1.5 全称量词与存在量词 分层练习-2025-2026学年高一上学期人教A版数学必修第一册

1.5全称量词与存在量词 基础过关练 知识点1全称量词命题与存在量词命题及其真假判断 1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述的是( ) A.有一个x∈R，使得x2>3 B.对有些x∈R，使得x2>3 C.任选一个x∈R，都有x2>3 D.至少有一个x∈R，使得x2>3 2.（多选）［2025广东广州庆丰实验学校月考］下列命题中是存在量词命题的是( ) A.至少有一个实数x，使得x3+1=0 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R，x2+1=0 3.（多选）［2025江苏无锡期末］下列命题是真命题的是( ) A.∃a≥3,a2=3a−2 B.∃x_0∈N,x03>0 C.D. 4.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题. （1）有的实数不能写成小数形式：___________________________; （2）凸n边形的外角和都等于360^∘：________________________________________. 知识点2全称量词命题与存在量词命题的否定 5.命题“∃x>1,x2−x>0”的否定是( ) A.∃x≤1,x2−x>0 B.∀x>1,x2−x≤0 C.∃x>1,x2−x≤0 D.∀x≤1,x2−x>0 6.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，其中关于偶数的哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为( ) A.每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B.存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C.每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D.存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 7.写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）存在x∈Z，x2的个位数字等于3． 知识点3由全称量词命题和存在量词命题的真假求参 8.［2025四川绵阳期中］已知命题“∃x∈R,|x|+2=a”为真命题，则实数a的取值范围为( ) A. {a|a<2} B.{a|a≤2} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 9.［2025辽宁沈阳检测］若命题“∃−1≤x≤2，2x+1<k”为假命题，则实数k的取值范围为___________. 10.已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x；命题q：∃x∈{x|1≤x≤3},使m≥x.若命题p为真命题,q的否定为假命题,则实数m的取值范围是____________. 能力提升练 1.［2025安徽部分学校开学考试］已知命题p:∃x≥0,|x|=−x；命题q:∀x>0,x2−1>0，则( ) A.p和q均为真命题 B.p和¬q均为真命题 C.¬p和q均为真命题 D.¬p和¬q均为真命题 2.［2025山东济南西城实验中学检测］命题“∃1<x<2，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥1 B.a≥4 C.a≥−2 D.a=0 3.（多选）［2025安徽桐城中学月考］若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>−3”为假命题，则集合M可以是( ) A.{x|x<−3} B.{x|x<−4} C.{x|−3<x<0} D.{x|x<0} 4.（多选）设非空集合P，Q满足P∩Q=Q，且P≠Q，则下列选项中正确的是( ) A.∀x∈Q,有x∈P B.∃x∈P,使得x∉Q C.∃x∈Q,使得x∉P D.∀x∉Q,有x∉P 5.已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+3≤x≤m2+4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠⌀”为假命题，求实数a的取值范围. 6.已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2−a≥0,命题q:∃x∈R,x2+3x+2−a=0.若p和q中至少有一个是假命题，求实数a的取值范围. 7. 已知集合A={x|2≤x≤7},B={x|−3m+4≤x≤2m−1},且B≠⌀. （1）若命题“∀x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围; （2）若命题“∃x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围. 答案 基础过关练 1. C 2. ABD 3. BD 4. (1)∃x∈R，x不能写成小数形式 (2)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和等于360∘ 5.B 6.D 7.(1)命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，是真命题，例如，6是能被3整除的整数，且6不是奇数. (2)命题“四边形的四个顶点在同一个圆上” 的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”，是真命题. (3)命题“存在x∈Z，x2的个位数字等于3” 的否定是“对任意x∈Z ，x2的个位数字不等于3”，是真命题. 8.C 9.{k|k≤−1} 10.{m|m≥3} 能力提升练 1. B 2. B 3. AB 4. AB 5. 命题“∃m∈R，使得A∩B≠⌀ ”为假命题，则该命题的否定 “∀m∈R，A∩B=⌀ ”为真命题. 当a<0时，集合A=⌀ ，符合A∩B=⌀ ； 当a≥0时，因为m2+3>0，所以由∀m∈R，A∩B=⌀ ,得a<m2+3 对于任意m∈R恒成立，又m2+3≥3，所以a<3，则0≤a<3 . 综上，实数a的取值范围为{a|a<3} . 6. 若p是真命题，则a≤x2对于x∈{x|1≤x≤2} 恒成立， 所以a≤(x2)min=1 . 若q是真命题，则关于x的方程x2+3x+2−a=0 有实数根，所以 Δ=9−4(2−a)=1+4a≥0，即a≥−1/4 . 若p和q同时为真命题，则−1/4≤a≤1 , 所以当p和q中至少有一个是假命题时，有a<−1/4或a>1，即实数a 的取 值范围是{a|a<−1/4或a>1} . 7.(1)因为命题“∀x∈A,x∈B”是真命题,所以A⊆B . 又B≠⌀ ,所以 解得m≥4 , 故m的取值范围为{m|m≥4} . (2)因为B≠⌀ ,所以−3m+4≤2m−1,解得m≥1 . 由命题“∃x∈B,x∈A”为真命题,得A∩B≠⌀ . 当A∩B=⌀ 时,−3m+4>7或2m−1<2,解得m<3/2 ， 所以当A∩B≠⌀ 时,m≥3/2 . 又m≥1,故m的取值范围为{m|m≥3/2} . 学科网（北京）股份有限公司 $