解：，，， ∴ ∴ ∴，； （3） 解： ∴或 解得：，； （4） 解： 或 ∴，； 21．(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”；（2）利用根与系数的关系，找出与的值． （1）将代入原方程，可得出，解之即可得出m的值； （2）代入，可找出原方程为，利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为； （2）解：当时，原方程为， ，是关于x的方程的两个实数根， ，， 22．(1)见解析 (2)该方程的另一个根为2 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 23．(1) (2)1 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式进行求解； （2）由方程的根为，，得到，，据此对原式进行化简，最后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：方程有实数根， ， 解得：； （2）解：当时，方程化为， ，， ，是方程的解， ，， ，， 原式 ． 24．(1)6 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 【详解】（1）解：将代入方程，则， ； （2）解：，， ，， 解得：，； （3）证明：当，，且， ①， ②， 得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即， 故 25．(1)鸡场的长为米，宽为米 (2)鸡场面积不可能达到平方米，见解析 (3)当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； （2）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； （3）解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 26．(1)x表示销售定价在元的基础上增加的价格，每台小型电饭煲的利润为元，销售数量为台． (2)，都符合题意，当时，定价为每台元，进货台，时，定价为每台元，进货台． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用． （1）由销售定价为元，可得的含义，再表示每台小型电饭煲的利润以及销售数量即可． （2）根据每台利润乘以销售量等于，再建立方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：设销售定价为元，则x表示销售定价在元的基础上增加的价格， 则此时的每台小型电饭煲的利润为元， 此时的销售数量为：台． （2）解：由（1）可得：， ∴， 解得：，， 经检验，都符合题意， ∴当时，定价为每台元，进货台，时，定价为每台元，进货台． 27．(1)商品的售价和进价分别是元/件、元/件 (2)该商品应涨价2元 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设进价为每件x元，可用x表示出售价，再根据题中的等量关系列出一元一次方程求解，进而求得商品的售价和进价； （2）设该商品应涨价t元，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设进价为每件x元，则售价为每件元， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：商品的售价和进价分别是元/件、元/件； （2）设该商品应涨价t元， 由题意可得，， 解得：，， ∵销量要尽可能大， ∴， 答：该商品应涨价2元． 28．(1) (2)当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，根据每增加1元，每天的销售数量将减少10件，每天的销售数量将减少10件列出代数式即可； （2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则每件的销售利润为元，每天可销售，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，可列出关于y的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元， 则当天销售量为件， 故答案为：； （2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（）， 则当天的销售量为件， 依题意，得：， 整理，得， 解得：． 答：当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元． 29．(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解析式即可求解； （2）利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：把点和代入得 ， 解得 ∴二次函数表达式为； （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． 30．(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 31．(1)该二次函数的解析式，顶点坐标为； (2)①；②． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法求得顶点坐标； （2）①将代入抛物线解析式，计算y的值即可； ②结合二次函数的最大值，令，求出对应的x 的值，根据题意即可得出结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式， ， 顶点坐标为． （2）①当时， ， 点在该二次函数图象上， ． ②的顶点坐标为， 函数的最大值为5， n的最大值为5，点在该二次函数图象上， m的最大值为1， 令，则， 解得：，， m的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 32．(1)或 (2)2 (3)1 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． （1）（2）设则，分，，三种情况讨论即可求解； （3）当与直线平行的直线为与抛物线有唯一交点时，可求使最小的的坐标，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：设 当时，，解得， 当时，，解得，不满足，故舍去； 当时，，解得， 综上所述，点坐标为或； （2）解：设， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ∴的最小值为2； （3）解：如图， 过作y轴垂线，过Q作x轴垂线，两垂线交于S 则，当且仅当R和Q横坐标相同，或纵坐标相同时，等号成立． 设与直线平行的直线为， 由，得①， 当直线与抛物线有唯一交点时， 解得， ∴此直线为， 方程①为，解得． ∴直线与抛物线的唯一交点为， 如图，当R为M时，过M作x轴，y轴的平行线，与直线分别交于N，T， 数形结合可知，中较小的即为的最小值， 易知N为，则，T为，， ∴的最小值为1． 33．(1) (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系、解一元二次不等式，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）将代入方程中，利用因式分解法进行求解； （2）将转化为，再利用根与系数的关系进行求解，同时根据有两个不等实数根，求出相应的范围，再取共同部分． 【详解】（1）解：若，则， ， 解得：； （2）解：，则， ， ，是此方程的两个不相等的实根， ， ， 令， ，函数图象开口向上， 当， ， 解得：，， 如上图：解得：， 又， 即：， 同理解得：或， 综上：或． 34．(1)①抛物线与x轴的交点坐标为和；②图见解析，或 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的最值问题，画二次函数图象等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案；②先列表，再描点和连线画出对应的函数图象，再根据函数图象可得增减性，进而可得答案； （2）先求出c，再把解析式化为顶点式得到顶点坐标，进而可得答案； （3）根据题意可得直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方，根据对称性结合对称轴计算公式可得b的值，进而得到二次函数解析式和顶点坐标，据此可求解． 【详解】（1）解：①∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点，且二次函数的函数图象经过， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； ②列表如下： x … 1 3 4 … y … 5 0 0 5 … 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，或； （2）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∵对于一切实数x，函数值总成立， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵抛物线顶点坐标为，直线在抛物线的下方， ∴． 35．(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了函数与方程的综合运用能力，以及一元二次方程根与系数关系的灵活运用，不等式取得解集方法的运用能力． （1）讨论，函数为开口向上的抛物线，时函数图像开口向下，由图像上的点A、B的纵坐标大于小于0得到与x轴有两个交点即可； （2）根据已知不等式的解集得到a的符号且可得的两根为，然后利用根与系数的关系化简不等式求出解集即可． 【详解】（1）由得或， ①当时，二次函数的图像开口向上，图像上的点的纵坐标至少有一个为，所以图像与x轴有两个交点； ②当时，二次函数的图像开口向下，图像上的点的纵坐标至少有一个为，所以函数图像与x轴有两个交点； （2）的解为或（）， 根据一元二次不等式大于0取两边，从而可判定 由此可得的两根为， 由韦达定理可得， ， 而则， 即， ， 又， ， 或， 故不等式的解为或． 36．(1)② (2) (3)图象见解析，一元二次不等式的解集为：或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意容易得出结论； （2）观察图象即可写出一元二次不等式的解集； （3）先设函数解析式，求出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可． 【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了数形结合思想．   故答案为：②； （2）解：由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：． 故答案为：． （3）解：， 设， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图：画出二次函数的图象，   由图象可知：当或时，函数图象位于x轴下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：或． 37．(1)A、B、D点的坐标分别为、、 (2) 【分析】 （1）令，可求与x轴交于A和B两点的坐标，用顶点坐标公式可求出顶点D的坐标，即可解决问题； （2）作点关于x轴的对称点，将点向右平移4个单位得到点，连接，交x轴于点，将点向左平移4个单位得到点，则四边形为平行四边形，此时四边形周长取最小值．再根据两点间的距离公式，即可得出结论； 【详解】（1） 解：令，则， 解得： ∴A和B两点的坐标分别为、， 用顶点坐标公式， ∴， ∴顶点D的坐标为），此时， 故：A、B、D点的坐标分别为、、； （2） 解：令中，则， ∴． 又，． 如图1，作点关于x轴的对称点，将点向右平移4个单位得到点，连接，交x轴于点，将点向左平移4个单位得到点，连接，，，则四边形为平行四边形，此时四边形周长取最小值． 设直线的表达式为． ∴ 解得： ∴直线的表达式为， 令时，则， ∴， ∴ 设），作轴于H，连接．易知， ， ， ∴时，的面积最大， 此时． 【点睛】此题考查了待定系数法求解析式、多边形的面积最大值问题，要注意将三角形分解成两个三角形求解，还要注意求最大值可以借助于二次函数． 38．(1)四边形是平行四边形．理由见解析 (2)的面积与的函数关系式为或 (3)存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上 【分析】（1）根据平移的性质，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案； （2）根据正方形的性质，平移的性质，可得与的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得，根据全等三角形的判定与性质，余角的性质，可得与的位置关系； （3）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： 四边形是正方形， 且， 由平移的性质得：， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，过作于． 如图，当点在点右侧时， 则，， ， 即； 如图，当点在点左侧时， 则，， ， 即， 综上所述，的面积与的函数关系式为或； （3）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， 故存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 39．(1)或2时，； (2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； （2）存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； （3）存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 40．(1)经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米 (2)不存在，理由见解析 (3)的最大面积是9 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设经过t秒时，的面积等于8平方厘米，根据题意得出，再根据三角形的面积公式即可求出答案； （2）根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，求出方程无解，从而得出不存在的面积等于矩形的面积的四分之一的情况； （3）设经过t秒时，的面积等于S平方厘米，列出二次函数表达式并根据二次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， ∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， 解得：； 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）不存在，理由如下： 设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得： ， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一． （3）设经过t秒时，的面积为S平方厘米， ， ， ∴当时，取最大值为9， ∴的最大面积是9． 41．(1) (2)能 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数对称轴等知识点，解决此题的关键是熟练运用二次函数图象的性质； （1）根据二次函数待定系数法求解析式即可； （2）先求出对称轴， 根据对称轴求出最高处，求出题中的高度，进行比较即可； （3）此题要进行分类讨论，注意其结果的取舍； 【详解】（1）解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 42．(1) (2)，的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． （1）由题意得，，，再利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线的对称性可得，则，，，进而得到，用含的式子表示出周长，再利用二次函数的性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：（1）由题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性可得， ∴，，， 当时，；当时，； ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 同理可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值为． 43．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 44．(1) (2)4条 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 45．(1) (2)该商家最多可以捐赠给社区7300元用于抗疫 【分析】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的性质． （1）设y与x的函数关系式为，将表中数据代入计算即可； （2）设总利润为w元，求出w的函数解析式，进而根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）设y与x的函数关系式为， 则， 解得：， 即y与x的函数关系式是； （2）设总利润为w元， ， ∵，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴该商家最多可以捐赠给社区7300元用于抗疫． 46．(1) (2)当销售单价为元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是万元 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． （1）先利用待定系数法求出关于的函数解析式，再根据“总利润单件利润销售量”可得函数解析式； （2）将（1）中所求函数解析式配方成顶点式即可得函数的最值情况． 【详解】（1）解：根据表格数据，每月销量万件与销售单价元之间关系满足一次函数关系， 设， 将、和、代入， 得：， 解得：， ， 则； （2）解：， ∵， 当时，最大值， 答：当销售单价为25元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是50万元． 47．(1) (2) (3)当售价定为时，商场每周销售所获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意直接写出与之间的函数关系式即可，由供货厂家规定市场价不得低于30元/个且商场每周完成不少于150包的销售任务确定x的取值范围即可； （2）由题意直接写出w与之间的函数关系式即可； （3）根据第（2）问中的函数解析式和x的取值范围运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即周销售量（个）与售价（元/个）之间的函数关系式是：， 市场售价不得低于元/个，即， 商场每周完成不少于个的销售任务， 由题意得：， 即， ∴售价的取值范围是， ∴； （2）解：由题意可得，； （3）解：∵； ∴二次项系数，顶点的横坐标为：， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，， 答：当售价定为时，商场每周销售所获得的利润最大，最大利润是元． 48．(1)； (2)元/件； (3)万元． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的图象与性质求解． 根据利润单件利润销售量，即可解决问题； 当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价； 根据公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，可得：，根据利润单件利润销售量，可得第二年的利润为，求出在的取值范围内二次函数的最小值即可． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． （3）解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件， ， 解得：， ， 第二年的利润， 抛物线的对称轴为直线，开口向下，且， 当时，有最小值，最小值为万元， 答：该公司第二年的利润至少为万元． 49．(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）①根据石块在空中飞行的最大高度为米，可得出，再将代入，求出抛物线的函数解析式； ②依据题意，由墙高为6米，则令，得到关于的一元二次方程求解，再结合墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，可判断得解； （2）把，代解析式求出，把，代入解析式求出，得出的取值范围． 【详解】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 50．(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 51．(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 52．(1)， (2)可以得满分，计算说明见详解 【分析】本题考查了二次函数的应用熟练掌握二次函数是解题的关键 （1）将代入求出，将代入求出； （2）竖直高度为运动员抛物线高度着陆坡高度，得，整理成二次函数，因开口向下，用顶点公式求出最大值即可得到结论 【详解】（1）解：将代入， 解得； 把代入， 解得； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为：， 抛物线的解析式为：， 设运动员与着陆坡之间的竖直高度为， 则， 对于二次函数，其中， 所以该函数开口向下，有最大值， 根据二次函数顶点公式， 将代入的表达式中： ， 可以得满分． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $