1.4.2充要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”这一核心概念，从命题逻辑出发，通过“若p则q”与逆命题的真假判断，构建起充分条件、必要条件与充要条件的认知框架，前后衔接紧密，自然过渡到集合关系的直观分析，形成由抽象到具象的学习支架。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以典型例题为载体，如三角形全等判定中对应角相等与全等的关系，体现几何直观与逻辑推理的统一，又在方程根的充要条件证明中展现严谨的符号运算与推理论证能力。教学设计注重问题导向与策略提炼，帮助学生建立条件关系的系统认知，提升思维品质，教师可借此高效开展分层教学与素养落地。

1.4.2　充要条件 1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一 　充要条件 知识归纳 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 ,又有 ,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为充要条件. p⇒q q⇒p p⇔q 充分必要条件 4 知识点二　条件关系判定的常用结论 5 ·疑难解惑· (1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断两者间的条件关系. (2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立,当且仅当p成立,或p与q等价. 基础自测 1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的(　　) [A]充要条件 [B]充分不必要条件 [C]必要不充分条件 [D]既不充分也不必要条件 A 【解析】 若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.故选A. 2.“1<x<4” 是“x>0”的(　　) [A]充要条件 [B]充分不必要条件 [C]必要不充分条件 [D]既不充分也不必要条件 B 【解析】 因为当“1<x<4”时一定满足“x>0”,当“x>0”时不一定满足“1<x< 4”,所以“1<x<4”是“x>0”的充分不必要条件.故选B. 3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T3(2)改编)已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的(　　) [A]充要条件 [B]充分不必要条件 [C]必要不充分条件 [D]既不充分也不必要条件 C 4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1 对称的充要条件是(　　) [A]m=-2 [B]m=2 [C]m=-1 [D]m=1 B 关键能力·素养培优 [例1] (湘教版必修第一册P17例3)从“充分不必要条件”“必要不充分条件” “充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的　　　　　 　　;  题型一　四种条件关系的判断与探求 充分不必要条件 (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　 　　　　　;  【解析】(2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等,反之不成立,比如等腰梯形.因此应填“必要不充分条件”. (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的 　　　　 　　;  必要不充分条件 充要条件 【解析】 (3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形的两组对边分别平行,它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”. (4)若x∈R,则x2=2是x=2的　　　　 　　　　　　.  既不充分也不必要条件 [典例迁移1] 下列选项中,p是q的充要条件的有(　　) [A]p:0<x<1,q:0<x<3 [B]p:-1<x<2,q:0<x<2 [C]p:1<x<3,q:2<x<4 [D]p:x<-2或x>2,q:|x|>2 D 【解析】 对于A,因为{x|0<x<1}⫋{x|0<x<3},所以p是q的充分不必要条件; 对于B,因为{x|-1<x<2}⫌{x|0<x<2},所以p是q的必要不充分条件; 对于C,设A={x|1<x<3},B={x|2<x<4},因为A⊆B不成立,且B⊆A不成立, 所以p是q的既不充分也不必要条件; 对于D,因为{x|x<-2或x>2}={x||x|>2},所以p是q的充要条件.故选D. [典例迁移2] 求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要 条件. ·解题策略· 1.四种条件关系的判断方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:利用集合的包含关系判断.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论: ①若A=B,则p是q的充要条件; ·解题策略· ②若A⫋B,则p是q的充分不必要条件; ③若A⫌B,则p是q的必要不充分条件; ④若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件. 2.探求充要条件的方法 探求充要条件时常常先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件,再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明. 题型二　充要条件的证明 [例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.[提示:a3+b3= (a+b)·(a2-ab+b2)] 必要性(q⇒p):因为a+b=1,所以b=1-a, 所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0. 综上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件. ·解题策略· 证明p是q的充要条件分两步:一是证充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q; 二是证必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p. [变式训练] 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 【证明】 充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0, 得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0, 所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. [例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). (1)若p是q的充要条件,求实数m的取值范围; 题型三　条件关系的应用 (2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围; (3)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. ·解题策略· 应用条件关系求参数的值(取值范围) 首先可以根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. [变式训练] 已知集合A={3,4},B={x|-3<3x-a<6},若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围. 感谢观看 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q,且qp 充分不必要条件 pq,且q⇒p 必要不充分条件 p⇒q,且q⇒p 充要条件 pq,且qp 既不充分也不必要条件 【解析】 两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1; 反之,△ABC≌△A1B1C1⇒两三角形对应角相等. 所以两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要不充分条件. 故选C. 【解析】 因为二次函数y=x2+mx+1的图象的对称轴为直线x=-,所以二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1对称的充要条件是x=-=-1,即m=2.故选B. 【解析】 (1)a≥5⇒a>0,a>0a≥5.因此应填“充分不必要条件”. 【解析】 (4)当x∈R时,x2=2x=2,x=2x2=2.因此应填“既不充分也不必要条件”. 【解】 当m=0时,方程为-x+2=0,解得x=2,符合题意; 当m≠0时,方程为一元二次方程,设x1,x2是方程的解,则x1+x2=,若x1+x2=2,则=2,解得m=-或m=1,但当m=-或m=1时,Δ<0,即当m=-或m=1时,方程无解.综上,只有m=0符合题意,所以关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件为m=0. 【证明】 设p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1. 充分性(p⇒q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, 即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0, 因为ab≠0,所以a2-ab+b2=(a-b)2+b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1. 【解】 设A={x|-2≤x≤10},B={x|1-m≤x≤1+m}. (1)因为p是q的充要条件,所以A=B,所以无解, 所以实数m的取值范围是⌀. 【解】 (2)因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B, 所以或【此处也可表述为(等号不同时成立)】解得m≥9,即实数m的取值范围为{m|m≥9}. 【解】 (3)因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p的充分不必要条件,所以B⫋A, 故有(等号不同时成立),解得m≤3.又m>0, 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 【解】 因为 “x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件, 所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B, 又B={x|-3<3x-a<6},所以3∈B,且4∈B,即 解得6<a<12,所以a的取值范围是{a|6<a<12}. $