22.1 第1课时 二次函数 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数 情 境 导 入 第1课时 二次函数 正方体六个面是全等的正方形(如下图)，设正方体棱长为x，表面积为y，则 y关于x的关系式为 . y=6x2 思考：y是x的函数吗？ ①式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. y=6x2 ① 探究 问题1 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 . ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数. (n-1) y是x的函数吗？ 新 课 探 究 第1课时 二次函数 新课探究 情境导入 课堂小结 探究 问题2 某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量,如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？ 分析:这种产品一年后的产量为________t，再经过一年后的产量 为_____________t， y=20x2+40x+20. ③ 即两年后的产量y=20(1+x)2， ③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 20(1+x) 20(1+x)(1+x) y是x的函数吗？ 新课探究 情境导入 课堂小结 探究 思考 函数①②③有什么共同点? y=6x2 y=20x2+40x+20 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的. 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫作二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 新课探究 情境导入 课堂小结 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. （4）x的取值范围要根据实际问题确定。 新课探究 情境导入 课堂小结 1.下列函数中是二次函数的有 。 a=0 √ × 最高次数是4 × × √ ①⑤ 二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 归纳 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 2.把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. y=2x2+2x+1 2 2 1 y=2x2+x+2 2 1 2 y=-8x2-12x -8 -12 0 y=x2-1 1 0 -1 新课探究 情境导入 课堂小结 3.下列关于x函数中，是二次函数的为( ) A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1 C.y=x2 D.y=2+√x2+1 4.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为( 　) A.1 B.-2 C.7 D.-6 5.函数y=(m-n)x2+mx+n(m,n是常数)是二次函数的条件是( ) A.m≠0 B.n≠0 C.m≠n D.m,n为任何实数 B C C 新课探究 情境导入 课堂小结 6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x(cm),面积为y(cm2).求(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当x=3时矩形的面积. 解：(1)y=(8-x)x=-x2＋8x (0＜x＜8)； (2)当x=3时,y=-32+8×3=15(cm2). 新课探究 情境导入 课堂小结 7. （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题可知, 解得 （2）由题可知, 解得 m =3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m =3或-3的错误答案. 新课探究 情境导入 课堂小结 总结 函数y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数）当a、b、c满足什么条件时： (1)它是二次函数； (2)它是一次函数； (3)它是正比例函数. a≠0 a=0、b≠0 a=0、b≠0、c=0 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第1课时 二次函数 情境导入 课堂小结 新课探究 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 二次函数 定义 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 一般形式 1．(人教9上P28改编、北师9下P30改编)下列是二次函数的是　 　(填序号)．  ①y＝6x2； ②y＝ax2＋bx＋c； ③y＝x2－； ④y＝x(x＋2)－x2； ⑤y＝20(1＋x)2； ⑥y＝22＋2x． 　①⑤ 　 课后练习 2．已知函数y＝(m－2)x2－4x＋3． (1)当m　 　时，它是二次函数；  (2)当m＝　 　时，它是一次函数． ≠2 2 3．(人教9上P29改编、北师9下P30改编)圆的面积S(cm2)与圆的半径r(cm)的函数关系式为　 　，其中自变量r的取值范围是______. 　 　r＞0　 　S＝πr2　 4．【例1】(1)已知y＝xm＋x－3是二次函数，则实数m＝ 　 　；  (2)已知y＝(m＋1)x2＋2x－1是二次函数，则实数m的取值范围是　 　． 　m≠－1　 　 2　 小结：识别二次函数的关键是自变量的最高次数为2，且二次项系数不为零. 5．(1)已知y＝(m－2)x|m|＋2x－3是二次函数，则实数 m＝　 　；  (2)已知y＝(m＋2)x2＋x－3是一次函数，则m＝　 　． 　－2　 　－ 2　 6．【例2】(人教9上P21改编)一个直角三角形的两直角边长的 和为14 cm，其中一直角边长为x(cm)，三角形的面积为y(cm2)． (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x＝3时，求y的值． 解：(1)其中一直角边长为x cm，则另一直角边长为(14－x)cm，可得y＝x(14－x)＝－x2＋7x(0＜x＜14)． (2)当x＝3时，y＝－×32＋7×3＝16.5． 小结：利用公式求函数关系式，根据实际意义列出不等式或不等式组求出自变量的取值范围. 7．(人教9上P4改编、北师9上P35改编)矩形的长比宽长2 cm，设它的宽为x(cm)，它的面积为y(cm2)． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x＝3时，求y的值． 解：(1)宽为x cm，则长为(x＋2)cm， 依题意，得y＝x(x＋2)＝x2＋2x(x＞0)． (2)当x＝3时，y＝32＋2×3＝15． 8． (人教9上P57、北师9下P47)(2024天津模拟改编)如图，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙(墙长18 m)，围成一个矩形的花圃，若设AB的长为x(m)，求矩形的面积y(m2)与x(m)的函数关系式(要求写出自变量x的取值范围)． 解：∵AB的长为x m，铁栏杆总长为20 m， ∴BC＝(20－2x)m， ∵x＞0，0＜20－2x≤18，∴1≤x＜10， ∴y＝x(20－2x)＝－2x2＋20x(1≤x＜10)． 小结：根据实际问题及限定条件列不等式（组）求取值范围. ★9． (人教9上P41、北师9上P53改编) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝24 mm．动点P从点A开始沿边AC向点C以2 mm/s的速度移动；动点Q从点C开始沿边CB向点B以4 mm/s的速度移动．如果P，Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围． 解：由题意得AP＝2t mm，CQ＝4t mm， 则PC＝(12－2t)mm， ∴S＝(12－2t)·4t， 即S＝－4t2＋24t(0≤t≤6)． 0.50 THANK YOU $