21.3 实际问题与一元二次方程（数字问题） 教学设计 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

教学课题

21.3 实际问题与一元二次方程（数字问题）

教学背景分析

“实际问题与一元二次方程（数字问题）” 是人教版九年级上册第二十一章的特色内容，承接前序 “一元二次方程的解法”（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）及 “增长率、传播问题” 等二次方程应用，聚焦 “两位数、三位数等多位数的数字组成与位置变化问题”，是一元二次方程在 “数与代数” 领域的基础应用。数字问题的核心是 “利用多位数的数位规律（如两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字），结合数字间的和、差、积关系或位置交换后的数值变化，建立一元二次方程模型”，本质是通过分析 “数位上的数字” 与 “多位数的数值” 之间的联系，将文字描述的数字关系转化为代数方程。

从教材编排来看，本节课遵循 “由简单到复杂、由单一关系到复合关系” 的认知规律：先通过 “两位数的数字和与积” 问题（如 “一个两位数，十位数字与个位数字之和为 5，积为 6，求这个两位数”），让学生掌握多位数的表示方法；再过渡到 “数字位置交换” 问题（如 “一个两位数，十位数字比个位数字小 1，交换位置后得到的新数与原数的积为 1008，求原数”），引导学生分析位置变化前后的数值关系，尝试列方程求解；最后拓展到 “三位数的数字关系”（如 “一个三位数，百位数字为 1，十位数字与个位数字之和为 8，若把百位数字与个位数字交换，得到的新数比原数大 198，求原数”）及 “数字与数的倍数关系”（如 “一个两位数是其各位数字和的 4 倍，且个位数字比十位数字大 2，求这个两位数”），深化对数字问题建模的理解。教材通过 “明确数位表示 — 梳理数字关系 — 建立方程 — 求解检验” 的步骤，不仅强化了一元二次方程的应用能力，更培养了学生 “从数位规律中抽象数学关系” 的逻辑思维能力，为后续学习 “代数综合题”“数字规律探究题” 奠定基础，是衔接 “基础代数” 与 “综合应用” 的重要环节。

教学目标

1. 能准确掌握多位数的表示方法：明确 “两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字”“三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字”，能根据数位上的数字（用字母表示）正确写出多位数的代数式（如十位数字为 x，个位数字为 y，两位数表示为 10x+y；百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，三位数表示为 100a+10b+c）。
2. 能梳理数字问题中的核心关系：准确识别 “数字和”（如十位数字 + 个位数字 = 5）、“数字积”（如十位数字 × 个位数字 = 6）、“位置交换后的数值变化”（如交换后的新数 - 原数 = 18）、“数与数字和的倍数关系”（如两位数 = 3×(十位数字 + 个位数字)）等等量关系。

重难点

3. 掌握多位数的正确表示方法：能熟练运用 “两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字”“三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字” 的规律，根据数位上的数字（含字母）写出多位数的代数式，避免出现 “将两位数表示为 x+y” 的错误。
4. 能梳理数字问题中的等量关系：准确识别 “数字和、数字积、位置交换后的数值变化、倍数关系” 等核心关系，将文字描述转化为数学表达式（如 “交换后的新数比原数大 18” 转化为 “10y+x - (10x+y)=18”）。
5. 能建立一元二次方程并求解检验：根据数字关系设 “数位数字为未知数”，列出一元二次方程，选择合适的方法求解，同时检验 “数位数字为 0-9 的整数”“十位 / 百位数字非 0” 等条件，确保解的合理性。

教学活动设计