21.3 实际问题与一元二次方程（营销问题） 教学设计 2025-2026学年人教版数学九年级上册

教学课题

21.3 实际问题与一元二次方程（营销问题）

教学背景分析

“实际问题与一元二次方程（营销问题）” 是人教版九年级上册第二十一章的重要应用内容，承接前序 “一元二次方程的解法”（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）及 “增长率、数字问题” 等二次方程应用，聚焦 “商品销售中的利润、单价、销量” 等核心要素，是一元二次方程在 “经济生活领域” 的典型实践。营销问题的核心是 “利用利润公式（利润 =（单价 - 成本）× 销量），结合‘单价变化对销量的反向影响’（如单价每涨 1 元，销量降 5 件；单价每降 1 元，销量增 5 件），建立一元二次方程模型”，本质是通过分析 “单价调整与销量变化的联动关系”，将营销中的实际利润目标转化为代数方程求解。

从教材编排来看，本节课遵循 “由浅入深、由单一变量到复合关系” 的认知规律：先通过 “固定销量下的利润计算”（如 “已知单价、成本、销量，求利润”）回顾利润公式，奠定基础；再过渡到 “单价与销量联动的简单营销问题”（如 “某商品成本 20 元，原单价 30 元，销量 100 件，单价每涨 1 元，销量降 5 件，求单价涨多少元时，利润为 1200 元”），引导学生梳理单价与销量的变化关系；最后拓展到 “含多种调整方式的复杂营销问题”（如 “单价可涨可降，求最大利润对应的单价”“考虑销量上限或单价下限的约束条件”），深化对利润模型的理解。教材通过 “梳理营销要素（单价、成本、销量）— 分析变量关系（单价变化→销量变化）— 代入利润公式列方程 — 求解检验” 的步骤，不仅强化了一元二次方程的应用能力，更培养了学生 “从经济场景中抽象数学关系” 的建模能力，为后续学习 “二次函数的实际应用（最大利润问题）”“不等式组与营销优化” 奠定基础，是衔接 “代数方程” 与 “经济决策” 的关键环节。

教学目标

1. 能熟练掌握营销问题的核心公式：明确 “利润 =（单价 - 成本）× 销量”“销售额 = 单价 × 销量”，能在已知其中三个量的情况下，准确计算第四个量（如已知单价 30 元、成本 20 元、销量 100 件，计算利润 =（30-20）×100=1000 元）。
2. 能梳理单价与销量的联动关系：准确识别 “单价变化对销量的影响方向”（涨单价→降销量，降单价→增销量），并能用含未知数的代数式表示变化后的单价与销量：①原单价为 a 元，设单价涨 x 元，变化后单价为 “a+x” 元；若 “每涨 1 元，销量降 b 件”，变化后销量为 “原销量 - b x” 件；②设单价降 x 元，变化后单价为 “a - x” 元；若 “每降 1 元，销量增

b 件”，变化后销量为 “原销量 + b x” 件。

重难点

3. 掌握营销问题的核心公式与变量关系：能熟练应用 “利润 =（单价 - 成本）× 销量”，准确识别 “单价涨 / 降与销量降 / 增” 的联动关系，并用含未知数的代数式表示变化后的单价与销量（如 “单价涨 x 元→单价 = a+x，销量 = 原销量 - b x”）。
4. 能建立一元二次方程模型：根据 “利润目标” 或 “销售额目标”，结合梳理的单价与销量关系，代入核心公式列出一元二次方程（如 “(a±x - c)(q ∓ b x)= 利润目标”，其中 a 为原单价，c 为成本，q 为原销量，“+x”“-b x” 对应涨价，“-x”“+b x” 对应降价），避免公式应用错误或变量关系颠倒。
5. 能规范求解并检验方程：选择合适的方法解一元二次方程，结合营销实际约束条件（单价≥成本、销量≥0、x 为非负合理值）检验解的合理性，确保解符合商业场景。

教学活动设计