第14讲 圆与圆的位置关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

第14讲 圆与圆的位置关系 【人教A版】 模块一 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【解题思路】利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 故圆与圆外切. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【解题思路】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【解题思路】利用几何法可判断两圆的位置关系. 【解答过程】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，所以，， 因此，圆与圆相交. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【解题思路】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【解答过程】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确. 故选：B. 【题型2 由圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【解答过程】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·吉林四平·期中）若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解题思路】由两圆的位置关系列式计算即可. 【解答过程】由题意圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为 ； 则，所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得，不合题意； 所以. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】根据的方程求出的取值范围，再将两圆方程化为标准式，得到圆心坐标与半径，分两圆外切或内切两种情况讨论，分别计算可得. 【解答过程】由圆得，解得． 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆外切或内切． ①若两圆内切，则，解得，符合， ②若两圆外切，则，解得，符合． 综合①②得实数 或． 故选：C． 【变式2.3】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解； 【解答过程】由题意可得：， 即：， 解得：，且， 所以的取值范围为， 故选：C. 模块二 两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型3 两圆的公切线长】 【例3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解题思路】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【解答过程】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D. 【变式3.1】（2025高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【解题思路】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【解答过程】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 【变式3.3】（24-25高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【解题思路】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【解答过程】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 【题型4 求两圆的公切线方程】 【例4】（24-25高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式4.1】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【解答过程】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 【变式4.3】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)和 【解题思路】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用性质在直角三角形中勾股定理求解半弦长即可； （2）由形可知一条公切线为；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离等于半径，解即可得. 【解答过程】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为， 所以点到的距离为， 所以公共弦长为， 故两圆公共弦直线方程为，公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，即， 则点到此公切线的距离，解得， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和． 【题型5 两圆的公切线条数问题】 【例5】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用两圆的位置关系来确定公切线的条数. 【解答过程】由圆可得：， 所以该圆心，半径， 又由圆可得：， 所以该圆心，半径， 由于圆心距，而， 所以，即两圆相外切， 所以两圆的公切线有3条， 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求圆心和半径，由题意可知：两圆相交，进而可得结果. 【解答过程】圆的方程整理可得，可知圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意可知：两圆相交，且，， 所以. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用圆与圆位置关系的判断方法，得到两圆的位置关系，即可求解. 【解答过程】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 又，所以， 故圆与圆外切，所以圆与圆的公切线条数是条， 故选：B. 【变式5.3】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【解题思路】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，即可得答案. 【解答过程】由圆，圆心，半径， 圆，整理得：，圆心， 半径，则，两圆外切， 同时与两圆相切的直线有3条, 故选：B. 模块三 两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型6 相交圆的公共弦方程】 【例6】（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【解答过程】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程相减即可求解； 【解答过程】由圆与圆方程相减可得： ， 所以公共弦所在的直线方程为， 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【解答过程】（1）经过点与点的直线方程为 ． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 【变式6.3】（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【解题思路】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【解答过程】（1）证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 【题型7 两圆的公共弦长问题】 【例7】（24-25高二下·浙江·开学考试）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，再根据垂径定理和点到直线的距离公式可得. 【解答过程】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【解题思路】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【解答过程】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知圆，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)求曲线与的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用相关点法求解轨迹方程即可. （2）两圆相减求出公共弦方程，再利用点到直线的距离公式结合勾股定理求解公共弦长即可. 【解答过程】（1）设，，因为为线段的中点， ，所以得 又因为点在圆上，所以， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. （2）圆①，圆②， ①②得，即公共弦所在的直线方程为， 因为圆心到直线的距离， 而圆的半径为2，所以曲线与的公共弦长为. 【变式7.3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【解题思路】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【解答过程】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离 ． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 模块四 圆系方程及其应用 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【题型8 圆系方程及其应用】 【例8】（24-25高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程. 【解答过程】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为，把点代入方程，求出即可. 【解答过程】设所求的圆的方程为， 把点代入可得，， 解得， 所以所求圆的方程为， 故选：A. 【变式8.2】（2025高三·全国·专题练习）求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【解题思路】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：，求出圆心坐标再代入直线方程即可求解． 【解答过程】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：， 即，① 从而圆心坐标为． 因为圆心在直线上，代入可得，解得． 代入①得，即为所求圆的方程． 【变式8.3】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【解答过程】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 一、单选题 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【答案】B 【解题思路】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【解答过程】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B. 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解题思路】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【解答过程】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【解答过程】方法一：将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二：联立解得或 所以． 故选：B. 4．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【解答过程】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【解答过程】因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心的距离为，又， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切， 所以有3条公切线． 故选：C. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【解题思路】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C. 7．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【解答过程】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D. 8．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先设出点的坐标，根据得出点的轨迹方程，再根据圆与圆的位置关系求出实数的取值范围. 【解答过程】设点，因为为坐标原点，，且. 根据两点间距离公式，则，. 所以，展开整理可得：. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知圆，其圆心为，半径. 因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点. 根据两圆位置关系，两圆的圆心距. 两圆有公共点，则，即. 对于，两边平方得，展开整理得，， ，函数图象开口向上，所以恒成立. 对于，两边平方得，展开得，即，，解得.   综上所得，. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【解题思路】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心距，利用两圆外离的关系列出不等式，求出整数的值. 【解答过程】因为方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 因为方程可化为， 由已知，且为正整数， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 所以圆心距， 因为圆和圆外离， 所以， 所以， 故的可能取值有， 故选：CD. 10．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【解题思路】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【解答过程】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆 ，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解题思路】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【解答过程】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【解题思路】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【解答过程】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 13．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【解题思路】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【解答过程】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【解答过程】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【解答过程】（1）圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. （2）由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 16．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为. (1)求弦长； (2)若圆与圆相交，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）利用斜率的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程，最后结合勾股定理求解弦长即可. （2）利用圆与圆的位置关系建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】（1）由题意得直线过点，且倾斜角为， 由斜率的几何意义得， 则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 由勾股定理得. （2）易知圆的圆心坐标为，半径为； 若圆与圆相交，则， 即，解得， 故的取值范围为. 17．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)2条，有， 【解题思路】（1）求出的中点坐标、可得圆心坐标、半径，可得的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程． 【解答过程】（1）因为，所以的中点为， 且， 因为是以线段为直径的圆，即圆心为， 半径， 所以的标准方程为； （2）圆的圆心2， 又， 所以，故两圆相交，其公切线条数为2， 此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦的一般式方程为． 18．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【解答过程】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为 ， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 圆与圆的位置关系 【人教A版】 模块一 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【变式1.1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【变式1.2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【变式1.3】（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【题型2 由圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·吉林四平·期中）若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2.2】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2.3】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模块二 两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型3 两圆的公切线长】 【例3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式3.1】（2025高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【变式3.3】（24-25高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【题型4 求两圆的公切线方程】 【例4】（24-25高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4.1】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【变式4.3】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【题型5 两圆的公切线条数问题】 【例5】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5.1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 模块三 两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型6 相交圆的公共弦方程】 【例6】（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【变式6.3】（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【题型7 两圆的公共弦长问题】 【例7】（24-25高二下·浙江·开学考试）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【变式7.2】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知圆，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)求曲线与的公共弦长. 【变式7.3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 模块四 圆系方程及其应用 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【题型8 圆系方程及其应用】 【例8】（24-25高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（2025高三·全国·专题练习）求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【变式8.3】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 一、单选题 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 7．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 8．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆 ，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系是 . 13．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 16．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为. (1)求弦长； (2)若圆与圆相交，求的取值范围. 17．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 18．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $