第1章 一二二次方程—— 一元二次方程及解法 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

一元二次方程的复习

教学目标

1、理解一元二次方程的概念及性质；

2、掌握一元二次方程的常用解法；

3、理解一元二次方程的根的判别式并应用；

教学重难点

1、理解一元二次方程的概念及性质；

2、掌握一元二次方程的常用解法；

3、理解一元二次方程的根的判别式并应用；

教学内容

一、知识梳理

1．一元二次方程：在整式方程中，只含         个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是         .其中         叫做二次项，         叫做一次项，         叫做常数项；         叫做二次项的系数，          叫做一次项的系数.

2. 一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.

（3）公式法：一元二次方程的求根公式是.

（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

3. 一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程的根的判别式为         .

（1）>0一元二次方程有两个         实数根，即         .

（2）=0一元二次方程有         相等的实数根，即         .

（3）<0一元二次方程         实数根.

4． 一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么          ，          .

1、方程的解是             ．

2、已知直角三角形a、b、c，且两直角边a、b满足等式，求斜边c的值

3、已知方程的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．

4．若，且y的算术平方根是，求的值．

题型一   一元二次方程的有关概念

例1.下列为一元二次方程的是（    ）

    A、    B、    C、      D、

变式：当k           时，关于x的方程是一元二次方程。

例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为           .

变式：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是           .

例3、已知的值为2，则的值为          .

变式1：已知是的根，则          .

变式2：关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为          .

题型二   一元二次方程的解法 

例1.解方程     

例2、若，则x的值为         .

例3、的根为（    ）

     A         B           C        D 

例4、若，则4x+y的值为          .

变式1：           .

变式2：若，则x+y的值为           .

变式3：若，，则x+y的值为          .

例5、方程的解为（     ）

    A.     B.     C.     D.

例6、已知,则的值为          .

变式：已知,且,则的值为          .

题型三   一元二次方程根的判别式的应用

例1.若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　）

    A．            B．            C．          D．[网

变式1：若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是      。

变式2：关于x的方程有实数根，则m的取值范围是(    )