精品解析：重庆市彭水第一中学校2025—2026学年高二上学期开学检测数学试卷

重庆市彭水第一中学校2025—2026学年高二上学期开学检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】通过斜率求出倾斜角 【详解】整理得,直线斜率为，， 所以倾斜角为. 故选：A 2. 在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由外心及垂心性质可证得、，从而证得，同理证得，进而可得四边形为平行四边形，从而在中可求得外接圆半径，结合圆的周长公式计算即可. 【详解】设为外接圆的外心，连接并延长交于点，连接、、，如图所示， 由为外接圆的外心可知，， 又因为为垂心，所以， 所以，同理：， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为， 所以中，，即， 所以，所以外接圆周长为. 故选：D. 3. 已知直线与平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平行的条件求解即可. 【详解】因为，所以，解得或．当时，与重合．故． 故选：A 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，，则，由题意，结合椭圆定义可列关于的方程由此即可得解. 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为， 不妨设，则， 点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且， 所以， 又是的中点， 所以， 所以是正三角形， 所以，可得， 设，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含式子表示出，从而即可顺利得解. 5. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦的中点为，则，由弦的值求出，即可得到点在以为圆心，1为半径的圆上，从而求出的最小值，即可得解. 【详解】圆，即，圆心，半径, 设弦的中点为，则,，且， 所以， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以， 所以的最小值为. 故选：A． 6. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据曲线的解析式，确定曲线对应的图像，结合图像确定直线与圆的位置关系，求出的取值范围即可. 【详解】 由，得，所以曲线的图像为如图所示的半圆， 令直线与圆相切， 则有圆心到直线的距离为半径， 即，解得， 如图，若直线与曲线有公共点， 则取最大值时，直线与圆相切于第二象限，， 取最小值时，直线过点，此时， 所以的取值范围是，. 故选：D 7. 在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用点到面的距离的向量求法和可构造方程组求得坐标，利用可求得结果. 【详解】以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设关于平面的对称点为， 则，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 与到平面的距离， 又，， ，，，， （当且仅当三点共线时取等号）， 即的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得关于平面的对称点，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 8. 如图，在等边中，，以为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立两个不同的平面直角坐标系，对点位置分类讨论，结合圆的参数方程设出其坐标，利用平面向量积的坐标表示将表示为三角函数，再利用辅助角公式结合三角函数的有界性求解值域，最后两种情况再取并集即可. 【详解】首先，作的中点，我们对的位置分类讨论， 当在以为圆心的半圆弧上运动时， 如图，以中点为原点建立平面直角坐标系， 因为在等边中，，所以，， 则半圆的方程为，的参数方程为是参数，且， 得到，故，， 则， 因为，所以，得到， 即，故， 即此时， 其次，作的中点， 当在以为圆心的半圆弧上运动时， 如图，以中点为原点建立平面直角坐标系， 因为在等边中，，所以，， 则半圆的方程为，的参数方程为是参数，且， 得到，故，， 则， 因为，所以，得到， 即，故，即此时， 综上，可得，故D正确. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ） A. 周长为 B. 的三个内角，，满足关系 C. 的外接圆半径为 D. 的中线的长为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知结合正、余弦定理和面积公式可以求得，，进而可以得到选项ABC是否正确，选项D，弦利用正弦定理和三角变换求出，再借助余弦定理解三角形，可得解. 【详解】因为满足，所以， 设，利用余弦定理得，， 由于，所以． 因为，所以，解得． 所以， 对于A， 的周长为，故A不正确； 对于B，因为，所以，故，故B正确； 对于C，由正弦定理得外接圆半径为，故C正确； 对于D，如图所示，在中，利用正弦定理，解得， 又，所以，在中， 利用余弦定理，解得，故D不正确． 故选：BC． 10. 已知，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为轴，垂足为关于原点的对称点为交的另一交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的轨迹方程为： B. 面积有最小值为 C. 面积有最大值为 D. 为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：设点，根据题意，结合斜率计算公式，列出方程，整理化简即可；对BC，求得与平行且与椭圆相切的直线方程，结合三角形面积公式，数形结合即可求得△面积的最值；对D：根据，求得，即可判断. 【详解】对A：设点的坐标为，显然，由题可得：， 整理可得，故的轨迹方程为，故A正确； 对BC：因为，故可得所在直线方程为：； 设与直线平行，且与的轨迹相切的直线方程为， 联立直线与椭圆方程，可得， 由，可得； 数形结合可知，与重合时，也即点为直线与椭圆的切点时，△的面积取得最大值， 此时，到直线的距离，又； 故△面积的最大值为； 同时，数形结合可知，△的面积没有最小值；故B错误，C正确； 对D：设点，则， 则，， 又点均在椭圆上，则，两式做差可得， 则，也即； 故， 故，也即△为直角三角形，D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题BC选项处理的关键是，求得与直线平行且与椭圆相切的直线方程，数形结合解决问题；D选项处理的关键是利用椭圆第三定义，结合斜率关系求解；属综合困难题. 11. 正方体的棱长为，，分别是，的中点，点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若平面，且点平面，则的最小值为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，得到点的轨迹为以为球心，1为半径的球与正方体表面的交线，从而求出轨迹长度；B选项，与A同理可得；C选项，作出辅助线，得到点的轨迹是线段，则当时，最小，由勾股定理求出答案；D选项，作出辅助线，得到的轨迹为等腰梯形，求出轨迹总长. 【详解】对于A、B，如图，等于以为球心，1为半径的球与正方体表面的交线总长，所以，故A正确； 等于以为球心，为半径球与正方体表面的交线总长， 由于，所以球与过的三个正方体表面没有交线， 与另外三个面的交线长为，故B错误； 对于C，如图，取的中点H，的中点， 连接，可知， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面， 故平面平面， 则当点平面时，平面，又点平面， 所以点的轨迹是线段，则当时，最小， 由勾股定理得，即的最小值为，故C错误； 对于D，因为，所以点与点，，共面， 从而点的轨迹为平面与正方体表面的交线， 连接，则，故四点共面， 画出交线如图，所以的轨迹为等腰梯形（如图）， 故轨迹总长，故D正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，再结合椭圆的离心率，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 13. 设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模的几何意义确定点的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积． 【详解】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）．  半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积．  故答案为：． 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，，从而得到，再构造函数求其范围即可. 【详解】如图所示： 设，，因为点在第一象限，所以. 又因为均在以线段为直径的圆上， 所以四边形为矩形，即. 因为，所以，即. 因为，， 所以，即. 因为， 设，，即，. 因为，所以在区间单调递增. 所以，即. 当时，解得，即，解得； 当时，解得，即，即. 综上. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，已知正方体中，分别是和的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、．由题意可证得，因为为的中点，所以，即可证得. （2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为，由线面垂直的判定定理可证得平面，所以，由等体积法求出，再由，代入即可得出答案. 【小问1详解】 证明：如图，正方体中， 取的中点，连接、．∵是的中点， ∴，．∵是的中点，且，， ∴，，∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，∵正方体，又为的中点， ∴，∴． 【小问2详解】 设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为， 设正方体棱长为2，则， 由（1）知：，由正方体的性质知平面， 因为平面，所以，平面，， 所以平面，因为，所以平面， ∴即， ∴， ∴． 16. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为坐标原点，的面积为. （1）求的方程； （2）过的右焦点作直线与交于两点（均与点不重合），若，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可； （2）设，联立椭圆方程得到韦达定理式，再计算，整理得，最后代入韦达定理式即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得，故的方程为. 【小问2详解】 由可知为的平分线. 若为轴，此时的平分线为轴，不符合题意， 所以的斜率不存在或斜率不为0，易知，， 设， 联立得方程组得， 因为直线所过定点在椭圆内，则直线与椭圆必有两交点， 所以.① 由（1）可知. 因为为的平分线， 所以，所以， 又因为，则，， 所以， 整理得， 将①式代入整理得，解得， 所以的方程为，即. . 【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设线法得到韦达定理式，再由向量式分析出为的平分线，从而有，最后计算，整理出，再代入韦达定理式即可. 17. 记斜的内角的对边分别为，已知，且． （1）求角； （2）为边的中点，若，求的面积； （3）如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值； （2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案； （3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围. 【小问1详解】 利用余弦定理化简，得， 在斜中，得，， 故上式可化为， ，可得，利用二倍角公式可得， ，，即，. 【小问2详解】 为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，， ，得， 由（1）可知，即，， 由余弦定理得，解得， 的面积为 【小问3详解】 ，在中，由正弦定理可得，，即， 在中，由正弦定理可得，，即， 四边形的内角和为，且，， 在中，由余弦定理可得， ， 即， ， ，在中,，， ，故的取值范围为. 18. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. 【小问1详解】 证明：因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19. 如图1，平面四边形中，，，，将沿边折起如图2，使 ，点，分别为，的中点，在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题. ①； ②为四面体外接球的直径； ③平面平面. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①：根据题意证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合，即可证得平面. 若选②：根据题意证得平面，结合，即可证得平面. 若选③：由面面垂直的性质定理，证得平面，得到，证得平面，根据，即可证得平面. （2）以为原点，射线为轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 若选①：由， 在中，，，，， 可得，所以， 又由，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由，且，平面，所以平面， 又因为，分别为，中点，可得，所以平面. 即直线与平面所成角的大小为. 若选②：由为四面体外接球的直径，则，可得， 又由，且，平面，所以平面， 因为，分别为，中点，可得，所以平面. 即直线与平面所成角的大小为. 若选③：由平面平面，平面平面， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由，且，平面，所以平面， 因为，分别为，中点，可得，所以平面. 即直线与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 以为原点，射线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以，故二面角的正弦值. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市彭水第一中学校2025—2026学年高二上学期开学检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2或 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线有公共点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，以为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知满足，且面积，则下列命题正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足关系 C. 的外接圆半径为 D. 的中线的长为 10. 已知，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为轴，垂足为关于原点的对称点为交的另一交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的轨迹方程为： B. 面积有最小值为 C. 面积有最大值为 D. 为直角三角形 11. 正方体的棱长为，，分别是，的中点，点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若平面，且点平面，则的最小值为 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则__________. 13. 设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为______． 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，已知正方体中，分别是和的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角正弦值． 16. 已知椭圆右顶点为，上顶点为坐标原点，的面积为. （1）求的方程； （2）过的右焦点作直线与交于两点（均与点不重合），若，求的方程. 17. 记斜的内角的对边分别为，已知，且． （1）求角； （2）为边的中点，若，求的面积； （3）如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 18. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 如图1，平面四边形中，，，，将沿边折起如图2，使 ，点，分别为，的中点，在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题. ①； ②为四面体外接球的直径； ③平面平面. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $