21.3 第3课时 几何图形问题课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何图形问题，通过情境导入中矩形、梯形等图形公式填空回顾旧知，搭建前后知识脉络，以学习支架形式帮助学生衔接新知。 资料特色在于结合真实情境案例如小区通道设计、书封面边衬问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过多解法对比和根的合理性检验发展数学思维的推理能力，结构化小结解题步骤及类型强化数学语言的模型意识，助力学生提升问题解决能力，为教师提供丰富教学案例与方法指导。

21.3第3课时 几何图形问题 第二十一章 一元二次方程 情 境 导 入 第3课时 几何图形问题 1.矩形的长和宽分别为am和bm，则其面积为__m2，周长为_______m. 2.梯形的上、下底分别为acm和bcm，高为hcm，则其面积为__________cm2. 3.圆的半径为rcm，则其面积为____cm2，周长为_______cm. 4.长方体的长、宽、高分别是acm，bcm和ccm，则其体积为_____cm3. 5.直角三角形的两直角边长分别为acm和bcm，斜边长为ccm，则a，b，c之间的数量关系为_________. ab 2(a+b) 0.5(a+b)h πr2 2πr abc a2+b2=c2 复习回顾 新 课 探 究 第3课时 几何图形问题 探究 1.某小区规划在一个长92m、宽60m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为885m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________. C B D A (92-2x)（60-x）=6×885. 60 92 60-x 92-2x 新课探究 情境导入 课堂小结 探究 2.如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？ 分析：这本书的长宽之比___ ___,正中央的矩形长宽之比_____，上下边衬与左右边衬之比______. 9:7 设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是： 27:21=9:7 9:7 新课探究 情境导入 课堂小结 解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程: 整理，得 16x2-48x+9=0 解得 (不合题意，舍去) 答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm. 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试. 思考 新课探究 情境导入 课堂小结 解：设中央的矩形的长、宽分别为9ycm、7ycm，根据题意，列出方程： 整理，得 答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm. 解得 (不合题意，舍去) 新课探究 情境导入 课堂小结 探究 3.《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开.为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米． 20米 (1)设垂直于墙的一边长为x米．则平行于墙的一边为_________米； (2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？ 36-2x 新课探究 情境导入 课堂小结 20米 (2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？ 解：由题意可列方程：x(36-2x)=144 整理得，x2-18x+72=0 解得x1=6，x2=12 当x=6时，36-2x=24(米)＞20米，不符合题意舍去； 当x=12时，36-2x=12(米) 答：当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为12米． 3.《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开.为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米． 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 1.某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为( ) A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200 C.x(x+10)=200 D.2x+2(x+10)=200 C 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 2.如图，小华要为一个长6分米，宽4分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等．求小华添加的边框的宽度． 解：设小华添加的边框的宽度为x分米， 则可列方程2(6+2x)x+2×4x=4×6 整理得，x2-5x-6=0 解得：x1=1，x2=-6（舍去）． 答：小华添加的边框的宽度为1分米． 新课探究 情境导入 课堂小结 3.如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？ 解：设车棚垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为(50+2-2x)米， 由题意列方程可得：x(50+2-2x)=240 ， 解得x1=20或x2=6 当车棚垂直于墙的一边的长为6米时， 平行于墙的一边的长为40米，大于墙长的18米，舍去. 答：车棚垂直于墙的一边的长为20米. 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ 根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm² 整理，得 解得 x1=x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 新课探究 情境导入 课堂小结 总结归纳 列一元二次方程解应用题的步骤: 1.审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系. 2.设:根据题意,可直接设未知数,也可间接设未知数. 3.列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程. 4.解:准确求出方程的解. 5.验:检验所求出的根是否符合方程和实际问题. 6.答:写出答案. 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第3课时 几何图形问题 情境导入 课堂小结 新课探究 列一元二次方程解应用题 步骤 类型 长宽比例问题 审、设、列、解、验、答.不同的地方要检验根的合理性. 小路宽度问题 一边靠墙围成的区域面积 1．用含x的代数式填空： (1)某直角三角形两直角边长的和为14，设一直角边长为x，则另一直角边长为　 　，这个直角三角形的面积为 　；  (2)某菱形两条对角线长的差为5，设较长的对角线长为x，则菱形的 面积为 　；  (3)某长方形的长为x，宽是长的一半，则这个长方形的面积为 　．    　   　   　 　14－x　 x2 课后练习 小结：运用面积公式列方程求解，注意把不符合题意的根舍去. 2．(人教9上P4)一个直角三角形的两条直角边长相差3 cm，面积是9 cm2，较长的直角边长是　 　cm． 　6 　 3．(人教9上P25、北师9上P53－54改编)一个梯形的下底比上底长2 cm，高比上底短1 cm，梯形的面积是8 cm2，求梯形上底和下底的长． 解：设梯形的上底长为x cm，则下底长为(x＋2)cm，高为(x－1)cm， 由题意，得(x＋x＋2)(x－1)＝8， 解得x1＝3，x2＝－3(不合题意，舍去)， 当x＝3时，x＋2＝5， 故梯形的上底长为3 cm，下底长为5 cm． 小结：此类题涉及多个未知变量，找出最适合的变量设为基准变量是关键. 4．(人教9上P2、北师9上P57改编)如图是一张长12 dm，宽6 dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖的长方体纸盒盒底的长为　 　dm， 宽为　 　dm(用含x的式子表示)；  (2)若要制作一个底面积是40 dm2的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 　(6－2x)　 　(12－2x)　 小结：解这类图形问题的关键是先将不规则图形分割或组合成规则图形，找出各部分面积或周长之间的关系. 解：(2)根据题意， 得＝40， 解得x＝1或x＝8(不合题意，舍去)． 答：剪去的正方形的边长为1 dm． 5．(人教9上P25、北师9上P45)某兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30 m的篱笆围成．如图，墙长为20 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m． (1)若苗圃园的面积为108 m2，求x的值； (2)苗圃园的面积能达到120 m2吗？若能， 求出x的值；若不能，说明理由． 解：(1)由题意可知(30－2x)x＝108， 解得x＝6或x＝9， 由于0＜30－2x≤20， 解得5≤x＜15，∴x＝6或x＝9． 答：若苗圃园的面积为108 m2，x的值为6或9． (2)不能，理由如下： 由题意可知(30－2x)x＝120， ∴x2－15x＋60＝0， ∴Δ＝152－4×60＝－15＜0， ∴此方程无解． 答：苗圃园的面积不能达到120 m2． 6．(人教9上P17改编、北师9上P35改编)一个矩形的周长是22 cm，面积是30 cm2，矩形的长是　 　cm，宽是　 　cm．  　5　 　6　 7．(人教9上P22)一个菱形两条对角线长的和是10 cm，面积是12 cm2，求菱形的周长． 解：设菱形较短的对角线长为x cm，则另一条对角线长为(10－x)cm， 则x(10－x)＝12，整理得x2－10x＋24＝0， 解得x＝4或x＝6，即较短的对角线长为4 cm， ∴菱形的边长为＝(cm)， ∴菱形的周长为4 cm． 8．(人教9上P22改编、北师9上P57)如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草皮，要使草地总面积为468 m2，那么通道的宽应设计成多少？ 解：设通道的宽应设计成x m，由题意，得 (30－2x)(20－x)＝468， 解得x＝2或x＝33(不合题意，舍去)． 答：通道的宽应设计成2 m． ★9． 0.50 (2024东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 解：设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m． (1)根据题意，得x(72－2x)＝640， 解得x1＝16，x2＝20， 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)， 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)． 答：当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈． (2)不能，理由如下： 由题意，得x(72－2x)＝650， 化简，得x2－36x＋325＝0， ∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． 答：羊圈的面积不能达到650 m2． THANK YOU $