4.1导数的概念及其几何意义、导数运算课件-2026届高三数学一轮复习

第四章　导数及其应用 4.1 导数的概念及其几何意义、导数运算 知识清单 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作________或________． f′(x0)＝＝____________． (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为____________________． f′(x0) y′|x＝ 斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 知识清单 4 - 4 - 10 整体思想 知识清单 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝loga x(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 0 αxα-1 cos x －sin x ax ln a ex 知识清单 4.导数的四则运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝________________． (2)[f(x)g(x)]′＝________________． (3)′＝__________________(g(x)≠0)． (4)[cf(x)]′＝____________(c为常数)． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)， u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) y′u·u′x 知识清单 【常用结论】 1．区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且只有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2．[]′＝(f(x)≠0)． 3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 热点命题——1.导数的运算 热点命题——1.导数的运算 例2 (1)(多选)下列求导数的运算正确的是(　　) A．(x3－)′＝3x2＋ B．(ln 2)′＝ C．(xex)′＝(x＋1)ex D．(sin )′＝cos AC (2)已知函数f(x)＝ex sin 2x，则f′()＝________. 热点命题——1.导数的运算 1.求下列函数的导数： (1)y＝； 热点命题——2.导数的几何意义 例2　(1)曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程为___________． 解析：∵y′＝，∴k＝y′|x＝π＝，故切线方程为y＝－x＋1. y＝－x＋1 热点命题——2.导数的几何意义 (2)(链接·2022年新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为______________，____________． 解析：当x>0时，y＝ln x，y′＝. 假设此时直线与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)(x1>0)， 则此时切线方程为y－ln x1＝. 若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝. 当x<0时，y＝ln (－x)，y′＝. 假设此时直线与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln(－x2))(x2<0)， 则此时切线方程为y－ln (－x2)＝ －1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. 热点命题——2.导数的几何意义 热点命题——2.导数的几何意义 2.(链接·2022年新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________________． 解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)． 令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝. 因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝， 即.整理得＋ax0－a＝0. 由题意知该方程有两个不同的实数根， 所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0. 热点命题——2.导数的几何意义 (3)(2025·河北承德模拟)过点(2，0)可作曲线f(x)＝x3－3x－2的切线条数为(　　) A．1　　　B．2 C．3　　　D．0 解析：由f(x)＝x3－3x－2⇒f′(x)＝3x2－3， 当点(2，0)是切点时，切线的斜率为f′(2)＝3×22－3＝9，此时有一条切线； 当点(2，0)不是切点时，设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为f′(x0)＝－3， 切线方程为y－＝(x－x0)，该切线过点(2，0)， 于是有0－＝⇒⇒＋3＝0⇒-＝0⇒＝0⇒． 综上所述，过点 可作曲线 3x－2的切线条数为2. 热点命题——3.两曲线的公切线问题 例6 (链接·2024年新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝__________． 解析：令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线斜率为f′(0)＝2，所以切线方程为y＝2x＋1. 令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝. 因为直线y＝2x＋1也是曲线y＝g(x)的切线，所以令＝2，解得x＝， 则曲线y＝g(x)与直线y＝2x＋1的交点坐标为， 所以0＝a－ln 2，解得a＝ln 2. 方法归纳：已知其中一条曲线切线的切点，先求出其切线方程，在有该切线与第二条直线相切求参数. 热点命题——3.两曲线的公切线问题 4　(1)(2024·湖南邵阳三模)已知曲线y＝x2＋ln x＋在点(1，1)处的切线与抛物线x2＝ay也相切，则实数a的值为(　　) A．0 B． C．1 D．0或1 解析：因为y′＝(x2＋ln x＋)′＝x＋x＝1＝2， 所以曲线y＝x2＋ln x＋在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 联立y＝2x－1与x2＝ay，得x2－2ax＋a＝0， 依题意可知Δ＝4a2－4a＝0， 所以a＝0或1.当a＝0时，x2＝ay＝0不是抛物线，舍去． 热点命题——3.两曲线的公切线问题 (2)与曲线y＝和曲线y＝－ln x－2均相切的直线的方程为________． 解析：设曲线y＝在点和曲线 在点的切线重合， y′＝－，y′＝－，故，即＝x1，x0＝ln x1. 在点处的切线方程为(x－x0)， 将代入得(x1－x0)， 即－ln x1－2－ln x1＝x1＋1，又x1>0， 故x1＝，则x0＝ln ＝－1，故切线方程为y－e＝－e(x＋1)，即y＝－ex. 先求一条曲线的切线 代入第二条曲线的切点 将斜率转化为第二条曲线 解方程 热点命题——3.两曲线的公切线问题 (2)与曲线y＝和曲线y＝－ln x－2均相切的直线的方程为________． 法二：设曲线y＝在点处的切线方程为(x－x0)，即 曲线在点处的切线方程为(x－x1)，即 所以，解得 故切线方程为y－e＝－e(x＋1)，即y＝－ex. 分别求两条曲线的切线 切线重合，故斜率和截距相同 解方程组 练习　设f(x)＝x3－8x，则 eq \o(lim,\s\do10(Δx→0)) eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝________； eq \o(lim,\s\do10(Δx→0)) eq \f(f（2－Δx）－f（2）,Δx)＝________； ＝________． 【解析】　(1)连乘积式：y′＝(x+1)′(x2+5x+6)+(x+1)(x2+5x+6)′＝3x2＋12x＋11. (2)分式结构（先通分，化整式）： ∵y＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x))＝eq \f(（1＋\r(x)）2,1－x)＋eq \f(（1－\r(x)）2,1－x)＝eq \f(2＋2x,1－x)＝eq \f(4,1－x)－2， ∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq \f(－4（1－x）′,（1－x）2)＝eq \f(4,（1－x）2). (3)复合函数：（确定内外函数，内外求导再相乘） y′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(π,6)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(π,6)))′＝－6xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(π,6))). 例1　求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x))； (3) y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(π,6)))； 一、在型求切线方程 已知：函数的解析式,计算函数在(或者)处的切线方程. 步骤： 第一步：计算切点的纵坐标,方法：把代入原函数中,切点________. 第二步：计算切线斜率________________. 第三步：计算切线方程,切线过切点,切线斜率.根据直线的点斜式方程得到切线方程：_____________________. 已知：函数的解析式,计算过点(无论该点是否在上)的切线方程. 步骤： 第一步：设切点__________. 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率____________________. 第三步：令：_____________,解出,代入求斜率. 第四步：计算切线方程,根据直线的点斜式方程得到切线方程：__________. 二、过型求切线方程 $