精品解析：内蒙古呼和浩特市秋实中学2020—2021学年下学期八年级期中数学试题

2021年呼和浩特市秋实中学八年级下期中数学试题 满分：100分 考试时间 100分钟 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ） A. x=20 B. x=5 C. x=25 D. x=15 3. 在中，，，的对应边分别是a、b、c，满足下列条件的中，直角三角形的个数为（ ） ①；②，，；③，；④，，；⑤，，． A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 极差是47 B. 众数是42 C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月 6. 表示一次函数与正比例函数（，是常数且）图象的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A. 3 B. 4 C. D. 8. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) A. 4 B. C. 6 D. 9. 如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） （1）；（2）；（3）是等边三角形；（4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________． 12. 若正比例函数图象上两点、关于原点对称，则的值是________________ 13. 已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1＋1，ax2＋1，…，axn＋1(a为常数，a≠0)的方差是____．(用含a，s2的代数式表示) 14. 如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________． 15. 若，则__________________． 16. 如图，矩形中，，，过点A、C作相距为2的平行线段，，分别交，于点E，F，则的长是________________． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. （1）×（﹣15）×（﹣）； （2）已知x＝﹣1，求代数式x2＋2x﹣4的值． 18. 已知函数，是关于x的正比例函数． （1）求正比例函数的解析式； （2）若它的图象有两点，，且，试比较和的大小． 19. 如图，在四边形中，，，O是四边形内一点，且．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 20. 我县某中学开展“庆十一”爱国知识竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出名选手参加比赛，两个班选出的名选手的比赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写如表： 班级 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 九（2） 80 （2）请你计算九（1）和九（2）班的平均成绩各是多少分． （3）结合两班竞赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的竞赛成绩较好 （4）请计算九（1）、九（2）班的竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩比较稳定？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C的横坐标为4，点D在线段OA上，且AD＝7． （1）求点D的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，不必说明理由． 22. 随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元） A 12 40 0.5 B m n 06 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为 （1）如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ． （2）求出与之间的函数关系式 ． （3）如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？ 23. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE． （1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　． （2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图2，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年呼和浩特市秋实中学八年级下期中数学试题 满分：100分 考试时间 100分钟 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案. 【详解】∵=， ∴A不符合题意， ∵是最简二次根式， ∴B符合题意， ∵=， ∴C不符合题意， ∵=， ∴D不符合题意， 故选B. 【点睛】本题主要考查最简二次根式的概念，特别要注意，最简二次根式中不能含有分母，不能含有完全平方式（数）因式. 2. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ） A. x=20 B. x=5 C. x=25 D. x=15 【答案】A 【解析】 【分析】两直线交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：由图可知： 直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25）， ∴方程x+5=ax+b的解为x=20． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 3. 在中，，，的对应边分别是a、b、c，满足下列条件的中，直角三角形的个数为（ ） ①；②，，；③，；④，，；⑤，，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，通过直角三角形的特征和勾股定理逆定理进行判定即可得到答案． 【详解】解：①∵中，， ∴设，则，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴是直角三角形，故本小题正确； ②∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故本小题正确； ③∵中，，，且， ∴， ∴是直角三角形，故本小题正确； ④∵中，，，， ∴， ∴为直角三角形，故本小题正确； ⑤∵中，，，， ∴， ∴不是直角三角形，故本小题错误． ∴是直角三角形的有①②③④． 故选：C． 4. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，不等式转化为，结合，求得解集即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一次函数的图象与x轴的交点为，且， 故， 解得 故变形为， 故， 解得． 故选：B． 5. 多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 极差是47 B. 众数是42 C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可得出最大值和最小值，即可求得极差；出现次数最多的数据是众数；将这8个数按大小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数；每月阅读数量超过40的有2、3、4、5、7、8，共六个月． 【详解】A、极差为：83-28=55，故本选项错误； B、∵58出现的次数最多，是2次， ∴众数为：58，故本选项错误； C、中位数为：（58+58）÷2=58，故本选项正确； D、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误； 故选C． 6. 表示一次函数与正比例函数（，是常数且）图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的图象．根据函数的图象经过的象限得到m，n，的取值范围，逐一判断即得． 【详解】解：图中的图象过原点，另一条直线是的图象， A．由函数的图象可得，由函数的图象可得，A正确； B．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，B错误； C．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，C错误； D．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，D错误． 故选：A． 7. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】∵CE=5，△CEF的周长为18， ∴CF+EF=18-5=13． ∵F为DE的中点， ∴DF=EF． ∵∠BCD=90°， ∴CF=DE， ∴EF=CF=DE=6.5， ∴DE=2EF=13， ∴CD=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=12，O为BD的中点， ∴OF是△BDE的中位线， ∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5， 故选D． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键． 8. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值． 【详解】解：连接BP，如图， ∵菱形ABCD的周长为20， ∴AB=BC=20÷4=5， 又∵菱形ABCD的面积为24， ∴SABC=24÷2=12， 又SABC= SABP+SCBP ∴SABP+SCBP=12， ∴ ， ∵AB=BC， ∴ ∵AB=5， ∴PE+PF=12×=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值． 9. 如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可． 【详解】解：如图， ①将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则为直角三角形， ，， ， 故壁虎爬到蚊子处的最短距离为． ②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6，垂直距离为7， 此时的最短距离为， ， 故选：A． 10. 如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） （1）；（2）；（3）是等边三角形；（4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出（3）正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故（3）正确； 设则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，故（1）正确； ∵， ∴，故（2）错误； ∵，， ∴，故（4）正确； 综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，设出然后用a表示出相关的边是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【详解】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 12. 若正比例函数图象上的两点、关于原点对称，则的值是________________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数上点的坐标特征及求关于原点对称的点的坐标，熟练掌握正比例函数上点的坐标特征及求关于原点对称的点的坐标是解题的关键．由题意可知，再代入通分后的分式计算即可． 【详解】解：正比例函数图象上的两点、关于原点对称， ， ， ． 故答案为：6． 13. 已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1＋1，ax2＋1，…，axn＋1(a为常数，a≠0)的方差是____．(用含a，s2的代数式表示) 【答案】a2s2 【解析】 【分析】由于一组数据x1、x2、x3…方差是s2，而一组新数据ax1+1，ax2+1、ax3+1…axn+1中和原来的数据比较可以得到它们之间的联系，由此可以确定一组新数据ax1+1，ax2+1、ax3+1…axn+1的方差． 【详解】解：∵一组数据x1、x2、x3…xn的方差是s2， ∴一组新数据ax1+1，ax2+1、ax3+1…axn+1的方差是a2•s2． 故答案为a2s2． 【点睛】此题主要考查了方差的性质，其中主要利用了：一组数据如果同时乘以同一个数a，那么方差是原来数据方差的a2倍．牢记这一规律是解决此题的关键． 14. 如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________． 【答案】(2，0)或（5，0） 【解析】 【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标． 【详解】与轴交于点， ∴y=0，x=-1， ∴A(-1，0)， 直线与直线交于点， ， 解得， ∴B（2，3）， 当点C为直角顶点时， ∴BC⊥AC， ∴BC∥y轴， B、C横坐标相同，C（2，0）， 当点B为直角顶点时， ∴BC⊥AB， ，k=1， ∴∠BAC=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=， AC==6， AO=1， CO=AC-AO=5， C（5，0）， C点坐标为（2，0）或（5，0）． 故答案为：（2，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键． 15. 若，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用进行化简是解题的关键． 根据题意可知，、同号，再利用二次根式的性质分两种情况对原式中得每一项进行化简，再合并同类项，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解：， ∴、同号， 当，时， ， 当，时， ； 综上，当，原式． 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，过点A、C作相距为2的平行线段，，分别交，于点E，F，则的长是________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点H，根据矩形的性质和平行线的性质得，，证得，得，证得四边形是平行四边形，进而证得四边形是菱形，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点F作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形性质的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及解一元一次方程，熟练掌握相关定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. （1）×（﹣15）×（﹣）； （2）已知x＝﹣1，求代数式x2＋2x﹣4的值． 【答案】（1）60；（2）0 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，然后计算乘法； （2）将x2＋2x﹣4转化为的形式，然后代入求值． 【详解】解：（1）原式＝×2×（﹣15）×（﹣×4）＝60． （2）x2＋2x﹣4＝， 将x＝﹣1代入，原式＝＝5﹣5＝0． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式的化简求值，一定要先化简再求值． 18. 已知函数，是关于x的正比例函数． （1）求正比例函数的解析式； （2）若它的图象有两点，，且，试比较和的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的定义、图象及性质，掌握正比例函数的解析式为是解题的关键． （1）由正比例函数的定义可得到a所满足的方程，可求得a的值，可求得函数解析式； （2）利用正比例函数的增减性可比较大小． 【小问1详解】 解：是关于x的正比例函数， 且，解得， ； 【小问2详解】 在中，， 随x的增大而减小， 当时，． 19. 如图，在四边形中，，，O是四边形内一点，且．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】(1)先证点、、共圆，从而得到，又，即可得出结论； (2) 连接，证得到，又由于，,结合可得，从而四边形是菱形． 【小问1详解】 ∵， ∴点、、在以点为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形. 【点睛】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用圆周角定理，学会添加常用辅助线． 20. 我县某中学开展“庆十一”爱国知识竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出名选手参加比赛，两个班选出的名选手的比赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写如表： 班级 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 九（2） 80 （2）请你计算九（1）和九（2）班的平均成绩各是多少分． （3）结合两班竞赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的竞赛成绩较好 （4）请计算九（1）、九（2）班的竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩比较稳定？ 【答案】（1）；（2）甲：85，乙：85；（3）九（1）班成绩较好；（4）九（1）班成绩比较稳定． 【解析】 【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的比赛成绩，然后根据中位数和众数的定义求解即可；（2）根据平均数公式计算即可；（3）在平均数相同的情况下，中位数较高的成绩较好；（4）先根据方差公式分别计算两个班比赛成绩的方差，再根据方差的意义判断即可． 【详解】由图可知：九（1）班5位同学的成绩分别为：75,80,85,85,100，所以中位数为85，众数为85；九（2）班5位同学的成绩分别为：70,100,100,75,80，排序为：70,75,80,100,100，所以中位数为80，众数为100，即填表如下： 班级 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 85 九（2） 80 100 （2）九（1）班的平均成绩为（分）， 九（2）班的平均成绩为（分）； （3）因为两个班级的平均数都相同，九（1）班的中位数较高，所以在平均数相同的情况下中位数较高的九（1）班成绩较好； （4）； 因为 所以九（1）班成绩比较稳定． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义即运用．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C的横坐标为4，点D在线段OA上，且AD＝7． （1）求点D的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，不必说明理由． 【答案】（1）点D（1，0） （2）y （3）点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4），理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据直线y＝﹣x+8分别交两轴于点A、B，可得点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8）；然后根据点C为线段AB的中点，可得点C的坐标是（4，4）；最后求出CD的长，即可求出点D的坐标； （2）利用待定系数法可求直线CD的解析式； （3）由平行四边形的性质和中点坐标公式，可求出点F的坐标． 小问1详解】 解：∵直线y＝﹣x+8分别交两轴于点A、B， ∴当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝8， ∴点A（8，0），点B（0，8）， ∵点D在线段OA上，且AD＝7． ∴点D（1，0）； 【小问2详解】 解：∵点C的横坐标为4，且在直线y＝﹣x+8上， ∴y＝﹣4+8＝4， ∴点C（4，4）， 设直线CD的解析式y＝kx+b ∴ 解得：k，b， ∴直线CD解析式为：y 【小问3详解】 解：设点F（x，y）， 若以CD，AD为边， ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴AC，DF互相平分， ∵点A（8，0），点D（1，0），点C（4，4），点F（x，y）， ∴， ∴x＝11，y＝4， ∴点F（11，4）， 若以AC，AD为边， ∵四边形ADFC是平行四边形， ∴AF，CD互相平分， ∵点A（8，0），点D（1，0），点C（4，4），点F（x，y）， ∴， ∴x＝﹣3，y＝4， ∴点F（﹣3，4）， 若以CD，AC为边， ∵四边形CDFA是平行四边形， ∴AD，CF互相平分， ∵点A（8，0），点D（1，0），点C（4，4），点F（x，y）， ∴， 解得：x＝5，y＝﹣4， ∴点F（5，﹣4）， 综上所述：点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了待定系数法求直线解析式，考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 22. 随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为 （1）如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ． （2）求出与之间的函数关系式 ． （3）如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？ 【答案】（1）10，50 （2） （3）如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察函数图象，即可作答． （2）先求出方案B的超时费元，再结合函数图象的信息进行列式化简，即可作答． （3）分别算出当每月上网时间60小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，，， 故答案为：10，50； 【小问2详解】 解：由图象知：，，超时费（元/h）； 当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 依题意，当时，， ， ∵， ∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算． 23. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE． （1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　． （2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图2，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的长． 【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）2 【解析】 【分析】（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD． （2）结论不变．证明过程同（1）． （3）在Rt△AOP中，求出OA，OP即可解决问题． 【详解】（1）BP=CE，CE⊥AD． 理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=60° ∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60° ∴△ABC、△ACD是等边三角形 ∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60° ∵△APE是等边三角形 ∴AP=AE，∠PAE=60° ∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC 即∠BAP=∠CAE， ∴△BAP≌△CAE（SAS） ∴BP=CE，∠ABP=∠ACE ∵BD平分∠ABC ∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30° ∴CE平分∠ACD ∴CE⊥AD． 故答案为BP=CE，CE⊥AD． （2）结论仍然成立．理由如下：如图，设CE交AD于H，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°． ∵△APE等边三角形， ∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°． ∴△BAP≌△CAE． ∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°． ∵∠CAH=60°， ∴∠CAH+∠ACH=90°． ∴∠AHC=90°，即CE⊥AD． （3）如图，连接BE， 由（2）可知CE⊥AD，BP= CE． 在菱形ABCD中，AD∥BC，∴CE⊥BC． ∵BC=AB=2，BE=2， 在Rt△BCE中，CE==8． ∴BP=CE=8． ∵AC与BD是菱形的对角线， ∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD． ∴OA=AB=，BO==3， ∴OP=BP－BO=5， 在Rt△AOP中，AP==2， 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．第（2）题的证明过程可由（1）适当转化而得，第（3）题则可直接运用（2）的结论解决问题． 第1页/共1页 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