21.3 实际问题与一元二次方程（增长率问题） 教学设计 2025-2026学年人教版数学九年级上册

教学课题

21.3 实际问题与一元二次方程（增长率问题）

教学背景分析

“实际问题与一元二次方程（增长率问题）” 是人教版九年级上册第二十一章的核心内容，承接前序 “一元二次方程的解法”（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）及 “传播问题” 等二次方程应用，聚焦 “经济、人口、产量等领域的连续增长（或下降）问题”，是一元二次方程在 “复利增长型数量关系” 中的典型应用。增长率问题的核心是 “初始量经过连续两轮增长（或下降），每轮增长（或下降）率固定，形成‘初始量→第一轮增长后量→第二轮增长后量’的复利链条”，本质是通过分析每轮增长（或下降）的数量变化规律，建立 “初始量 ×(1 + 增长率)²= 最终量”（或 “初始量 ×(1 - 下降率)²= 最终量”）的一元二次方程模型（通常为两年增长，对应二次方程）。

从教材编排来看，本节课遵循 “从单一到复合、从增长到升降结合” 的认知规律：先通过 “简单两年增长” 实例（如 “某工厂年产值 100 万元，每年增长 x，两年后产值 121 万元”），让学生直观感受连续增长的数量变化；再过渡到 “含未知数的增长率问题”（如 “初始量 a，两年后量 b，求年增长率 x”），引导学生自主推导每轮增长后的量，尝试列方程求解；最后拓展到 “增长与下降结合” 场景（如 “第一年增长 x，第二年下降 x，两年后量变化”）及 “非两年的连续变化”（如 “三年增长，前两年增长率相同，第三年单独变化”），深化对增长模型的理解。教材通过 “分析增长过程 — 列表梳理量的变化 — 建立方程 — 求解检验” 的步骤，不仅强化了一元二次方程的应用能力，更培养了学生 “从实际经济、社会场景中抽象数学规律” 的建模能力，为后续学习 “二次函数的实际应用（利润、面积问题）”“指数函数” 等内容奠定基础，是衔接 “代数方程” 与 “实际经济模型” 的关键环节。

教学目标

1. 能准确描述增长率（或下降率）问题的核心规律：明确 “连续增长（或下降）时，每轮增长（或下降）的基数是上一轮增长（或下降）后的量”，能用文字或图表清晰呈现两年增长（或下降）的数量变化过程（如 “初始量 a→第一年 a (1+x)→第二年 a (1+x)²”）。
2. 能根据增长（或下降）过程梳理数量关系，正确列出代数式：①已知初始量为 a，年增长率为 x，第一年增长后量为 “a (1+x)”，第二年增长后量为 “a (1+x)²”；②若为年下降率 x，第一年下降后量为 “a (1-x)”，第二年下降后量为 “a (1-x)²”，避免混淆 “增长” 与 “下降” 的

符号，以及 “单轮增长” 与 “多轮增长” 的代数式。

3. 能根据 “最终量” 的条件，建立一元二次方程并求解：①如 “初始量 100，两年后量 121，求年增长率 x”，列方程 “100 (1+x)²=121”；②如 “初始量 80，两年后量 64.8，求年下降率 x”，列方程 “80 (1-x)²=64.8”，熟练运用合适的解法（如直接开平方法、因式分解法）求解方程。

重难点

1. 掌握增长率（或下降率）问题的核心数量关系：能准确梳理两年增长（或下降）过程中 “初始量 — 第一年变化后量 — 第二年变化后量” 的关系，理解 “第二年变化后量 = 第一年变化后量 ×(1 + 增长率)”，即 “a (1+x)²”（a 为初始量，x 为年增长率）或 “a (1-x)²”（x 为年下降率）的推导逻辑。
2. 能建立一元二次方程模型：根据 “最终量” 的已知条件，结合梳理的数量关系，正确列出一元二次方程（如 “a (1+x)²= 最终量”“a (1-x)²= 最终量”），避免出现 “漏算复利效应” 的错误（如列成 “a + a x + a x²= 最终量”“a (1+2x)= 最终量”）。
3. 能规范求解并检验方程：选择合适的方法解一元二次方程，排除不符合实际意义的解（如负数解、大于 1 的解），确保解的合理性与实用性。

教学活动设计