专题4.1 指数（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题4.1 指数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 2 【题型2 根式的化简求值】 3 【题型3 指数幂的运算】 6 【题型4 指数幂的化简、求值】 7 【题型5 指数式的给条件求值问题】 9 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 11 【题型7 指数幂等式的证明】 12 知识点1 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 【例1】（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据指数幂的概念和根式运算法则进行化简. 【解答过程】（1） （2） （3）因为， 所以. 【题型2 根式的化简求值】 【例2】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据根式的性质化简求值即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【解答过程】由，得， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【解答过程】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【解答过程】由题意得，，即， 所以. 故选：B. 知识点2 指数幂的拓展 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，ab>0； ②当a≠0时，a0=1，而当a=0时，a0无意义； ③若ar=as(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型3 指数幂的运算】 【例3】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【变式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据式子有意义及可得，进而结合指数幂运算性质求解即可. 【解答过程】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】． 故选：D. 【题型4 指数幂的化简、求值】 【例4】（24-25高一上·北京平谷·期中）化简、计算 (1)计算：. (2)化简：； 【答案】(1) (2) 【解题思路】由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. 【变式4-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【解题思路】利用指数运算法则和根式运算法则计算即可. 【解答过程】（1） ； （2）. 【变式4-2】（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1)19 (2)6 【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【解答过程】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，，所以原式. 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）把根式转化为分数指数幂化简即可. （2）（3）分数指数幂的运算法则，结合分母有理化计算即可. （4）多次进行完全平方运算，结合指数幂的运算法则即可求解. 【解答过程】（1）. （2） . （3） . （4），即， ，，即， ， . 【题型5 指数式的给条件求值问题】 【例5】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解答过程】由得，即， 故， 故 故. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一上·广西北海·期中）若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分数指数幂运算法则得到答案. 【解答过程】. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 【变式5-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解答过程】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【解答过程】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 【变式6-1】（2025高一·全国·专题练习）方程的解是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】化简指数方程为3x﹣1＝3﹣2，即可解出． 【解答过程】∵方程， ∴， ∴， ∴， 因此方程的解是． 故选：B. 【变式6-2】（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【解答过程】原方程可化为：，即， 解得：． 故选：B． 【变式6-3】（2025高一·全国·专题练习）方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】C 【解题思路】由，再利用指数函数的单调性求解    . 【解答过程】解：∵， ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1． 故选：C． 【题型7 指数幂等式的证明】 【例7】（2025高三·全国·专题练习）设都是正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】令，得到，，．由建立等量关系便得证. 【解答过程】 令，则，，． 很显然有，∴． 【变式7-1】（2025高一·全国·专题练习）已知且，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，由，得到，即可得到证明. 【解答过程】证明：∵且，， ∴，∴， ∴．∴． 【变式7-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 【答案】（1）7；（2）证明见解析 【解题思路】（1）利用指数的运算求解； （2）利用指数幂的运算律求解. 【解答过程】（1）由，可得， 所以. （2）证明：因为，所以， 所以，即，① 又因为，所以， 所以，即，② 由①②可得，，所以. 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）依题意可得，代入，根据指数幂的运算法则计算可得； （2）依题意可得，由可得，，再代入根据指数幂的运算法则计算可得． 【解答过程】（1）证明：由得 将①代入②，得，∴，∴，∴，∴． （2）证明：由，得， ∵，∴，． 由，得，即， ∴，两边同乘以，得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 指数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 2 【题型2 根式的化简求值】 3 【题型3 指数幂的运算】 4 【题型4 指数幂的化简、求值】 4 【题型5 指数式的给条件求值问题】 5 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 6 【题型7 指数幂等式的证明】 7 知识点1 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 【例1】（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 【题型2 根式的化简求值】 【例2】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 知识点2 指数幂的拓展 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，ab>0； ②当a≠0时，a0=1，而当a=0时，a0无意义； ③若ar=as(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型3 指数幂的运算】 【例3】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 指数幂的化简、求值】 【例4】（24-25高一上·北京平谷·期中）化简、计算 (1)计算：. (2)化简：； 【变式4-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 【变式4-2】（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【题型5 指数式的给条件求值问题】 【例5】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·广西北海·期中）若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【变式5-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025高一·全国·专题练习）方程的解是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【变式6-2】（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025高一·全国·专题练习）方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【题型7 指数幂等式的证明】 【例7】（2025高三·全国·专题练习）设都是正数，且，求证：． 【变式7-1】（2025高一·全国·专题练习）已知且，，求证：． 【变式7-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$