第6章 图形的相似——用相似三角形解决问题 讲义 2024-2025学年苏科版（2012）数学九年级下册

相似解决实际问题

教学目标

1．掌握中心投影的概念，对比、总结平行投影与中心投影的区别；

2．运用相似三角形的知识，建构中心投影的数学模型，辅助解决实际问题；

3．感受相似三角形的运用价值，深化对核心数学知识的理解，培养学习兴趣，增强合作意识

教学重难点

1. 掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题．

2. 将实际问题抽象、建模，辅助解题

教学内容

知识点一、相似的性质

（1）相似三角形的对应角_______，对应边________．

（2）相似三角形的对应边上的高之比、对应中线之比和对应角平分线之比等于________．

（3）相似三角形的周长之比等于________，面积之比等于_______．

知识点二、相似的判定

相似三角形的判定方法：

（1）________________________________．

（2）________________________________．

（3）________________________________．

知识点三、相似常见模型

1、（“A”型，斜“A”型）                 2、（“X”型， “8”字型）

3、（“母子”型）                        4、（“一线三等角”型）

5、（“K”型）

1．如图，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝，则此三角形移动的距离PP′是(   )

A．             B．            C．1          D．-1

2．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E．使得BE＝BD，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，则S△CFG：S△BEG的值为_____．

3．如图，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，∠AED=∠C，则BE=______.

4.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：

①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是_______________

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为　   　．

6．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=　   　．

7.如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．

（1）求点P的坐标；

（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．

知识点一、平行投影

例1、小丽利用影长测量学校旗杆的高度．由于旗杆靠近一个建筑物，在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的