专题01 特殊平行四边形（一）10大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题01特殊平行四边形（一） ☆10大高频考点概览 考点01特殊平行四边形的性质与判定选填题 考点02菱形相关求解选填题 考点03菱形相关证明与求解解答题 考点04矩形相关求解选填题 考点05矩形相关证明与求解解答题 考点06正方形相关求解选填题 考点07正方形相关证明与求解解答题 考点08中点四边形 考点09特殊平行四边形的压轴多选题 考点10特殊平行四边形的动点图象问题 考点01 特殊平行四边形的性质与判定选填题 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期中)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是() A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)下列说法正确的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 3.(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期中)下列说法不能判定四边形是矩形的是() A.有一个角为90°的平行四边形 B.四个角都相等的四边形 C.对角线相等的平行四边形 D.对角线互相平分的四边形 4.(24-25九上·辽宁沈阳南昌中学·期中)平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是() A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直 5.(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期中)下列命题正确的是() A.正方形的对角线相等且互相平分 B.对角互补的四边形是平行四边形 C.矩形的对角线互相垂直 D.一组邻边相等的四边形是菱形 1/39 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 6.(24-25九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)下列命题中，真命题是（) A.一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线垂直的四边形是菱形 D.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 7.(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团期中)下列命题中正确的是() A.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.一组对边平行的四边形是平行四边形 8.(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面 是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是() A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量其内角是否均为直角 D.测量对角线是否垂直 9.(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期中)在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩 形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是() A.测量其中三个角是否都为直角 B.测量对角线是否相等 C.测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否互相平分 10.(24-25九上·辽宁多校联考·期中)下列说法正确的是（) A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C.两条对角线相等的矩形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形 11.(24-25九上·辽宁锦州第十八中学.期中)如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④ 表示需要添加的条件，则下列描述错误的是()· ①，矩形、⊙ 平行四边形对角线垂直且相签正方形 ②4 菱形④ A.①表示有一组邻角相等 B.②表示有一组邻边相等 C.③表示对角线相等 D.④表示有一个角是直角 12.(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)下列说法正确的是() A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2/39 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 13.(24-25九上·辽宁沈阳沈阳虹桥初级中学期中)在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关 系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是() ① 矩形 ③ 平行四边形 正方形 ② 菱形 ④ A.①有一个角是直角 B.③有一组邻边相等 C.②对角线互相垂直 D.④对角线互相平分 14.(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)在Rt△ABD中，∠DAB=90°，利用尺规作矩形ABCD.甲、 乙两位同学的作法如图所示，关于两人的作法判断正确的是() 甲：作BD的垂直平分线交BD于点 乙：以B为圆心，AD长为半径画圆D O:连接AO,在射线AO上截取 弧：以D为圆心，AB长为半径画 OC=OA(A,C不重合)，连接BC, 圆弧：两弧在AB上方交于点C,连 CD,四边形ABCD即为所求. 接BC,CD,四边形ABCD即为所求A A.只有甲的可以B.只有乙的可以 C.甲、乙的都可以D.甲、乙的都不可以 15.(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,尺规作图操作步骤 如下：①以点C为圆心，OC长为半径画弧；②以点D为圆心，OD长为半径画弧：③两弧交于点E,连结 DE,CE.则下列说法一定正确的是() A.若AC⊥BD,则四边形OCED是矩形 B.若AC=BD,则四边形OCED是菱形 C.若AD⊥CD,则四边形OCED是矩形 D.若AD=CD,则四边形OCED是菱形 16.(24-25九上·辽宁辽阳灯塔·期中)下列命题正确的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 3/39 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 17.(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)下列说法正确的是（) A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的四边形是菱形 目目 考点02 菱形相关求解选填题 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)如图，菱形ABCD的两条对角线AC,BD交于点O,若 AC=10,BD=24,则菱形ABCD的面积为() A.60 B.120 C.240 D.480 2.(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边 上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C,且DC是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为 () B A.30 B.45° C.60° D.75° 3.(24-25九上·辽宁多校联考·期中)如图，正方形ABCD的面积为16，菱形BEDF的面积为42，则菱形 BEDF的周长为() A.2V3 B.3 C.83 D.12 4.(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)在菱形ABCD中，两条对角线AC=10,BD=24,则此菱形的边长为( 4/39 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ) A.14 B.25 C.26 D.13 5.(24-25九上·辽宁鞍山高新区·期中)菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋 转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为() A.3-3 B.2-3 C.3-1 D.23-2 6.(24-25九上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5, AC=4,D为AB的中点，AE‖CD,CE‖AB,则四边形ADCE的对角线ED的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 7.(24-25九上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶 点A在y轴上，顶点B,C的坐标分别为(-6,0)，(4,0)，则点D的坐标是() YA A.6,8 B.10,8 C.10,6 D.4,6 8.(24-25九上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2 7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为() A.12 B.14 C.16 D.24 9.(24-25九上·辽宁朝阳建平县沙海中学·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A 作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB-6,菱形ABCD的面积为54，则OE的长为() D 5/39 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.4 B.4.5 C.8 D.9 10.(24-25九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作 DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=8,OH=5,则菱形ABCD的面积为() H A.40 B.80 C.160 D.4010 1.(24-25九上辽宁大连甘并子区：期中)如图，已知点A的坐标为-23,2：菱形ABCD的对角线交于 坐标原点O,则点C的坐标为() A-2,23B.-2,-283 C.（-23,-2 D.23,-2 12.(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期中)如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC,BD交于点O,E为 AD的中点，则OE的长等于() A.2 B.3.5 C.7 D.14 13.(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团期中)已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4： 3,则这个菱形的面积是() A.12cm B.24cm C.48cm2 D.96cm2 14.(24-25九上·辽宁东港·期中)已知菱形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG分别交边AD和BA的 6/39 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 延长线于点E,F.若(=2，EF=9,则CG的长为() D A.14 B.4.3 C.4.5 D.V22 15.(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE⊥AB, 交AB于点E,连接OE,若OE=6,OB=8,则CE的长为() D B 、号 B. 24 c.53 48 5 3 D.5 16.(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC=5,BD=10,则该菱形的面积为 () A.50 B.25 c.253 D.12.5 2 17.(24-25九上·辽宁阜新太平区阜新第四中学.期中)如图，在坐标系中放置一菱形OABC,己知∠ABC= 60°，OA=1,将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依 次为B1,B2,B3,…,则B2024的坐标为() B B B2(B3B4) 7/39 命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.1348,0 B. (1348,V3 C.1350,0 1350, 3 二、填空题 18.(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，以点A为圆心，AB长 为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P,连接 AP并延长交BC于点E,连接EF.设AE与BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为4，则四边形ABEF 的面积是一· 19.(24-25九上·辽宁东港·期中)在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为-3,0，x,y,0,4, -6,d,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则d的值为· 20.(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期中)如图，平行四边形ABCD中，点B与原点O重合，点C落在x轴正 半轴上，在AD上截取AF=AB,分别以点B,F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P射 线AP交BC于E,若AB=5,BF=6,则点F的坐标为一 A (B 目目 考点03 菱形相关证明与求解解答题 一、解答题 1.(24-25九上·辽宁丹东凤城期中)已知：如图1，四边形BEDF是平行四边形，点A、C在对角线EF所在 直线上，且AE=CF. 8/39 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 图1 图2 (I)求证：△ABE≌△CDF: (2)如图2，连接AD、BC,若AC平分∠BAD,四边形ABCD是什么特殊的四边形？请说明理由. 2.(24-25九上·辽宁沈阳南昌中学·期中)综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB=6,AD=5.先将矩形ABCD对折，使BC与 AD重合，折痕为MN,沿MN剪开得到两个矩形.矩形AMWD保持不动，将矩形MBCW绕点M逆时针旋 转，点N的对应点为N 【探究发现】(1)如图②，当点C与点D重合时，MN交AD于点E,BC交MW于点F,此时两个矩形 重叠部分四边形MEDF的形状是，面积是： (2)如图③，当点N落在AD边上时，BC恰好经过点N,N'C与DN交于点G,求两个矩形重叠部分四 边形MNGN的面积： 【引申探究】(3)当点N落在矩形AMND的对角线MD所在的直线上时，直线NC与直线DN交于点 G,请直接写出线段DG的长. D 入" N D D(C G B B 图① 图② 图③ 备用图 3.(24-25九上·辽宁阜新第十六中学·期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC平 分∠BAD,DPIAC,CPI‖BD A B (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AC=4,BD=8,求OP的长. 9/39 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25九上·辽宁沈阳南昌中学期中)如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形 ABCD. 图1 图2 (1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)己知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2,求此时直 线AD、CD所夹锐角∠1的度数. 5.(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点E、F分别在AB、 CD上，且BE=DF=3 D (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)求线段EF的长. 6.(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于 点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BM、DN. M (I)求证：四边形BNDM是菱形； (2)若BD=45,MD=5,求AB的长. 7.(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分 点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务. 10/39 专题01 特殊平行四边形（一） 10大高频考点概览 考点01 特殊平行四边形的性质与判定选填题 考点02 菱形相关求解选填题 考点03 菱形相关证明与求解解答题 考点04 矩形相关求解选填题 考点05 矩形相关证明与求解解答题 考点06 正方形相关求解选填题 考点07 正方形相关证明与求解解答题 考点08 中点四边形 考点09 特殊平行四边形的压轴多选题 考点10 特殊平行四边形的动点图象问题 地 城 考点01 特殊平行四边形的性质与判定选填题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期中)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 2．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，故该选项不符合题意； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，错误，故该选项不符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，故该选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题是考查了菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定．解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 3．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期中)下列说法不能判定四边形是矩形的是（ ） A．有一个角为90°的平行四边形 B．四个角都相等的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法逐项分析即可. 【详解】A. 有一个角为90°的平行四边形，正确；     B. 四个角都相等的四边形，正确； C. 对角线相等的平行四边形，正确；     D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故不正确； 故选D. 【点睛】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角的直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 4．(24-25九上·辽宁沈阳南昌中学·期中)平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意； B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析． 5．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期中)下列命题正确的是(   ) A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 6．(24-25九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)下列命题中，真命题是（　　） A．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 7．(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)下列命题中正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判定即可得到结论 【详解】解：A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意； 故选：A 8．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其内角是否均为直角 D．测量对角线是否垂直 【答案】C 【分析】根据矩形的判定：（1）四个角均为直角；（2）对边互相平行且相等；（3）对角线相等且平分，据此即可判断结果． 【详解】解：A、根据矩形的对角线相等且平分，故错误； B、对边分别相等只能判定四边形是平行四边形，故错误； C、矩形的四个角都是直角，故正确； D、矩形的对角线互相相等且平分，所以垂直与否与矩形的判定无关，故错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 9．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期中)在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否都为直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相平分 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定是解决问题的关键．利用矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解∶A．测量四边形其中的三个角是直角，能判定为矩形，此选项正确； B．对角线相等的四边形可能是等腰梯形也可能是矩形，还有可能是其它形式的四边形，此选项错误； C．测量两组对边是否分别相等，只能判定是否为平行四边形，不能断定是否为矩形，此选项错误； D．测量对角线是否互相平分，只能判定是否为平行四边形，不能判定是否是矩形，此选项错误， 故选：A． 10．(24-25九上·辽宁多校联考·期中)下列说法正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项说法错误； B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项说法错误； C、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法错误； D、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形的判定方法，属于中考常考题型． 11．(24-25九上·辽宁锦州第十八中学·期中)如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ）． A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线相等 D．④表示有一个角是直角 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握各个的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理进行求解． 【详解】解：A、①因为平行四边形的邻角互补且相等可知这两个邻角都为直角，所以由“有一个角为直角的平行四边形是矩形”，故不符合题意； B、②根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知正确；故不符合题意； C、③根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可知不正确，故符合题意； D、④根据“有一个角为直角的菱形是正方形”可知正确，故不符合题意； 故选C． 12．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题是考查菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定，利用平行四边形及特殊平行四边形的判定方法逐一选项判断即可． 【详解】解：A． 对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故选项A错误； B． 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B错误； C． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项C错误； D． 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确． 故选：D． 13．(24-25九上·辽宁沈阳沈阳虹桥初级中学·期中)在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A．①有一个角是直角 B．③有一组邻边相等 C．②对角线互相垂直 D．④对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形，矩形和正方形的判定定理，根据菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故此选项正确，不符合题意； D、对角线互相平分的菱形不一定是正方形，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 14．(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图所示，关于两人的作法判断正确的是（   ） A．只有甲的可以 B．只有乙的可以 C．甲、乙的都可以 D．甲、乙的都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定，矩形的判定，甲：根据尺规作图可知，，再结合，即可证明，四边形是矩形；乙：根据，，再结合，即可证明，四边形是矩形；尺规作图可知熟记相关定理内容是解题关键． 【详解】解：由甲的做法可知：，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 由乙的做法可知：，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是矩形； 故选：C． 15．(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，以及平行四边形的性质定理逐一判定即得． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 在平行四边形中，当时， ， ∴四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故B符合题意； 当时， 平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； 当时， 平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形不一定是菱形， 故D不符合题意； 故选：B． 16．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔·期中)下列命题正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【详解】试题分析：A．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误； B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误； C．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确． 故选D． 17．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)下列说法正确的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理、菱形的判定定理分别进行分析． 【详解】解：A．是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是正确的，符合题意； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原来的说法错误，不符合题意； C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原来的说法错误，不符合题意； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原来的说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定，关键是掌握菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理． 地 城 考点02 菱形相关求解选填题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为（    ） A．60 B．120 C．240 D．480 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，交于点，，， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据是的垂直平分线，得到，结合得到是等边三角形，即可得到，根据四边形是菱形得到，根据折叠即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点， ∴， ∴， 故选D； 【点睛】本题考查菱形的折叠问题，三角形内角和定理，菱形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是得到是等边三角形． 3．(24-25九上·辽宁多校联考·期中)如图，正方形的面积为16，菱形的面积为，则菱形的周长为（    ） A． B．3 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．根据正方形的面积可求出正方形的边长，利用勾股定理求出，然后根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则， ∵正方形的面积为16， ∴，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：D． 4．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)在菱形ABCD中，两条对角线AC=10，BD=24，则此菱形的边长为（      ） A．14 B．25 C．26 D．13 【答案】D 【分析】由菱形的性质和勾股定理即可求得AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24， ∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OB=OD=BD=12，OA=OC=AC=5， 在Rt△ABO中，AB==13， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB=13是解题的关键． 5．(24-25九上·辽宁鞍山高新区·期中)菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积． 【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， ∴A，，C三点共线， ∴， 又∵， ∴，， ∵重叠部分的面积， ∴重叠部分的面积； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 6．(24-25九上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)如图，在中，，，，为的中点， ， ，则四边形的对角线的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解： ，， 四边形为平行四边形， 又，为的中点， ， 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ，，， ， ∴． 故选B． 7．(24-25九上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在轴上，顶点B，C的坐标分别为(−6，0)，(4，0)，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在Rt△ABO中，求出OA即可解决问题． 【详解】解：∵B（-6，0），C（4，0）， ∴BC=10， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=DC=BC=10， 在Rt△ABO中，OA==8， ∴A（0，8）， ∵AD∥BC， ∴D（10，8）， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．(24-25九上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【详解】试题解析：∵解方程x2-7x+12=0 得：x=3或4 ∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形； ∴菱形的边长为4． ∴菱形ABCD的周长为4×4=16． 故选C. 9．(24-25九上·辽宁朝阳建平县沙海中学·期中)如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCD═AC×BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OE＝AC＝4.5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10．(24-25九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ） A．40 B．80 C．160 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键． 由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B． 11．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期中)如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，由菱形的性质可知点和点关于原点对称，结合条件可求得点点的坐标． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 点为坐标原点， 点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， 点的坐标为 点坐标为 故选：D． 12．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期中)如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A．2 B．3.5 C．7 D．14 【答案】B 【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0 【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB28=7，且O为BD的中点． ∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OEAB=3.5． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE为△ABD的中位线是解题的关键． 13．(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（    ） A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2 【答案】B 【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x， 已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 即可知（4x）2+（3x）2=25， 解得x=1， 故菱形的对角线分别为8cm和6cm， 所以菱形的面积=×8×6=24cm2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单． 14．(24-25九上·辽宁东港·期中)已知菱形中，点G是对角线上一点，分别交边和的延长线于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证得是解题的关键．根据菱形的性质可得，，再由平行线的性质可得，由三角形全等的判定得出，得出，，从而得到，可证得，根据相似比即可求解． 【详解】 是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， , ， ， 解得， , 故选：D． 15．(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质， 先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． 在中，是斜边上的中线， ∴， ∴． 在中，． ∴， 即， 解得． 故选：D． 16．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，菱形ABCD的对角线，，则该菱形的面积为（    ） A．50 B．25 C． D．12.5 【答案】B 【分析】利用菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半即可求得答案． 【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10， ∴S菱形ABCD=AC•BD=×5×10=25， 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半是解题的关键． 17．(24-25九上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移即即可到达点，根据点的坐标就可求出点的坐标． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形． ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转次，图形向右平移． ， 点向右平移即到点． 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：C． 二、填空题 18．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，在平行四边形中，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于点E，连接．设与相交于点O，若四边形的周长为4，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】由作法得，平分，则，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到，接着证明，则可四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形，再证明，都是等边三角形，可得结论． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵菱形的周长为4， ∴， ∵， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 19．(24-25九上·辽宁东港·期中)在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则d的值为 ． 【答案】4或 【分析】分类讨论：当为边，或当为对角线，结合菱形的性质以及两点间距离公式可求d，．本题考查了菱形的性质，勾股定理，分类讨论思想，解答本题的关键是利用两点间距离公式列出方程． 【详解】解：若为边，是对角线， 为菱形， 且，，， ， ，（舍去）； 若为对角线，为边， 为菱形， 且，，， ， ∴， 故答案为：4或． 20．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期中)如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为 【答案】 【分析】连接，设交轴于点，平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，进而得到，推出四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长，勾股定理求出的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：连接，设交轴于点，交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定和性质，勾股定理，等积法求出菱形的高，解题的关键是得到四边形为菱形． 地 城 考点03 菱形相关证明与求解解答题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且． (1)求证：； (2)如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）根据可得： （2）连接交于点，证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接交于点， ， ，， ∴， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 2．(24-25九上·辽宁沈阳南昌中学·期中)综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，，．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______； （2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形的面积； 【引申探究】（3）当点落在矩形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长． 【答案】（1）菱形，（2）（3） 【分析】（1）先证△BFM≌△NFD，可得MF=FD，同理可证ME=ED，再证△BFM≌△AEM，可得ME=MF，即有ME=ED=DF=MF，则可知四边形MEDF是菱形；由AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，即ED=5-AE=ME，在Rt△AEM中，，即可得，解得：，进而求出ED，则菱形的面积可求； （2）先求出，进而求出，再证明即可求解； （3）分两种情况讨论，第一种当点在线段MD上时，第二种情况当点在DM的延长线上时，两种情况均是先先利用勾股定理求出MD，进而求出，再证明即可求解． 【详解】（1）根据题意有AM=BM=AB=DC=DN=NC=3， ∵在矩形AMND和矩形MBCN′中，∠B=∠N=90°=∠A， ∵∠BFM=∠NFD， ∴△BFM≌△NFD， ∴MF=FD， 同理可证ME=ED， ∵∠AME+∠EMF=∠AMN=90°=∠EMB=∠EMF+∠BMF， ∴∠AME=∠BMF， ∴结合∠B=∠A，AM=MB可得△BFM≌△AEM， ∴ME=MF， ∴ME=ED=DF=MF， ∴四边形MEDF是菱形， ∵AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME， 即ED=5-AE=ME， ∴在Rt△AEM中，， ∴，解得：， ∴ED=5-AE=， ∴菱形MEDF的面积为， 故答案为：菱形，； （2）由折叠得，， ∴在中，． ∴． 由题知， ∴，， ∴， ∴． ∴，即，解得． ∴ ． （3）如图， 第一种当点在线段MD上时 ∵AD=5，AM=3， ∴在Rt△ADM中，， ∵BC=AD==5， ∴， 根据矩形的性质可知∠AMD=∠MDG，∠A==∠90°， ∴， ∴，即：， 第二种情况当点在DM的延长线上时， 如图： 同理可求得， 综上所述：DG为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3．(24-25九上·辽宁阜新第十六中学·期中)如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）∵平行四边形是菱形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 4．(24-25九上·辽宁沈阳南昌中学·期中)如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵， ∴， 由（1）可得四边形是菱形， ∴， 在中，， 即， ∴． 5．(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)如图，矩形中，，，点、分别在、上，且 （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过作于， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 6．(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题主要考查了菱形的判定，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）根据矩形性质求出，可得，证明，得，所以得平行四边形，进而可以解决问题； （2）根据菱形性质求出，在中，由勾股定理得，根据，进而可得出答案． 【详解】（1）证明:∵四边形是矩形 ∴ ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ， ∴， ∴ 7．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图1，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即） 学习任务： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，求证： (3)如图2，若交于点，，，将绕着点旋转，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为或 【分析】（1）由作法可得，再由菱形的判定定理即可得证； （2）由菱形的性质可得，，从而推出，由相似三角形的性质可得，结合，得出，从而得到，即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，连接，利用全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质得出，，设与交于点，由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出，即可得解；当点在射线上时，连接，同上计算即可得解． 【详解】（1）证明：由作法可得：， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图，当点在线段上时，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴，， 由旋转的性质可得：， ∴， ∵、均为等边的高， ∴， ∴； ②如图，当点在射线上时，连接， 由①知：，，，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 8．(24-25九上·辽宁多校联考·期中)如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作 于点，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质证明及，再根据即可判定四边形是矩形； （2）根据菱形性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求得，再根据勾股定理可得，最后根据菱形面积的不同计算方式即可求得． 【详解】（1）证明：菱形中，，， 又， ， 即， ， 为延长线， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形. （2）解：菱形中， ，， 又， ， ， 设，则， 则在中， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、矩形的判定、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、菱形面积的计算，解题关键是熟练掌握矩形的判定及菱形的面积计算方式． 9．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期中)如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可． （2）过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，则， 四边形是菱形， ，则， 四边形是平行四边形； （2）解：取的中点，连接， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在中，根据勾股定理得，． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题． 10．(24-25九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． (1)如图1，当，时， ① 求证：； ② 连接、，求证：； (2)如图2，当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连接、，若，，当时， ①求的长； ② = ． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)①② 【分析】（1）①由垂直的定义及等量代换得，由菱形的性质得，，，由即可得证； ②连接，由菱形的性质得，，由全等三角形的性质得，，由线段是垂直平分线的判定方法得垂直平分，即可得证； （2）①由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求 ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，则，代入即可求解； ②过作交于，过作交于，由勾股定理及三角形面积得，由勾股定理得 ，由相似三角形的性质得，由勾股定理得 ，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）； ②证明：如图，连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ； （2）①解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 同理可证：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 整理得：， 解得，， 由图得：， ； ②解：过作交于，过作交于， ， ， ， ， 解得：， ， 由①得：， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，掌握菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，能根据题意添加恰当的辅助线，构建直角三角形熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 地 城 考点04 矩形相关求解选填题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接，以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，，由点F为的中点可知，在中利用勾股定理得出的长即可解答． 【详解】解：矩形， ，， 点F为的中点， ， 以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G， ， 在中，， ． 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出，，，证出，得出．证出为等边三角形，得出，则可得出答案． 【详解】解：在矩形中，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁葫芦岛兴城·期中)如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或8 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 4．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)如图，矩形的两条对角线交于点O，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形等边对等角的性质以及三角形外角的定义和性质，解题的关键是熟记矩形的对角线互相平分且相等．根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据等腰三角形中等边对等角可得，然后根据三角形外角的性质列式计算即可得解． 【详解】解：矩形的对角线，相交于点，    ， ， ． 故选D． 5．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，由题意可知：，再根据点坐标进而可以解决问题； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 由题意可知： ∵点的横坐标为 ∴点的横坐标为 ∵点在轴上 ∴点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标特征；熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 6．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期中)如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先得出，根据矩形的性质得出，，再得出，进而求出，进一步可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7．(24-25九上·辽宁凌海·期中)如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 8．(24-25九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（    ）cm    A．9 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】过点B作于点F，如图，则的长即为杯中水的最大深度，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：过点B作于点F，如图，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵cm， ∴cm， ∴cm，即杯中水的最大深度为cm； 故选：D.    【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键. 9．(24-25九上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 二、填空题 10．(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出的长，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．(24-25九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 【答案】10 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 12．(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)如图，矩形中，，，的直角顶点P在的延长线上且，E在边上，，与边交于点M，若，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识．作交的延长线于点，交的延长线于点，由，，，得，可证明，则，求得，由，得，求得，再证明四边形是矩形，则，，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，交的延长线于点， 四边形是矩形，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 故答案为：． 13．(24-25九上·辽宁多校联考·期中)如图，在矩形中，的平分线与边交于点，的平分线与边的延长线交于点，与边交于点．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】利用矩形的性质结合角平分线的定义先说明，再利用勾股定理求出，最后根据得出比例式，设，则，最后根据进行列方程并解方程即可． 【详解】解：∵的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，的角平分线与边交于点E， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 .∵ ∴ ， 解得. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定，勾股定理以及等腰三角形的性质，证明三角形形相似是解题的关键． 14．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期中)如图，在矩形中，，点F在边上，且，点E是边上的一个动点，连接，点M是的中点，按下面作图： （1）以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点G，交于点H （2）以点M为圆心，以长为半径作弧，交射线于点 （3）以点为圆心，以长为半径作弧，交前弧于点，过点M作射线交射线于点N，则在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长是 【答案】 【分析】根据四边形是矩形，得出，算出，勾股定理算出，根据作图可得：，得出，证明，得出是的中位线，从而得出，画出当点运动到点时，点运动到点时，对应图象得出，四边形是平行四边形，证明是中位线，得出长度，即可求出在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据作图可得：， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当点运动到点时，点位于点，点运动到点时，点位于点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是中点，点是中点， ∴是中位线， ∴， 则在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长是， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的判定，三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的性质等知识点，解题的关键是判断出线段所扫过的图形的形状． 15．(24-25九上·辽宁鞍山高新区·期中)如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，如图所示， 在中，，， ， 为等边三角形， ， ， . ， 当点在上时，，此时为直角三角形，如图所示， ， . 当点在的延长线上时，如图所示，，此时为直角三角形， . 当点在的延长线上时，如图所示， ， 四边形为矩形. ，此时为直角三角形， ， 综上，的长为或或， 故答案为：或或. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 地 城 考点05 矩形相关证明与求解解答题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； （2）∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【答案】（2）证明见解析；（2）四边形EBFD是矩形．证明见解析． 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 在△DEO和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF． （2）结论：四边形EBFD是矩形． 理由：∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形EBFD是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练相关的基本知识． 3．(24-25九上·辽宁本溪·期中)如图，菱形的对角线和交于点，分别过点作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可求解． （2）过点作交的延长线于点，利用菱形，靠边三角形的性质，易得到构的，再利用（1）结论求出，最后利用锐角三角函数值的求法求解． 【详解】（1）证明：， ∴四边形为平行四边形. ∵四边形是菱形 ∴， ， ∴平行四边形为矩形． （2）解：过点作交的延长线于点， ， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴． ∵，， ∴是等边三角形 ， ， ∴， ， ． 由（1）已证四边形为矩形 ， ， ∴， ∴． ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．理解相关知识是解答关键． 4．(24-25九上·辽宁沈阳新民·期中)已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的面积为65 【分析】本题考查了矩形的性质，结合了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）证即可，推出，即可证明； （2）连接，由（1），设，在中，列式求解求出，即可解决． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （2）连接， 由（1）知， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即， ∵， ∴ ∴． 5．(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，在矩形中，，的平分线交于E．F为的中点，连结，分别交于点G， H．连结． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据矩形的性质得出，结合直角三角形的性质、等腰三角形的判定求出，则，即可求出是的中位线，根据三角形中位线的性质求解即可； （2）结合（1）求出，根据矩形的性质求出．结合，即可判定， ，根据相似三角形的性质求出，根据线段的和差求解即可． 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，三角形中位线的性质和判定等知识，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵F为的中点 ∴是的中位线 ∴； （2）解：由（1）知，， ∵ ∴ ∵，F为的中点， ∴， 在矩形中，， ∴， ， ． ∴ ∴． 6．(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期中)综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】【数学思考】见解析；【解决问题】；【拓展研究】或 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点． (1)求证． (2)连接，若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查的是矩形性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，牢记相关知识是解题关键， （1）根据矩形性质得，结合，得出即可证出结论； （2）先证，再求出长，证出即可． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，即， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵在矩形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 8．(24-25九上·辽宁凌海·期中)如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形 (2)若6，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形； （2）首先推知是等边三角形，所以，则，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2）在菱形中，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 矩形的面积是． 9．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据线段的和差关系可得，根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，可证明四边形为平行四边形，根据即可得结论； （）根据矩形的性质可得，可得为直角三角形，利用“面积法”可求出的长，即可得答案； 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：由（）得：四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．(24-25九上·辽宁锦州第十八中学·期中)如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形，， ， ，， ， 是直角三角形，， 的面积， ， 由（1）得：四边形是矩形， ，， ． 11．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ． 又， 是等边三角形， ， ． 12．(24-25九上·辽宁沈阳沈阳虹桥初级中学·期中)如图，菱形的对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线交于点E，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的对角线的长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，再根据矩形的判定可得结论； （2）先证明是等边三角形，则设，则，在中，由勾股定理得：，求出，由（1）知四边形是矩形，则，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 则， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形 ，， ∴，，， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： 解得：， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 13．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，在中，对角线与相交于点O，E，F 是上两点，且，， (1)求证: 四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，直角三角形的性质以及勾股定理等知识： （1）先证明是平行四边形，再证明即可得出结论； （2）根据直角性质得出，过点E作，分别求出，，再根据勾股定理得出 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 过点E作于点G，如图， ∴, ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中， 14．(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)2 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，所以．又由，，由直角三角形性质得．在中，，由直角三角形性质得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ∴四边形是平行四边形． ，， ， ， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）知四边形是矩形， ，， ． 又，， ． 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 15．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，，求四边形的周长． 【答案】18 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键在于灵活运用所学知识．先由矩形的性质得到，再由勾股定理得到，然后结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到，再结合点O和点M分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵O是矩形的对角线的中点， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴四边形的周长为：． 地 城 考点06 正方形相关求解选填题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山立山区·期中)如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质和正方形的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可求的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴，，， ∴，且， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁朝阳建平县沙海中学·期中)已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的对角线相等，且互相垂直的性质，正方形的面积的求解．根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的一条对角线长为4， ∴面积是， 故选：C． 3．(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，二次根式的化简， 连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴M、N两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积和， ∴， ∴． 故选：B． 4．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔·期中)如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上．满足，连接、，取的中点G，连接，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线，由正方形的性质得到，求出得到，即可证明，得到由，推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，求出，，由勾股定理求出．关键是由，再结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，G是中点， ∴ ∴ ∴， ∴． 故选：A 5．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期中)用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．在图中，证是等边三角形，得出．在图中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在图1中，四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵在图2中，四边形为正方形， ∴ ∴． 故选：B． 6．(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到．连接若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质；过点F作交的延长线于点G，证明 ，得到再结合得到，得到，即可求出结果． 【详解】解：过点F作交的延长线于点G，    ∵， ∴， ∴ ∴ ∵是正方形 ∴， ∵ ∴ 在和中， ∴ 又∵ ∴ ∵是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 7．(24-25九上·辽宁东港·期中)在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作轴，于点E，根据勾股定理求出，根据正方形的性质得，然后说明，再根据“角角边”证明，可得，进而得出答案． 【详解】解：过点D作轴，于点E， 根据勾股定理，得． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，构造全等三角形是解题的关键． 8．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期中)如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正方形得到，继而由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选：C． 9．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期中)如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 10．(24-25九上·辽宁阜新第十六中学·期中)如图，在正方形中，点E，N，P，G分别在边，，，上，点M，F，Q都在对角线上，且四边形和均为正方形，则的值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到，四边形和均为正方形，推出与是等腰直角三角形，于是得到，，同理，即可得到结论． 【详解】解：在正方形中， ∵， ∵四边形和均为正方形， ∴，， ∴与是等腰直角三角形， ∴，， 同理， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11．(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【详解】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M，    ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 12．(24-25九上·辽宁沈阳新民·)如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，正确理解正方形的性质作出辅助线解决问题的关键．作轴于点D，轴于点E，证明，求出，根据点A在第二象限得到坐标． 【详解】解：如图，作轴于点D，轴于点E，则． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∵点， ∴． ∵点A在第二象限， ∴． 故选：B． 13．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期中)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 14．(24-25九上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)如图，在正方形中，．若以边为底边向其外作等腰直角，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键． 过点作 的延长线于点，过作于，根据 是等腰直角三角形，可证明四边形是正方形，则，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作 的延长线于点，过作于，则， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ∴， 四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ， ∴在中，． 故答案为：． 15．(24-25九上·辽宁鞍山海城·期中)如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ ． 【答案】 【分析】连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，判定△ADF≌△AEC（SAS），即可得出DF＝CE，再根据勾股定理求得CE2的长，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G， 由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC， ∴∠CAE＝∠FAD， ∴△ADF≌△AEC（SAS）， ∴DF＝CE， 由旋转可得，AB＝AE＝2，∠BAE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝2，∠ABE＝60°， ∴∠EBG＝30°， ∴EG＝BE＝1，BG＝， ∴CG＝2﹣， ∴Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2＝12+（2﹣）2＝8﹣4， ∴DF2＝8﹣4 ． 故答案为：8﹣4 ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 16．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)如图，正方形和中，，将正方形绕顶点从和重合开始逆时针旋转角度（），即．连接、、，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或7 【分析】根据正方形的性质，旋转的性质，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时， ∵正方形， ∴， ∴， ∴、、三点共线， ∵正方形， ∴，， ∴点在边上， 过点作于， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；    当时，连接、， ∵四边形是正方形， ∴时， ∴，即、、共线， ∵，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或7． 故答案为：或7． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，运用了分类讨论的思想．弄清题意，运用分类讨论是是解题的关键． 17．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为 ． 【答案】 【分析】连接，由正方形的性质可得， ，可证得，可得 ，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点M为中点，由可证得，可得，设，则，由勾股定理解得，可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， 即 ， 解得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题． 18．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形性质，菱形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，过点作交延长线于，则，由四边形是正方形，得，，，由勾股定理可得，又四边形为菱形，则，，从而证明是等腰直角三角形，设，则，，然后由勾股定理得，即，然后解出方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∵在中，， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故答案为：． 19．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期中)如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 根据垂直平分，求出，设，则，，根据勾股定理得，进而求得． 【详解】解：如图所示，连接， ， 由旋转可知， ，， ， 为的中点， 垂直平分， 设，则， ， ， 在中， ， 即， 解得，， 的长为， 故答案为：． 20．(24-25九上·辽宁辽阳第一中学西藏班·期中)如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 地 城 考点07 正方形相关证明与求解解答题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁朝阳建平县沙海中学·期中)如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，结合矩形的判定方法即可求证； （2）根据四边形是正方形，周长是，是对角线，得到，根据四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是正方形，周长是，是对角线， ∴，， 如图所示，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 同理，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 2．(24-25九上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)基础运用 （1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合． ①求证：； ②求证： 创新探究 （2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：． 【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据正方形对角线的性质，垂直平分，进而得出①结论；过点作于点，于点（如图），去证明四边形是矩形，，，从而推出结论； （2）根据菱形对角线的性质，证明出，作交于点，交于E点（如图），得出；根据菱形性质和题意，和都是等边三角形；作交于点，根据等腰三角形和等边三角形性质得出，，进而证明出结论． 【详解】（1）①证明：根据正方形对角线的性质， 垂直平分， 上的点到和B距离相等， ． ②过点作于点，于点，如图 线段绕点旋转得到， ； 又 ， ； 又 ，，， 四边形是矩形， ； 是正方形， ， 则， ， ． （2）证明：根据菱形对角线的性质， 垂直平分， 上的点到和B距离相等， ； 又 由旋转得到， ． 作交于点，交于E点，如图 则四边形是平行四边形，； 根据菱形性质：菱形的四条边都相等，及题意：， 得：， 和都是等边三角形； 作交于点， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形、等腰、等边三角形的性质及旋转性质，根据题意作出正确的辅助线是解题关键． 3．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期中)如图1，在中，，点P为边上任意一点（不与点A，B重合），过P分别作于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，若是的角平分线，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，得到，结合，即可得证， （2）根据角平分线的性质得到，根据正方形的判定得到，由，得到，代入求出，应用正方形面积公式，即可求解． 本题考查了矩形的判定，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形 （2）解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：，即：解得：， ∴四边形的面积． 4．(24-25九上·辽宁大连普兰店区·期中)如图，点E是正方形的边上一点，将顺时针旋转至的位置． (1)旋转中心是_______点，旋转角度是_______度； (2)若正方形边长为，，求的长． 【答案】(1)A，90 (2)13 【分析】本题考查了旋转的相关定义，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角；旋转前后对应边相等，对应角相等；以及勾股定理． （1）根据正方形的性质和旋转的性质，即可解答； （2）根据旋转的性质得出，进而得出，，最后根据勾股定理，即可解答． 【详解】（1）解：∵顺时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴旋转中心是点A，旋转角度为， 故答案为：A，90； （2）解：∵顺时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴，， ∴，即点F、B、C三点共线， ∵正方形边长， ∴， ∴，， 根据勾股定理可得：． 5．(24-25九上·辽宁多校联考·期中)如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； （2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， （2）连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 6．(24-25九上·辽宁多校联考·期中)如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． 为边上的中点， ， ，， 四边形是平行四边形． 为边上的中点，， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是正方形， 理由：，， 是等腰直角三角形． 为边AB上的中点． ． 由（1），可知四边形是矩形， 四边形是正方形． 7．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期中)等腰中，，，先将绕正方形的顶点旋转，再平移线段至位置，连接，． (1)如图1，当点落在上时，直接写出、的数量关系； (2)如图2，当点不在上时，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)连接，若，，在绕点旋转的过程中，当、、三点共线时，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）连接、，由正方形的性质得，，则，由平移得，，则四边形是平行四边形，点在上，点在上，所以，，，则； （2）连接、、、，可证明四边形和四边形都是平行四边形，则，进而证明，得，再证明，得，则，再证明，得，所以，则，所以； （3）分两种情况，一是点、点在点同侧，则，，所以，，则，，所以，则，，由勾股定理得；二是点、点在点异侧，此时，则． 【详解】（1）解：（1）， 理由：如图1，连接、， 四边形是正方形， ，，， ， 平移线段得到线段， ，， 四边形是平行四边形， 点在上， ， 点在上， 四边形是矩形， ， 点在上， ， ， 点在上， ， ，， ． （2）解：当点不在上时，（1）中的结论依然成立， 证明：如图2，连接、、、， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：当、、三点共线，且点、点在点同侧，如图3，连接、、、， 由（2）得，， ，， ，， ，， ， ， ， ； 当、、三点共线，且点、点在点异侧，如图4，连接、、、， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 8．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)如图，在中，，点E是的中线的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，其他条件不变，四边形又是什么特殊的四边形，请证明你的判断． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定： （1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，再证，推出，结合可证四边形是平行四边形，结合可证平行四边形是菱形； （2）时，根据等腰三角形三线合一可得，结合（1）中结论，可得四边形是正方形． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： 在中，，是的中线， ， 又点D是的中点， ， ， 点E是的中线的中点， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． （2）解：四边形是正方形，证明如下： ，是的中线， ， ， 由（1）知四边形是菱形 ∴菱形是正方形． 9．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期中)综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，直角三角形的特征量，等腰直角三角形的特点，推理证明即可． （3）取的中点M，取的中点N，连接，，，，利用三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，计算即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ∵点E绕点C逆时针旋转得到点， ∴, ∵， ， ， ， ∴, ∴四边形的形状都是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （2），理由如下： 连接， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴是的中点，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． （3）取的中点M，取的中点N， 连接，，，， ∴, ∵， ∴， 根据（2）得，， ∴，，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是的中点，， ∴，，， ∴ ， ∴， 过点M作于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征量，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握正方形性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，三线合一性质是解题的关键． 10．(24-25九上·辽宁营口雁楠中学·期中)如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合）将绕点A按顺时针方向旋转，得到．连接，交于点，交于点． (1)______； (2)如果，求证：； (3)交点，若，则______（直接写答案、用含的代数式表示）． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转知； （2）由题意可得，，即可证，即可证； （3）过点M作交于点F，得，由旋转可设，可得，，即得． 【详解】（1）解：∵绕点A按顺时针方向旋转， ∴． 故答案为：90； （2）证明：由旋转知，， ， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ， ∴． ∵，， ； （3）如图，过点M作交于点F， 则，， ∴，， 由旋转知，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构建相似三角形，综合运用相关知识是解本题的关键． 地 城 考点08 中点四边形 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期中)下列说法正确的是（　　） A．a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则 B．一元二次方程的根是 C．用配方法解方程时，原方程应变形为 D．顺次连接矩形各边中点得到菱形 【答案】D 【分析】选项A根据比例线段的定义判断即可；选项B利用因式分解法求解即可；选项C利用配方法判断即可；选项D根据菱形和矩形的性质判断即可． 【详解】解：A．a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则，故本选项不符合题意； B．一元二次方程的根是，，故本选项不符合题意； C．用配方法解方程时，原方程应变形为，故本选项不符合题意； D．顺次连接矩形各边中点得到菱形，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣配方法，一元二次方程的解，菱形的性质，矩形的性质以及中点四边形，掌握一元二次方程的解法和菱形与矩形的性质是解答本题的关键． 2．(24-25九上·辽宁铁岭昌图县万安中学·期中)顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（    ） A．相等且平分 B．垂直且平分 C．相等且垂直 D．相等、平分且垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，三角形中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：C． 3．(23-24九上·辽宁丹东振兴区第五中学·期中)下列说法： 四边相等的四边形一定是菱形 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 对角线相等的四边形一定是矩形 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确； ∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误； ∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误； ∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确； 其中正确的有2个， 故选：C． 4．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期中)下列命题是真命题的是（    ） A．四个角都相等的四边形是菱形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质一一判断即可 【详解】解：A、若四个角都相等，则这四个角都为直角，有三个角是直角的四边形是矩形，故A选项为假命题，不符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项为假命题，不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，菱形和矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项为假命题，不符合题意； D、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故D选项为真命题，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．(23-24九上·辽宁葫芦岛兴城第二初级中学·期中)如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、AD的中点，下列说法正确的是（    ） A．当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形 B．当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形 C．当四边形ABCD是平行四边形时，则四边形EFGH是矩形 D．当四边形ABCD是矩形时，则四边形EFGH是菱形 【答案】D 【分析】根据中位线的性质可得EH=FG=BD，EF=GH=AC，EH//FG//BD，EF//GH//AC，可得四边形EFGH是平行四边形，根据菱形、矩形的判定定理逐一判断即可得答案． 【详解】∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、AD的中点， ∴EH=FG=BD，EF=GH=AC，EH//FG//BD，EF//GH//AC， ∴四边形EFGH是平行四边形， 当AC⊥BD，∠EFG=90°， ∴四边形EFGH是矩形，故A选项错误， 当AC＝BD时，EH=FG=EF=GH， ∴四边形EFGH是菱形，故B选项错误， 当四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形，故C选项错误， 当四边形ABCD是矩形时，AC=BD，则四边形EFGH是菱形，故D选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形． 6．(23-24九上·辽宁锦州第八中学·期中)如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，即，即可得出菱形是正方形． 【详解】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形； 当时，，即， 菱形是正方形； 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题 7．(24-25九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，中位线性质定理，连接，由分别是的中点，得，，则四边形是平行四边形，故当 时，四边形是菱形，菱形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，， ∴四边形是菱形， ∴满足条件时，四边形是菱形， 故答案为：． 地 城 考点09 特殊平行四边形的压轴多选题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁本溪第十二中学·期中)如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全矩形的性质与判定、正方形的性质与判定、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用相关性质与判定定理是解题的关键． 由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，再结合为的中点可判定①；如图，连接．根据垂线段最短可知当时，最小，即取最小值；再根据等腰三角形的性质可得，进而判定②；根据等角对等边以及矩形的性质可判定③；先根据勾股定理求得，再运用垂线段最短以及等面积法即可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ， ， ∴四边形是正方形，故①正确； 如图，连接． ∵四边形是矩形， ， 当时，最小，即取最小值， ∵， ∴，即，即②错误； ， ． ∵四边形是矩形， ， ，即的值为定值4，故③正确； ， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，． ， ，解得：， ∴线段的最小值为，故④正确． ∴正确的有①③④． 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，再由，，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， AI 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ∴故③符合题意； 在和中， ， ， ， ，， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁营口鲅鱼圈区红旗镇初级中学·期中)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确； ②由，又AD∥BC，所以，进而得出，故②正确； ③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确； ④根据相似三角形的边长之比得出△ABF和△ABC的比值，从而得出四边形CDEF和△ABF的面积之比，即可判定④正确. 【详解】过D作DM∥BE交AC于N，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵， ∴， ∴CF=2AF，故②正确， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE=， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DF=DC，故③正确； ∵ ∴， ∵ 设，则，S四边形CDEF= ∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确； 故选：A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键. 4．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识．设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确． 【详解】解：设交于，如图： 四边形是正方形， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ，     ， ， ， ，故①正确； 将绕点按顺时针方向旋转， ，，， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形，故②正确； 如图，过点作于， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转， ， 四边形是正方形， ， ， ，故③正确； 正确的有：①②③， 故选：A． 5．(24-25九上·辽宁盘锦第一完全中学·期中)如图，正方形的边，对角线和交于点，是边上靠近点的三等分点，连接，，分别交，于点，，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由正方形的性质可得，， ，，通过证明 ，可得，即可求 ，由平行线分线段成比例可求的长，即可求， ，可判断②，由勾股定理可求的长，由三角形的面积关系可求，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，且正方形的边长为3， ，， ， 是边上靠近点的三等分点， ，， ， ， ， ，且， ， ， ，故①正确； ， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； 在中，，故③正确； ， ， ， ，且 ， ， ，故④正确； 故选：． 【点睛】本题是相似综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质和勾股定理求出线段的长度是本题的关键． 6．(23-24九上·辽宁大连·期中)在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】设，则，可算出，故①正确；先证明，再由得，即，四边形是菱形，故②正确；由，得，可求出，故③正确；由四边形是菱形证明，即可得，故④正确． 【详解】解：平分，，， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则， ，故①正确； 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确； 由①②知，，， ， ，故③正确； ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键． 二、填空题 7．(24-25九上·辽宁鞍山海城·期中)如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG＝FC；③与∠AGB相的角有5个；④S△FGC＝．其中正确的有 ． 【答案】①④ 【分析】根据正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，求出DE=1，CE=2．由△ADE沿AE对折至△AFE，即△ADE≌△AFE，可得AB=AF=AD．可证Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），设BG=FG=x，由勾股定理 EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3﹣x）2+22，解方程求出x的值可判断①正确；由GF=CG=GB=＞EF=1，点F不是GE的中点，假设FG=FC，可得△FGC为等边三角形，可求∠GEC=30°，可得，可求EF=EG-GF=3-=＞1，由△ADE沿AE对折至△AFE，即△ADE≌△AFE，DE=EF=1，与DE=1相矛盾可判断②错误；由（1）知Rt△ABG≌Rt△AFG，可得∠AGB=∠AGF=∠BGF，由GF=GC，可得∠GFC=∠GCF，根据三角形的外角性质，可得∠GCF=∠GFC=∠AGB=∠AFG．由AD∥BC，∠AGB=∠GAD，可判断③错误；先求出S△CGE =，再求出EF：FG=2：3，利用它们边上的高相同，利用比例可求S△FGC=，可判断④正确． 【详解】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE， ∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2． ∵△ADE沿AE对折至△AFE，即△ADE≌△AFE， ∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°， ∴AB=AF=AD． 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴BG=FG， 设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x． 在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3﹣x）2+22， 解得，x=， ∴CG=3﹣=， ∴BG=CG=，即点G是BC中点，故①正确； ∵GF=CG=GB=＞EF=1， ∴点F不是GE的中点， 假设FG=FC ∴△FGC为等边三角形， ∴∠FGC=60°， ∴∠GEC=90°-∠FGC=30°， ∴， ∴EF=EG-GF=3-=＞1， ∵△ADE沿AE对折至△AFE，即△ADE≌△AFE， ∴DE=EF=1，与DE=1相矛盾， ∴假设不正确， ∴FG≠FC，故②错误； 由（1）知Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴∠AGB=∠AGF=∠BGF， ∵GF=GC， ∴∠GFC=∠GCF， 根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF， ∴∠GCF=∠GFC=∠AGB=∠AFG． ∵AD∥BC， ∴∠AGB=∠GAD， ∴与∠AGB相等的角有4个，故③错误； ∵S△CGE =CG•CE=××2=． ∵EF：FG=1：=2：3， ∴S△FGC=×=，故④正确． 综上所述：正确的结论有①④． 故答案为①④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，反证法应用，勾股定理的应用，根据各边的数量关系利用勾股定理列式求出BG=FG的长度是解题的关键，也是本题的难点． 8．(24-25九上·辽宁朝阳建平县沙海中学·期中)如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连接，下列结论：①；②；③．正确的有 ． 【答案】①③#③① 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．证明，推出，可得，判断①；过点F作于点G，设，则，证，推出，求出和，判断②；计算出，，判断③ 【详解】解：∵E为中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； 如图，过点F作于点G， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即，， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故③正确； 故答案为：①③ 9．(23-24九上·辽宁沈阳·期中)如图，已知正方形的边长为3，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的周长为6；④的最小值为．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】由正方形的对角线平分一组对角可得，，可得和都是等腰直角三角形，于是，，便可得结论①③；只有当为90°，67.5°，45°时，才是等腰三角形，即可判断结论②；连接，四边形中由矩形的判定和性质可得，和中由全等三角形的判定和性质可得，由垂线段的性质可知时最小，当时在等腰直角三角形中求得即可判断结论④； 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，， 又∵于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴，即①正确； 中， 当时（此时点B、P重合），是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， ∵点P从点B移动到点D的过程中，逐渐从90°变化到0°，而只有当为90°，67.5°，45°时，才是等腰三角形， ∴不一定是等腰三角形，即②错误； ∵，于点E， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的周长， 故③正确， 如下图连接， ∵， ∴四边形是矩形， 由矩形的对角线相等可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由垂线段的性质可知当时，最小， 此时是等腰直角三角形，， ∴的最小值为， 故④错误； 综上所述①③正确， 故答案为：①③； 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质；掌握相关性质和判定方法是解题关键． 10．(23-24九上·辽宁鞍山·期中)如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④成立的有 ．（填写正确序号） 【答案】①②③ 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可得，由三角形中位线定理可判定②，证明，可判定①，根据勾股定理可以③，判定由平行四边形的面积公式可判定④． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分， ， ， ∵， 为等边三角形， ，， ， ， 又， ，， ∴， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ∴， ，故①正确； ，， 是的中位线， ，故②正确； ，，， ， ，故③正确； 是的中点， ， 是的中点， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键． 地 城 考点10 特殊平行四边形的动点图象问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁兴城第二初级中学等校·期中)如图，正方形是边长为6，点M从点A出发以的速度沿运动，动点N从点A出发以的速度沿向点D运动，两点均到达D点停止运动．设M点的运动时间是，的面积是，则能正确反映S关于x的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据正方形的边长与动点M、N的速度可知动点N始终在边上，而动点M可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论，分别得出S关于x的函数解析式，即可解答． 【详解】解：由题意可得，， ①时，M在边上，，则的面积， 即， ②时，M在边上，则的面积， 即， ③时，M在边上，，则的面积， 即， 综上所述，S关于x的函数解析式是， 由此可得到S关于x的函数图象是： 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的判断，正方形的性质，三角形的面积，涉及到有关动点的问题时，需要分类讨论． 2．(24-25九上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中)如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( ) A． B．C． D． 【答案】B 【分析】由点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，得到，则，再根据正方形的性质得，，然后根据“”可判断，所以，这样，于是，然后配方得到，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意，， 四边形为正方形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 与的函数图象为抛物线一部分，顶点为，自变量为． 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是掌握先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围． 3．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区盘锦育才学校·期中)如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心， ∴直线EO垂直BC， ∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t， ∴S=； 当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心， ∴直线OF∥BC， ∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t， ∴S=； 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 4．(23-24九上·辽宁盘锦兴隆台区第一完全中学·期中)如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）    A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2 【答案】C 【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30， 过点E作EH⊥BC，    由三角形面积公式得：y＝， 解得EH＝AB＝6， ∴BH=AE=8, 由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，    ∴ED=4, ∴BC=AD＝12， ∴矩形的面积为12×6＝72． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $