精品解析：湖南省永州玉潭高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期永州玉潭高级中学高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，结合可得，进而结合子集的定义求解即可. 【详解】因为， 若，则， 所以满足的集合的个数为. 故选：B. 2. 设是第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简 ，通过充分条件与必要条件的概念结合三角函数的知识进行求解. 【详解】，满足 ，故充分性成立； 但当时，是第一象限角，则， 不一定得出，故必要性不成立； 所以是第一象限角，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 5弧度的角的终边所在的象限为（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴间角的弧度数判断． 【详解】因为，所以5弧度的角的终边在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查象限角的概念，判断象限角，一般可把角化为（，）形式，然后由的象限得结论．注意轴间角的弧度数． 4. log5(log3(log2x))＝0，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算公式得到log3(log2x)＝1，进而得到log2x＝3，x＝8，根据指数幂运算可得到结果. 【详解】∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1， ∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴ 故选：C. 5. 在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，找到异面直线AE，FG所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案. 【详解】连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点， 所以FGAD， 所以或其补角为异面直线AE，FG所成角， 设正四面体的边长为a， 则，， 由余弦定理得：， 所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为. 故选：C 6. 已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137 【答案】A 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，再解不等式即得. 【详解】依题意，令，则，即有，显然是5的正整数倍， 令，因此，由，解得， 所以最大的整数. 故选：A 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数证明，令，求解判断. 【详解】设，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，即， 所以，即， 所以，∴， 又， 而，∴， 故. 故选：D. 8. 已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到的大致图象，令，则化为，分、、、、、六种情况讨论，结合函数图象即可得解. 【详解】由， 当时，函数在上单调递减，且，，当时， 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 可得的大致图象如下所示： 令，则化为， 当时无解，则无解； 当时，解得，由图可知有两解，即有两解； 当时有一解且，又有一个解，即有一解； 当时有两个解，即、， 又有一个解，有两个解，所以共有三个解； 当时有三个解，即，，， 无解，有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 当时有两个解，即，， 有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 综上可得的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据子集和真子集定义直接判断即可. 【详解】，，，，， 可以是、和. 故选：ABC. 10. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论. 【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，A正确； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，B错误； 把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，C错误； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，D正确； 故选：AD. 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设，求出，利用对数的运算及换底公式计算判断A；利用作商法计算判断B；利用作差法计算判断CD. 【详解】依题意，设，则，， 对于A，，A正确； 对于B，，而，即有，则， 又，，即有，则， 所以，B正确； 对于C，由选项A知，，得， 则，C错误； 对于D，， 因此，D错误. 故选：AB 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，因式分解后，结合一元二次函数图象性质，即可求解. 【详解】根据题意，由，得，即或， 因此不等式的解集为. 故答案为：. 13. 已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，从而得到，令，再利用的图象与性质，即可求出结果. 【详解】因为函数的一条对称轴为， 所以，得到，又，所以， 所以， 又当时，的最小值为， 令，则， 由的图象与性质知，，得到， 故答案为：. 14. 已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】设直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再利用导数的几何意义求解方程，联立可得，再代入根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】的焦点为，设直线方程为，. 联立直线与抛物线方程有，则. 又求导可得，故直线方程为. 又，故，同理. 联立可得，解得，代入可得，代入韦达定理可得，故. 故，当且仅当，即时取等号. 故答案为：10 【点睛】方法点睛：如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论: 结论1.直线过抛物线的焦点. 结论2.直线的方程为. 结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线. 结论4.. 结论5.. 结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴. 结论7.. 四．解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 在四边形中，，，，为的面积，且. （1）求角； （2）若，求四边形的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式及数量积的定义化简方程可得，即可得解； （2）求出，再由正弦定理求出AB=BC=1，即可得解. 【小问1详解】 由， 在中得， 即，可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由，所以， 所以为等边三角形，， 所以， 由正弦定理知，得， 故四边形的周长为. 16. 如图，在三棱柱中，侧面BB1C1C为菱形，，，． （1）证明：平面ACB1平面BB1C1C； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：连接，与交于点，则为，的中点，连接AD， 因为，所以，因为侧面为菱形，，，，所以，，所以，即， 因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点，连接AD，通过几何关系证明，即可证明平面ACB1平面BB1C1C； （2）取的中点，连接，AE，，通过几何关系证明为二面角的平面角，在，利用余弦定理即可求二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，AE，， 由（1）知，，又，所以，又，所以，又因为，菱形中，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， ，， 所以， 所以二面角的余弦值为． 17. 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 证明：当与轴重合时，，所以 当不与轴重合时，设，直线的方程为， 由整理得， 则， 故 圆心到直线的距离为，则， 所以，即为定值． 【解析】 【分析】（1）由以及即可求解的值， （2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解. 【小问1详解】 由，可得，解得， 又因为，所以， 因为点在椭圆上，所以， 解得，，，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 18. 巴蜀中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分. （1）已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差； （2）已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列. 【答案】（1）24，256 （2） 的概率分布为: 0 20 40 【解析】 【分析】（1）设甲答对题目的数目为，则，所以，根据二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算可得； （2）设乙答对题目的数目为，则服从超几何分布，且，根据超几何分布的概率公式求出分布列. 【小问1详解】 设甲答对题目的数目为，则，所以， 所以； . 【小问2详解】 设乙答对题目的数目为，则服从参数为，，的超几何分布， 且， 所以，， ，， ， 所以的概率分布为 0 20 40 19. 已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－ (a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex. （1）当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值； （2）当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） 当a≤1时，f(x)min＝1－a； 当1<a<e时，f(x)min＝a－(a＋1)lna－1； 当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据导函数零点大小分类讨论，最后根据对应单调性确定最值； （2）先转化为f(x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2，0])的最小值，再由（1）确定f(x)min＝f(e)，利用导数确定g(x)单调性，确定g(x)min＝g(0)，最后解不等式得结果. 【详解】（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝. ①当a≤1时，x∈[1，e]，f′(x)≥0， f(x)为增函数，f(x)min＝f（1）＝1－a. ②当1<a<e时， x∈[1，a]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数； x∈[a，e]时，f′(x)≥0，f(x)为增函数. 所以f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)lna－1. ③当a≥e时，x∈[1，e]时，f′(x)≤0， f(x)在[1，e]上为减函数. f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－. 综上，当a≤1时，f(x)min＝1－a； 当1<a<e时，f(x)min＝a－(a＋1)lna－1； 当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－. （2）由题意知f(x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2，0])的最小值. 由（1）知当a<1时，f(x)在[e，e2]上单调递增， f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－. g′(x)＝(1－ex)x. 当x∈[－2，0]时，g′(x)≤0，g(x)为减函数. g(x)min＝g(0)＝1. 所以e－(a＋1)－<1，即a>， 所以a的取值范围为. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值、利用导数研究双变量问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期永州玉潭高级中学高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 设是第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 5弧度的角的终边所在的象限为（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. log5(log3(log2x))＝0，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 10. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是___________. 13. 已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________. 14. 已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________. 四．解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 在四边形中，，，，为的面积，且. （1）求角； （2）若，求四边形的周长. 16. 如图，在三棱柱中，侧面BB1C1C为菱形，，，． （1）证明：平面ACB1平面BB1C1C； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值． 18. 巴蜀中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分. （1）已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差； （2）已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列. 19. 已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－ (a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex. （1）当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值； （2）当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $