1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示第一课时课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第1课时 空间中点、直线和 平面的向量表示 1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量.(重点) 学习目标 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 导 语 空间中点的向量和直线的向量表示 一 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题1 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？ 问题2 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ① 将=a代入①式，得=+t. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得= ，即= . (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ ，即=+ . 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定. ta ta 方向向量 t t 知识梳理 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 注 意 点 <<< 8 (1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　 　，直线BC1的一个方向向量为　　 　 　 . (0，0，1) (0，1，1) (答案不唯一) (2)已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(-1，2，z)两点，则y-z等于 A.0 B.1 C. D.3 √ 例1 9 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 反 思 感 悟 10 二 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得= . 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+ + .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. xa+yb x y 3.空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定.如图，直线l⊥ α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 不共线 法向量 (1)平面α的法向量为非零向量. (2)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (3)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 注 意 点 <<< 　 (课本例1)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量. 例 2 14 　已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 练习 15 求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 反 思 感 悟 16 1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法、赋值法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 课堂小结 $