第09讲 直线的方程（二）（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

第09讲 直线的方程（二） 【人教A版】 模块一 直线方程的求法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式1.1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况讨论，分别设出直线的方程，再将点代入即可求解. 【解答过程】当直线l在坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为， 因为直线l过点，所以，所以，所以直线方程为； 当直线l在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程设为， 将代入可得，此时直线方程为， 综上，直线l的方程为或． 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【解答过程】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 【变式1.3】（24-25高二上·广东深圳·期中）写出满足下列条件的直线的方程. (1)经过点，斜率是； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在轴上的截距是7； (4)在轴上的截距是2，且与轴平行； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）利用点斜式求出直线方程； （2）依题意直接得到直线方程为； （3）利用斜截式求出直线方程； （4）依题意可知斜率为，即可得到直线方程； 【解答过程】（1）经过点，斜率是， 则直线方程为，即. （2）经过点，且与x轴垂直， 则直线方程为，即. （3）斜率是，在y轴上的截距是7， 则直线方程为，即. （4）在y轴上的截距是2，且与x轴平行， 则直线方程为，即. 模块二 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型2 求与已知直线垂直的直线方程】 【例2】（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【解答过程】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 【变式2.1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【解答过程】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 【变式2.2】（24-25高二·全国·课堂例题）分别求下列直线的方程： (1)过点且与直线垂直的直线； (2)过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线垂直与斜率的关系，再利用点斜式方程即可； （2）根据平行利用待定系数法即可. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为3且与垂直，所以的斜率为， 因此直线的点斜式方程为， 整理得． （2）依题意可设的方程为．由于过点， 因此， 解得． 因此直线的方程为． 【变式2.3】（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可得解； （2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以边所在直线的斜率为，且， 所以边所在直线的方程为，即. （2）因为，，所以的中点为， 又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 【题型3 求与已知直线平行的直线方程】 【例3】（24-25高二上·湖南益阳·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】与直线平行的直线可设为，带点即可解出. 【解答过程】设与直线平行的直线可设为，因为点在上， 所以，所以方程为. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【解答过程】直线的斜截式方程为，则其斜率为， 因为直线过点，且与直线平行，所以， 则直线的点斜式方程为，即为． 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为. (1)求的一般式方程； (2)若直线经过点，且，求的方程. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，在根据两点求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可； （2）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再由直线经过点求出直线方程. 【解答过程】（1）由的三个顶点为，且为的中点， 可得，即，则， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的方程为， 因为，可设直线的方程为， 直线经过点，可得，解得， 所以直线的方程为. 【变式3.3】（24-25高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【解答过程】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 【题型4 根据两直线平行求参数】 【例4】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行列方程求解即可. 【解答过程】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【解答过程】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二上·山西大同·阶段练习）若直线与平行，则a的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行的充要条件即可求解. 【解答过程】由题意，所以， 解得. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【解题思路】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【解答过程】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 【题型5 根据两直线垂直求参数】 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【解答过程】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】当时，判断两直线的斜率，从而可证明充分性；当时，求的值，从而证明必要性. 【解答过程】当时，：，：， 则，所以，即“”是“”的充分条件； 当时，，解得或， 所以，当时，或，即“”是“”的不必要条件， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5.2】（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【解答过程】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 【变式5.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【解题思路】（1）依题意可得，则，利用斜率公式计算可得； （2）分或为直角顶点两种情况讨论，分别计算可得； （3）结合（1）（2）得解. 【解答过程】（1）因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． （2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． （3）若为直角顶点，由（1）知； 若为直角顶点，由（2）知； 若为直角顶点，由（2）知． 综上可知，或或． 模块三 直线过定点问题 1．直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过分离参数法来解决： 第一步：对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； 第二步：确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 【题型6 直线过定点问题】 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【解答过程】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【解答过程】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C. 【变式6.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过分离参数将问题转化为过直线交点的直线系方程，即可求解. 解法一：直线方程可化为，解方程组，即可求解； 解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.解方程组，即可求解； 解法三：设直线过定点，则，即，解方程组，即可求解. 【解答过程】解法一：直线方程可化为， 分离参数后直线交点即为定点. 令，解得，所以直线过定点. 解法二（取特殊值）：直线方程中， 令，得；令，得. 由，解得，所以直线过定点. 解法三：设直线过定点，则， 即， 则，解得，所以直线过定点. 故选：B. 【变式6.3】（24-25高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直线方程即，一定经过和 的交点，联立方程组可求定点的坐标． 【解答过程】直线 即， 根据的任意性可得，解得， 不论取什么实数时，直线都经过一个定点． 故选：B. 模块四 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【答案】B 【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可. 【解答过程】由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率， ∴直线方程为， ∴当蜡烛燃尽时，有，即， 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【答案】；铁棒在100℃时的长度是m. 【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答. 【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：，是常数， 于是得，解得， 则l与t的关系式为，当时，， 所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m. 【变式7.2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【解题思路】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【解答过程】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    【变式7.3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【答案】（1）；（2）当时，，此时． 【解题思路】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解. （2）设，可得，展开配方即可求解. 【解答过程】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 故当时，，此时． 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【解答过程】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 【变式8.1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可； （2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可. （3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可. 【解答过程】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得 ； 综上所述： （3）设直线方程为，则 ， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 则直线方程为. 【变式8.2】（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据直线的点法式方程可得出直线的方程； （2）求出点的坐标，可得出直线的斜率，分析可知，，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）设直线的倾斜角为，分析可知，，则的角平分线所在的直线的倾斜角为，利用两角和的正切公式可求出角平分线所在直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【解答过程】（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 【变式8.3】（24-25高二上·广东惠州·期中）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1)或； (2)（ⅰ）；（ⅱ）24， 【解题思路】（1）由题意可得恒过定点，结合直线的截距式方程计算即可求解； （2）（i）由题意可得，解不等式组即可； （ii）由（i）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【解答过程】（1）将整理可得， 令，可得，所以直线过定点， 若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为， 代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； （2）（ⅰ）显然，求得：， 依题意得：， 解得； （ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 此时直线的方程为. 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【解答过程】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 2．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线与直线平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线平行时，它们的一般方程的系数的关系列方程求解. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【解答过程】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．-1 【答案】A 【解题思路】根据两条直线垂直的条件列方程求解即可. 【解答过程】由题意，，解得. 故选：A. 5．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线化为，据此可得定点坐标. 【解答过程】 ， 令，解得，则所过定点为. 故选：C. 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）设，直线，则（    ）是“ ”的充要条件. A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【解题思路】求出 的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【解答过程】因为直线， 当 时，，解得或， 当时，，此时 ， 又时，，此时 ， 所以“或  ”是“ ”的充要条件， 故选：C. 7．（25-26高二上·全国·课后作业）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出的倾斜角及斜率，代入斜截式方程即可得解. 【解答过程】直线即， 则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是． 故选：A. 8．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【解题思路】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【解答过程】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知直线，直线，则（    ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【解题思路】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项计算判断即可. 【解答过程】当时，直线：，此时直线与轴平行，故A项正确； 当时，直线：，此时直线与轴平行，故B项正确； 若，则，解得，此时直线与重合，故C项错误； 若，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解题思路】利用垂直关系求出直线方程判断A；求出直线所过的定点判断B；求出直线斜率判断垂直或平行判断CD. 【解答过程】对于A，设垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，因此所求直线方程为，A正确； 对于B，直线的方程化为：， 由，得，因此直线过定点，B错误； 对于C，当时，直线的斜率为，而直线的斜率为，，与不垂直，C错误； 对于D，当时，直线的斜率为，等于直线的斜率，又直线在上的截距分别为，因此，D正确. 故选：AD. 11．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 【答案】BC 【解题思路】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【解答过程】对于A，在直线上，，故A不正确； 对于B，的中点为，，∴斜率为， 则直线方程为，即，故B正确； 对于C，直线方程为， 整理可得，故C正确； 对于D，，， 直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确， 故选：BC． 三、填空题 12．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【解答过程】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此 故答案为：2. 13．（24-25高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【解题思路】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【解答过程】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·课后作业）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是 ． 【答案】 【解题思路】解法一根据得，计算可得，由直线点斜式方程求解即可；解法二利用垂直直线方程，设直线，由直线过点，代入求解即可. 【解答过程】解法一：由方程可知，的斜率为，点在直线上， 由顺时针旋转后得到，所以，所以， 因为过点，所以的方程为，即． 解法二：由题意知，，则可设直线， 因为直线过点，所以， 解得，所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由直线的点斜式方程可得； （2）由直线的斜截式方程可得； （3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得. 【解答过程】（1）由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）由直线的斜截式方程可得直线方程为， 即； （3）由题意，直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即. 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别为、、，求 (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）首先求出的中点的坐标，即可求出中线的斜率，再由斜截式求出直线方程. 【解答过程】（1）因为、，所以， 所以边所在直线的方程为，即； （2）因为、，所以的中点为，不妨记， 又，所以， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【解答过程】（1）若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. （2）当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 18．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 (3)，或 【解题思路】（1）首先根据题意得到直线的斜率为，再利用点斜式求出直线方程即可. （2）首先求出线段AB垂直平分线的方程为，设出，根据得到或，再求直线方程即可. （3）分类讨论直线过原点和不过原点两种情况求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以直线的斜率为， 则直线：，即. （2）的中点坐标为，因为， 因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以线段垂线的斜率为， 且线段AB的中垂线过点，所以线段AB垂直平分线的方程为， 即，所以点在直线上， 设点，由可得：， 解得或，所以点坐标为或， 当坐标为时，，直线：，即. 当坐标为时，，直线：， 即. （3）①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距均等于，设直线为， 因为过，得到，解得，所求直线方程为，即． ②当直线不过原点时，设其方程， 又经过点，有，解得，则方程为，即． 故所求直线的方程为，或． 19．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解答过程】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 直线的方程（二） 【人教A版】 模块一 直线方程的求法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【变式1.3】（24-25高二上·广东深圳·期中）写出满足下列条件的直线的方程. (1)经过点，斜率是； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在轴上的截距是7； (4)在轴上的截距是2，且与轴平行； 模块二 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型2 求与已知直线垂直的直线方程】 【例2】（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二·全国·课堂例题）分别求下列直线的方程： (1)过点且与直线垂直的直线； (2)过点且与直线垂直的直线． 【变式2.3】（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 【题型3 求与已知直线平行的直线方程】 【例3】（24-25高二上·湖南益阳·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为. (1)求的一般式方程； (2)若直线经过点，且，求的方程. 【变式3.3】（24-25高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【题型4 根据两直线平行求参数】 【例4】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【变式4.1】（24-25高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4.2】（24-25高二上·山西大同·阶段练习）若直线与平行，则a的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【变式4.3】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【题型5 根据两直线垂直求参数】 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5.1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5.2】（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【变式5.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 模块三 直线过定点问题 1．直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过分离参数法来解决： 第一步：对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； 第二步：确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 【题型6 直线过定点问题】 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 模块四 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【变式7.1】（24-25高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【变式7.2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【变式7.3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【变式8.1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【变式8.2】（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【变式8.3】（24-25高二上·广东惠州·期中）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线与直线平行，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．-1 5．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）设，直线，则（    ）是“ ”的充要条件. A． B． C．或 D．以上均不对 7．（25-26高二上·全国·课后作业）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知直线，直线，则（    ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 10．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 11．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 三、填空题 12．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 13．（24-25高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 14．（25-26高二上·全国·课后作业）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别为、、，求 (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 17．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 18．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 19．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $