22.1 第2课时二次函数y=ax2的图象和性质课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1第2课时 二次函数y=ax2的图象和性质 第二十二章 二次函数 情 境 导 入 2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤？ 图象法、列表法、解析法 ①列表 ②描点 ③连线 1.函数有几种表示方式？图象法有什么特点？ 复习 第2课时 二次函数y=ax2的图象和性质 新 课 探 究 你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … y=x2 … … 观察y=x2的关系式,选择适当x值,并计算相应的y值，完成下表： 9 4 1 1 0 4 9 1.列表 第2课时 二次函数y=ax2的图象和性质 新课探究 情境导入 课堂小结 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 2.描点 y=x2 3.连线 新课探究 情境导入 课堂小结 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 3 6 9 y O -3 3 x 从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫作抛物线y=x2. 实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫作抛物线y=ax2+bx+c. 9 4 1 0 1 9 4 新课探究 情境导入 课堂小结 2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫作物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点. 思考： 1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？ ___，如果是，它的对称轴是_____. 是 y轴 (0,0) 顶点 低 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.   3 6 9 y O -3 3 x 新课探究 情境导入 课堂小结 3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的_____，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_____，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 3 6 9 y O -3 3 x 新课探究 情境导入 课堂小结 【例1】在同一直角坐标系中，画出函数 ，y=2x2的图象. 一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. y=2x2 y= x2 1 2 新课探究 情境导入 课堂小结 一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. y=- x2 1 2 y=-2x2 在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2 ，y=-2x2的图象. 新课探究 情境导入 课堂小结 向上 向下 (0,0) (0,0) y轴 y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. 当x=0时， y最小=0. 当x=0时， y最大=0. 方向 向上 向下 大小 越小 越大 1.下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ） A.它的图象经过点（-1，-2） B.它的图象的对称轴是直线x＝2 C.当x＜0时，y随x的增大而增大 D.当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0 2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点( ) A.(2，4) B.(-2，-4) C.(-4，2) D.(4，-2) 3.在同一坐标系中，与y=2x2的图象关于x轴对称的图象是( ) A.y=x2 B.y=-x2 C.y=-2x2 D.y=-x2 新课探究 情境导入 课堂小结 D A C 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 5.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 , 顶点是 ,顶点是抛物线的最 点; 4.函数y=-4x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ; 向下 向下 y轴 y轴 (0,0) 高 (0,0) 新课探究 情境导入 课堂小结 6.已知y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式. 解: 依题意有 m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. m2+m 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第2课时 二次函数y=ax2的图象和性质 情境导入 课堂小结 新课探究 抛物线 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 图象 性质 以对称轴为中心对称取点 描点法 轴对称图形 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 1．画出一次函数y＝x＋1的图象． x     y＝x＋1     解：如图： 课后练习 2．(人教9上P30、北师9下P32)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2与y＝－x2的图象． x               y＝x2               y＝－x2               解：如图： 3．二次函数y＝ax2的图象如图所示，则： (1)a　 　0；  (2)开口向　 　；  (3)对称轴是　 　；  (4)顶点坐标是　 　；  (5)当x＝　 　时，y的最小值是　 　；  (6)当x＞0时，y随x的增大而　 　． 　增大　 　0　 　0　 　(0，0)　 　y轴　 　 上　 　＞　 4．【例1】(人教9上P30、北师9下P35)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝x2的图象． x               y＝2x2               y＝x2               解：如图： 小结：用数形结合法解题，会更快捷形象. 5．(人教9上P31－32、北师9下P36改编) 已知点(x1，y1)与(x2，y2)在抛物线y＝－2x2上， 若x1＜x2＜0，则y1　 　y2． 　＜　 6．(2024潮州月考)如图，二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，其中A(－1，－1)，G为一次函数与y轴的交点，求△OAB的面积． 解：将(－1，－1)分别代入y＝ax2和y＝kx－2， 可得a＝－1，k＝－1， 故y＝－x2，y＝－x－2， 联立得－x2＝－x－2， 解得x＝－1或2，故B(2，－4)． ∵y＝－x－2，∴G(0，－2)， ∴S△OAB＝S△OAG＋S△OBG＝×2×1＋×2×2＝3． 7．(人教9上P31、北师9下P36)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－2x2与y＝－x2的图象． x               y＝－2x2               y＝－x2               解：如图： 8．(人教9上P32、北师9下P36改编)若点(x1，y1)和(x2，y2)在函数y＝x2的图象上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为 　 　 ． 　y1＞y2　 ★9． 已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线 y＝x－3交于点M(1，m)与N，顶点为原点O． (1)求a，m，n的值； (2)当x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？ (3)求△OMN的面积． 0.50 解：(1)∵二次函数y＝ax2与直线y＝x－3交于点M(1，m)，N， ∴m＝1－3＝－2，n＝－－3＝－， ∴－2＝a×12，a＝－2， 即a，m，n的值分别为－2，－2，－． (2)由(1)知a＝－2，则二次函数的解析式为y＝－2x2， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大． (3)∵点M(1，－2)，N，O(0，0)， ∴△OMN的面积为 ×2×1－． THANK YOU $