21.3 实际问题与一元二次方程（传播问题） 教学设计 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

教学课题

21.3 实际问题与一元二次方程（传播问题）

教学背景分析

“实际问题与一元二次方程（传播问题）” 是人教版九年级上册第二十一章的重要内容，承接前序 “一元二次方程的解法”（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）及 “一元二次方程的概念”，聚焦 “具有倍增效应的传播类实际问题”（如病毒传播、信息扩散、物品传递等），是一元二次方程在 “指数增长型数量关系” 中的典型应用。传播问题的核心是 “每轮传播中，已感染（或知情）者均会向固定数量的未感染（或不知情）者传播，形成‘初始量→第一轮新增量→第二轮新增量’的倍增链条”，本质是通过分析每轮传播的人数变化规律，建立 “（初始人数 + 每轮新增人数）的平方（或更高次幂）= 总人数” 的一元二次方程模型（通常为两轮传播，对应二次方程）。

从教材编排来看，本节课遵循 “从具体到抽象、从简单到复杂” 的认知规律：先通过 “简单病毒传播” 实例（如 “1 人感染病毒，每人每轮传染 2 人，两轮后共有多少人感染”），让学生直观感受传播过程中的数量变化；再过渡到 “含未知数的传播问题”（如 “1 人感染，每人每轮传染 x 人，两轮后共感染 16 人，求 x”），引导学生自主梳理每轮人数关系，尝试列方程求解；最后拓展到 “非 1 人初始传播” 场景（如 “5 人感染，每人每轮传染 x 人，两轮后共感染 80 人”），深化对传播模型的理解。教材通过 “分析传播过程 — 列表梳理人数 — 建立方程 — 求解检验” 的步骤，不仅强化了一元二次方程的应用能力，更培养了学生 “从动态过程中抽象静态数量关系” 的建模能力，为后续学习 “二次函数的实际应用（增长问题）”“指数函数” 等内容奠定基础，是衔接 “代数方程” 与 “实际增长模型” 的关键环节。

教学目标

1. 能准确描述传播问题的核心规律：明确 “每轮传播中，已感染者（或知情者）均会向固定数量的未感染者（或不知情者）传播，且新增者在下一轮具备同等传播能力”，能用文字或图表清晰呈现两轮传播的人数变化过程。
2. 能根据传播过程梳理数量关系，正确列出代数式：①已知初始人数为 a，每人每轮传染 x 人，第一轮后总人数为 “a + a x = a (1 + x)”；②第二轮后总人数为 “a (1 + x) + a (1 + x)・x = a (1 + x)²”，避免混淆每轮新增人数与总人数。
3. 能根据 “传播后总人数” 的条件，建立一元二次方程并求解：①如 “1

人初始感染，两轮后共感染 16 人”，列方程 “(1 + x)² = 16”；②如 “5 人初始感染，两轮后共感染 80 人”，列方程 “5 (1 + x)² = 80”，熟练运用合适的解法（如直接开平方法、因式分解法）求解方程。

重难点

4. 掌握传播问题的核心数量关系：能准确梳理两轮传播过程中 “初始人数 — 第一轮总人数 — 第二轮总人数” 的关系，理解 “第二轮总人数 = 第一轮总人数 ×(1 + 每轮传播人数)”，即 “a (1 + x)²”（a 为初始人数，x 为每人每轮传播人数）的推导逻辑。
5. 能建立一元二次方程模型：根据 “传播后总人数” 的已知条件，结合梳理的数量关系，正确列出一元二次方程（如 “a (1 + x)² = 总人数”），避免出现 “漏算新增者传播能力” 的错误（如列成 “a + a x + a x² = 总人数”）。
6. 能规范求解并检验方程：选择合适的方法解一元二次方程，排除不符合实际意义的解（如负数解），确保解的合理性与实用性。

教学活动设计