专题07 圆锥曲线解答题精选（7大考点70题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

专题07 圆锥曲线解答题精选 7大高频考点概览 考点01 弦长及应用 考点02 中点弦问题 考点03 定值问题 考点04 定点问题 考点05 定直线问题 考点06 最值与范围问题 考点07 存在性问题 地 城 考点01 弦长及应用 1．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)设为实数，已知方程表示椭圆. (1)求的取值范围； (2)若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程的特征直接构造不等式组即可求得结果； （2）由椭圆方程可得焦点坐标，将焦点横坐标代入椭圆方程可求得纵坐标，由此可得结果. 【详解】（1）表示椭圆，，解得：或， 即实数的取值范围为. （2）当时，椭圆方程为：，焦点坐标为， 将代入椭圆方程可得：，即，. 2．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可确定,进而可得抛物线准线方程及焦点坐标； （2）求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则抛物线准线方程为，焦点; （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立可得， 设，则, 故. 3．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到； （2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系. 【详解】（1）直线的方程为， 联立得， 设，则， 则；    （2）当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线的方程为， 与联立得， 设，则， 则， 故， 故. 4．(22-23高二上·江苏盐城滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校·期中)经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【答案】(1)30 (2)64 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解， （2）由双曲线的定义转化后求解． 【详解】（1）由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 （2）由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 5．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知双曲线经过点，且左焦点为. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作斜率为的弦，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据点在双曲线上及双曲线参数关系列方程求双曲线标准方程； （2）由题设，联立双曲线求得，结合双曲线定义求焦点三角形的周长. 【详解】（1）由题设且，可得，故； （2） 由（1）知，则直线， 联立双曲线，得，整理，可得或， 不妨令，则， 而，故，， 所以. 6．(24-25高二上·江苏盐城东台第一中学·期中)已知中心在原点的双曲线的两焦点之间的距离为，离心率为，直线经过双曲线在轴上的右焦点，且与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由离心率得出，进而由题意解出的值，确定焦点所在位置写出双曲线方程即可； （2）直曲联立解出一元二次方程，再利用弦长公式解出弦长即可. 【详解】（1）因为直线经过双曲线的右焦点，所以该双曲线的焦点在轴上．因为双曲线的两焦点之间的距离为，所以. 又因为离心率为，所以，解得，可得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）可知，该双曲线的渐近线方程为，所以直线的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等．又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左、右两支，因此不妨设直线的斜率为，则其方程为， 设， 联立消去得，         则有， . 7．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知椭圆的右焦点为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线经过且与椭圆交于两点，证明：当且仅当直线与圆相切时． 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）由题意得的值，求出的值，即可写出椭圆方程； （2）讨论直线斜率是否存在，斜率不存在时不合意义舍去；斜率存在时设出直线方程和直线与椭圆交点坐标，由弦长公式表示出的值.先讨论当时,直线是否与圆相切；在讨论当直线与圆相切时，是否成立. 【详解】（1）由题意可知，，∴，则 ∴椭圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，与圆不相切且此时； 当直线斜率存在时，设，即，联立，得， 设，， 则， 则 当时，则， 直线或， 此时圆心到的距离,或 ∴当时，直线与圆相切； 当直线与圆相切时，，解得，此时； 综上所述：当且仅当直线与圆相切时. 8．(24-25高二上·江苏南航苏附·期中)平面直角坐标系中，已知点，动点C满足条件：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)设过点B的直线l与曲线W交于两点，如果，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆的定义求解椭圆方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，直线与椭圆联立，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1），因为的周长为，所以， 所以点的轨迹满足椭圆的定义，，又因为，所以， 并且点不能在轴上，所以点的轨迹方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设，直线的方程为， 与椭圆方程联立得：， 所以， 由弦长公式得 解得， 所以的方程为或. 9．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知，是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解即可. 【详解】（1）已知，是椭圆上两点, 可得，解得：， 所以椭圆C的标准方程为； （2）设过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为， 与椭圆相交的交点坐标分别为， 此时交点弦长，不符合题意， 所以设过点的直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 则 ， 整理得：，即， 所以直线l的方程为或. 地 城 考点02 中点弦问题 10．(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中)已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点． (1)若是线段AB的中点，求直线l的方程； (2)若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称． 【答案】(1); (2)证明见解析. 【分析】（1）利用点差法，利用，，代入椭圆，然后相减整理即可得出斜率; （2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，只需证明即可. 【详解】（1）设，， 则两式相减，得， 即． 因为是线段AB的中点，所以，， 所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即． （2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称， 只需证，即证． 设直线AB的方程为， 由消x得， 所以，． 所以． 因为， 所以，即点A，D关于x轴对称．    11．(23-24高二上·江苏南通海安实验中学·期中)已知动点满足：. (1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； (2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1)椭圆，的方程是： (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为. 12．(23-24高二上·江苏响水县清源高级中学·期中)已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分． (1)求直线的一般式方程； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入双曲线方程相减，利用弦中点坐标可得直线斜率，从而得直线方程，检验直线与双曲线是否相交． （2）由韦达定理得，代入的坐标表示中计算即得． 【详解】（1）因为弦被点平分，所以 设交点坐标， 则， 两式相减得：）， 所以直线的斜率， 故直线的一般式方程为 联立椭圆与直线方程得，直线与双曲线相交，满足题意． 所以直线方程为， （2）由（1）知：， 由（1）得， ， 所以． 13．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程； （2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程． 【详解】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； （2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得, 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 14．(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求出方程. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，借助中点坐标求解. 【详解】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 15．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知双曲线与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； (3)若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程. （3）利用点差法求得直线的方程. 【详解】（1）椭圆，即， 所以，所以， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线，对应，所以渐近线方程为， 设过点的双曲线的标准方程为， 所以，所以. （3）设，则， 两式相减并化简得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 由， 消去并化简得，符合. 所以直线的方程为. 16．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； (3)设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率. 【答案】(1) (2) (3)离心率为或 【分析】（1）由题意，根据双曲线与双曲线有相同的渐近线，设出双曲线的方程，将点代入，进而即可求解； （2）设出，两点的坐标，根据线段的中点为以及，两点都在双曲线上，列出等式即可求出直线的斜率，再将代入即可求出直线的方程； （3）可设直线的方程为，由原点到直线的距离为得，结合可求得离心率. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 不妨设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点， 解得， 则所求双曲线的标准方程为； （2）不妨设,，,， 因为线段的中点为， 所以，， 因为，两点都在双曲线上， 所以， 可得， 即， 则， 所以直线的方程为，即， 联立，则，故直线与双曲线有两个交点， 从而可得直线方程为，即. （3）由题可设直线的方程为，即， 由原点到直线的距离为得，即， 两边同时除以得，整理得，解得或， 故双曲线的离心率为或. 17．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程； （2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由已知，，动点满足， 则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义， 即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线， 即轨迹方程为； （2）    ①设点，，中点， 则，， 又点，在曲线上， 则，作差可得， 即， 则； ②设直线， 联立直线与双曲线，得， 恒成立， 且，， 又，，， 则， 则，， 所以， 解得，， 即直线方程为， 即或. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 地 城 考点03 定值问题 18．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校·期中)已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据短轴的两个端点坐标，可求的值，再结合离心率公式和，可求的值，从而确定椭圆的标准方程. （2）根据题意，可设直线的方程，与椭圆方程联立，表示出点坐标，再表示出直线、的方程，求出点、坐标，利用可证. 【详解】（1）由题意可得，，，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 设直线的方程为：， 则过原点的直线且与直线平行的直线为， 因为是直线与的交点，所以， 因为直线的方程与椭圆方程联立： ，整理可得：， 可得，， 即，因为， 直线的方程为：， 联立，解得：，由题意可得， 所以，， 所以，即，所以. 19．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设动圆与椭圆E交于A，B，C，D四点．动圆与椭圆E交于，，，四点．若矩形ABCD与矩形的面积相等，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用焦点坐标以及离心率列出方程组，即可得出标准方程； （2）利用面积相等可求得坐标之间的关系，再由点在椭圆上代换出的表达式可得结果. 【详解】（1）由焦点坐标为可得， 离心率，可得， 解得， 所以椭圆. （2）设，矩形ABCD与矩形的面积相等 由对称性可得，即， 又因为A，均在椭圆上，满足， 所以，即， ， 故，为定值． 20．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式即可求解； （2）设，直线和直线的斜率分别为，结合韦达定理得到由其为定值即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，直线的方程可设为， 代入整理得， 设，则， 所以，， 因为线段中点的横坐标为2，所以①， 因为线段的长为6，所以②， 由①②解得， 所以抛物线的方程为. （2） 设，直线和直线的斜率分别为， 则 若为定值，由的任意性知，即，此时为原点， 所以存在定点，使得直线和直线的斜率之积为定值. 21．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知曲线，点. (1)当时，若直线过点且与曲线的右支交于M，N两点，记曲线的左、右顶点分别为，直线的斜率分别为，证明：为定值. (2)当时，不经过坐标原点且斜率为1的直线与曲线交于P，Q两点，直线PB与曲线的另一个交点为，直线QB与曲线的另一个交点为，其中G，H均不为曲线的顶点，证明：直线GH过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线过定点设出直线，联立，分别求出斜率，最后得到斜率的比值即可. （2）设直线的方程为，，，表示直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元求出，即可求出点坐标，同理得到点坐标，根据的斜率为得到，即可求出直线过定点坐标. 【详解】（1）根据题意曲线的方程为.易知，. 设，，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，消去x可得， ，且 又因为直线与的右支交于M，N两点，所以 所以 ， 即为定值. （2）根据题意，曲线方程， 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 则，直线的方程为， 将其代入得，，显然， 则，所以， 将代入直线的方程，解得， 所以，同理得， 所以，得， 即， 整理得，所以， 因此直线的方程为，令，即，则， 所以直线过定点.    【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 22．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)， (2)为定值，理由见解析 【分析】（1）将四点分别代入抛物线得到的值相同的两个点在抛物线上，从而得到抛物线方程，剩下两点代入椭圆中得到椭圆方程； （2）联立方程组，消元得到关于的二次方程，由两个交点纵坐标为方程的两根，找到根与系数的关系，代入代数式得到固定值，即可得到结论. 【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得，，，，∴，在抛物线上， 故抛物线方程为 故，为椭圆上的点 ∴解得 ∴椭圆C方程 （2）设，， 则∴∴ 为定值． 23．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，． (1)求A点的坐标； (2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可得的坐标. （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论. 【详解】（1）由抛物线定义知：，则，故， 又在抛物线上，则，可得，故. （2）设，，由（1）知：， 所以，，又，故， 所以， 因为的斜率不为零，故设直线， 联立，整理得，且， 所以，，则，， 综上，， 当时，过定点； 当时，过定点，即共线，不合题意； 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， 而中点为，即为定值，得证. 24．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知椭圆：右焦点是，动点在椭圆上，直线：. (1)若，为坐标原点，求以为直径的圆的方程； (2)若点到直线的距离为，求证：为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆方程求出右焦点坐标，设，根据点在椭圆上得到，利用点到直线的距离公式得到，将两个方程联立求出点坐标，进而求出以为直径的圆的方程； （2）根据已知条件得到，根据点在椭圆上以及点到直线的距离公式得到，进而得到为定值. 【详解】（1） 由椭圆：知，，则，右焦点， 设，则①， ②， ①②两式联立解得或（舍）， 当时，，所以或，则， 当时，以为直径的圆的圆心为，半径为， 则以为直径的圆的方程为； 当时，以为直径的圆的圆心为，半径为， 则以为直径的圆的方程为， 所以以为直径的圆的方程为或； （2）由（1）知， 点到直线的距离为，则， ， ， 为定值. 25．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，由已知，可得，，代入抛物线的方程，解得，即可得到抛物线的方程； （2）设点的坐标为，当时，得到直线的方程，联立抛物线的方程，消去，可得点的纵坐标，进而得直线的斜率为0，讨论当和时，可得直线的斜率均为0，即直线的斜率为定值. 【详解】（1）设点，由已知，所以， 又点到轴的距离为，即，即， 由点在抛物线上， 所以，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为； （2）设点的坐标为，    则直线的方程为，① 抛物线的准线方程为，② 联立①②，可解得点的纵坐标为， 由（1）知焦点， 当，即时，直线的方程为， 联立消去，可得， 即，可得点的纵坐标为， 与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0， 当时，点的纵坐标为， 直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为， 此时直线的斜率为0， 当时，同理可得直线的斜率为0， 综上，直线的斜率为定值0. 26．(24-25高二上·江苏南京·期中)已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)直线平行于直线AB，且与交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)①或.②,证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆以及离心率之间的关系求解； （2）①利用矩形的面积公式可得，再利用直线被椭圆截得的弦长公式，结合韦达定理可求解； ②利用韦达定理得，进而可得，即可证明. 【详解】（1）由题意得，,所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①由（1）知，,即， 设， 联立，消去整理得，， 由相交得，，即，解得， 由韦达定理得，， 因为，所以矩形中即为两平行线间的距离， 因为，即，， 所以， 又由题意得，, 所以,即， 此时， 所以，化简得，解得或， 所以直线或. ②因为，所以，则有， 由韦达定理， （此处，因为点在椭圆上，所以） 所以，进而， 此时有，， 所以. 27．(24-25高二上·江苏扬州新华中学·期中)已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设有，即可得抛物线方程； （2）讨论斜率存在性，并设联立抛物线，利用求参数，即可得直线方程； （3）令为，，联立抛物线并应用韦达定理化简，即可证. 【详解】（1）由题设知， 则； （2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. （3）由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，显然，所以，， 而，， 所以， 所以为定值． 28．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值为 【分析】（1）根据双曲线的定义求出，即可求出双曲线的方程； （2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D坐标，最后利用向量的坐标运算求出即可； （3）法一：设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可； 法二：按照直线的斜率不存在和存在分类讨论，斜率存在时，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； （2）因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则， 由得，解得； （3）如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为； 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到， 而， 由韦达定理得， 所以 ， 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 29．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. (1)求椭圆的方程； (2)设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； (3)求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程； （2）根据切线性质解得点到直线的距离公式整理可得，结合韦达定理分析证明； （3）联立方程求点的坐标，进而可得直线的方程，结合方程分析定点. 【详解】（1）因为 椭圆的上顶点为，离心率为 则 解得， 所以椭圆的方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 设切线方程为，则 ，即 因为两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值. （3）联立方程 ，消掉得， 设，则， 同理可得 ， 则， 可得直线方程为， 令，得， 所以故直线过定点. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 30．(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线斜率不为零，设直线的方程为，设点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值；②利用韦达定理，化简，可得定值. 【详解】（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2） ①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. ②由， 所以， ， 即为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 31．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程； (3)若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且定值为 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）求出直线的方程，设点，其中，利用点到直线的距离公式，辅助角公式可求得点到直线距离的最大值及其对应的的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程； （3）设直线与椭圆相切于点，则，先证明椭圆在点处的切线方程为，可得出直线的一个法向量，再利用投影的概念可求得点、在直线上的投影数量的乘积，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）易知点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 若的面积最大，则点到直线的距离取最大值， 设点，其中， 则点到直线的距离为， 因为，则， 故当时，即当时，取最大值，此时点， 所以，直线的斜率为，则直线的方程为， 故当的面积最大时，直线的方程为. （3）若直线的方程为，则该直线的斜率为，该直线的一个方向向量为， 该直线的一个法向量为， 设直线与椭圆相切于点，则， 首先证明椭圆在点处的切线方程为， 联立可得，解得， 所以，椭圆在点处的切线方程为，即， 所以，直线的一个法向量为， ，， 所以，点在直线上的投影为， 点在直线上的投影为， 所以，点、在直线上的投影数量的乘积为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 32．(24-25高二上·江苏盐城中学·期中)定义：设椭圆，我们称以坐标原点为圆心，，的调和平均数一半的算术平方根，即为半径的圆为该椭圆的“调和圆”.已知椭圆，其“调和圆”为圆；直线. (1)求圆的标准方程； (2)若直线为圆的任意一条切线，且与椭圆交于，两点，求证：为定值； (3)设，是椭圆上的两个动点，且，过点作直线的垂线，为垂足，求点到直线距离的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）由调和圆的定义，结合椭圆方程的参数写出调和圆的方程； （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：斜率不存在时，直接求出交点坐标，求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求； （3）设，讨论直线与有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可得点在定圆上，根据圆的性质求解. 【详解】（1）由椭圆，知，，， 所以调和圆的标准方程为. （2）设，，则， 当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得， ， 若，同理可得， 当直线的斜率存在时，设， 由，得， ，又是圆的切线， ，即，则，， ， ，即， 综上，恒成立. （3）设，由，则， 直线与，有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况. 若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有，. ，，， 由，解得， 若直线与的斜率都存在，设，则. 由，解得，则， 同理，可得， ， 由，解得， 因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上. 该定圆的方程为. 圆心到直线的距离为，即点的轨迹圆与直线相离， 所以点到直线的距离取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是抓住直线与，有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论，利用三角形等面积法求出，得到点的轨迹为定圆. 地 城 考点04 定点问题 33．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点. (1)当直线的倾斜角为时，求； (2)设为坐标原点，直线，分别与直线交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为和. 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，再利用弦长公式求解； （2）设直线，与抛物线方程联立，由，得到，同理得到，设圆上任意一点为，由，结合韦达定理得到圆的方程求解. 【详解】（1）解：设直线的方程为， 联立，可得， 设，，则， 所以. （2）证明：设直线， 联立，得， 所以，， 又，， 所以， 同理可得， 设圆上任意一点为， 则由可得，圆的方程为， 整理得， 令，可得或， 所以为直径的圆过定点，定点坐标为和. 34．(24-25高二上·江苏邗江中学·期中)已知抛物线经过点，焦点为，过作两条直线与抛物线交于四点，其中在第一象限，且在的左侧． (1)求的方程； (2)若直线与轴交于点，求直线与轴的交点坐标； (3)设直线与的斜率分别为，若，试问：直线是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点，且定点为 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据点斜式求解直线方程，令，求解直线与轴交点，，,即可代入化简求解， （3）根据两点斜率公式可得，即可根据点斜式求解直线方程，进而代入化简即可得直线方程为，进而可求解定点. 【详解】（1）将代入可得，解得， 故 （2）设直线， 联立与可得， 设,， 故，同理可得， 故直线，令可得， 同理可得与轴的交点横坐标, 由于， 故，同理可得， 由于，故，所以， 故直线与轴的交点坐标为 （3）由题意可得， 由于， 故故，进而， 直线，即， 由于， 故直线， 故直线恒过点    【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 35．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)已知动点到轴的距离为为坐标原点，且，其中均为常数，动点的轨迹称为（）曲线． (1)判断 曲线为何种圆锥曲线． (2)当应满足什么条件时，（）曲线为双曲线？ (3)设曲线为曲线，斜率为的直线过曲线的右焦点，且与交于两个不同的点．若点关于轴的对称点为，试证明直线过定点． 【答案】(1)椭圆 (2)且 (3)证明见详解 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）先根据为曲线可得曲线的方程，设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标. 【详解】（1）设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. （2）由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且，曲线为双曲线. （3）由，，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立，得. 设，则， 因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 . 当且时， ， 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用. 36．(24-25高二上·江苏盐城中学·期中)已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设双曲线方程为，双曲线右焦点为，列方程组即可求解； （2）设，则将直线和双曲线联立可求得关于的方程，根据韦达定理可求得，可解出，，，用两点式表达出直线的方程，将已知代入即可求解. 【详解】（1）由题意可设双曲线方程为，双曲线右焦点为， 双曲线过点，且焦点到渐近线的距离为1， 根据题意可知渐近线方程为， 根据右焦点为到直线距离， 又因点在双曲线上，所以代入可得，解之可得， 故双曲线方程为. （2）设，则， 将直线与双曲线联立可得，消去可得 根据韦达定理可知，， 所以， 则， ，所以 解之可得， 直线方程为， 将已知代入， 化简可得，所以直线过定点，定点为. 37．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)若动点到点的距离比它到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案. （2）先求得点坐标，然后根据直线平行求得点坐标，再根据直线的方程求得定点坐标. 【详解】（1）依题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离， 所以的轨迹是抛物线，且，所以轨迹的方程为. （2）设，则，由于在轴的正半轴， 所以，则，， 设，的方程为， 由，消去得， ，由， ，解得，则， 所以直线的方程为， 整理得，所以直线过定点. 【点睛】思路点睛：通过抛物线定义求轨迹：首先利用动点的轨迹符合抛物线的定义，结合焦点和准线，求解轨迹的方程,这是确保解题正确的基础. 利用直线相交条件确定定点：通过设定直线与轨迹有且仅有一个公共点的条件，结合消去法，确定直线过定点并求定点坐标. 38．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知点在椭圆上，右准线方程为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点. (1)求以为直径圆的方程； (2)以椭圆上、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，再过点作的垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，定点坐标 【分析】（1）根据准线方程可知，结合点在椭圆上，可得椭圆方程，进而可得圆心与半径，可得圆的方程； （2）易知直线斜率存在且不为，则设直线，联立直线与椭圆，根据中点及韦达定理可得，再令，可得点坐标，进而可得直线，及直线恒过定点. 【详解】（1）由已知椭圆的右准线为，即，则， 则椭圆方程为， 又椭圆过点， 则， 解得， 则，， 椭圆，， 令，解得，即， 又以为直径圆圆心为， 所以圆的方程为； （2） 易知直线斜率存在且不为， 则设直线，，， 联立直线与椭圆，得， 则， 即， 且， 又、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上， 即，中点在直线上， 即，化简可得， 直线方程为， 令，则，即， 所以直线，即， 即直线恒过定点. 【点睛】方法点睛： 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 39．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标； (3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或. (3)或 【分析】（1）根据关系得到方程组，解出即可； （2）写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线的方程，联立双曲线方程解出即可； （3）设设的方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出相关直线方程，得到相关点坐标，写出两点直径式，代入韦达定理式即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）渐近线方程为， 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得. 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得， 所以直线与双曲线的交点坐标为或. （3）因为双曲线的渐近线方程为：， 显然当直线与轴重合时，不合题意，故设的方程为，，， 直线的方程为：， 当时，，即P点坐标为， 直线的方程为：， 当时，，即点坐标为， 所以以为直径的圆方程为：， 当时， 联立，消去得，其中， ，且， 所以，. ， 所以， 所以或. 所以轴上存在定点或始终在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法并与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出两点直径式方程，并代入韦达定理式即可. 40．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知，，动点P满足直线与直线的斜率之积，动点P的轨迹形成曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设点（t为常数且），求线段PT长度的最大值； (3)经过点的两条直线，，直线与曲线C相交于A，M两点，直线与曲线C相交于B，N两点，若直线AB过定点，证明：直线MN恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)过定点，证明见详解. 【分析】（1）写出斜率化简可以得到方程，注意点不能与，点重合； （2）直接写出点到点距离，消元后配方即可； （3）先用特殊位置求出点，然后证明直线过定点即可. 【详解】（1）设点，由题意，化简得到，点不能与或重合， 故曲线的方程为. （2）设点坐标为，根据两点间距离公式写出， 又点在椭圆上，，消去得： , 在椭圆中，可以得到当时，， 当时，； 综上，； （3）直线过点. 如示意图，可先选择特殊位置，将点放置到位置，此时与关于轴对称， 直线方程分别为， 可以连接，得到直线，求出与交于点. 设，，，，设的中点， 将，两点代入椭圆，做差可得，整理得：. ，点是线段中点，则，代入 可得：，整理后可以得到所在曲线的方程为：. 注意到对于两端点在椭圆上的线段，设其中点为，则线段所在直线斜率存在时，都有. 同理，可设，的中点，，用同样方法可以得到和所在的曲线方程. 注意到在靠近点的四等分点处，的中点所在曲线为过和交点的曲线， 由曲线系的方法，，根据曲线关联的点的坐标之间的关系，， 可得，. 假设直线所过的定点为，计算用点和两点表示的斜率，并与点的坐标相乘得到： ，化简得到，可知线段满足两端点在椭圆上，与假设结果相符. 综上，直线过定点. 【点睛】此题第1小问易错点在于忽略点的范围，第2小问需要注意分类讨论，第3小问采用先猜测再证明的方式可以减小计算量. 地 城 考点05 定直线问题 41．(23-24高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知圆点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和线段相交于点．    (1)求动点的轨迹的方程； (2)设曲线与轴的两个交点分别为、（其中点在点的左侧），过且斜率不为的直线交曲线于、两点，直线、交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义分析可知，曲线是以、为焦点，长轴长为的椭圆，求出、的值，即可得出曲线的方程； （2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，曲线是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 设曲线的方程为，则，， 又因为，则， 因此，曲线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，设点、， 易知点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， ，，    所以，直线的方程为，直线的方程为， 由 可得， 解得，故点在直线. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 42．(23-24高二上·江苏徐州铜山区·调研)已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可. （2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）证明：如图所示， 由题意知，，， 由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，， ， 联立， ， 则，， 又因为过点T的直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内， 所以，，，， 所以，即，解得， 设直线方程为， 直线方程为， 联立， 即， 又， 所以， 所以点Q在直线上. 43．(23-24高二上·江苏常州高级中学·期中)已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，实轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)设A，分别是双曲线的上，下顶点，是下焦点，过点的直线与曲线交于，两点，直线与相交于，求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据渐近线方程和实轴长列方程可解； （2）设，写出直线，的方程，求点纵坐标，利用韦达定理化简即可得证. 【详解】（1）由题可知，，所以， 因为双曲线的焦点在y轴上，且一条渐近线为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由图可知，直线MN斜率存在，设方程为，， 易知，， 联立消去y得， ，， 因为， 所以直线方程为①，直线的方程为②， 联立①②消去x得， 将代入上式整理得， 即， 所以， 整理得，所以，即点Q在定直线.    44．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）令，联立抛物线并应用韦达定理求得、，写出线段的中点坐标，即可得轨迹方程； （2）令，，同（1）求得，，根据点在抛物线上、点差法求得， 写出直线并求坐标，应用两点式并假设推出矛盾，即可证结论. 【详解】（1）由题意，令，联立抛物线得， 若，则，， 所以， 而线段的中点坐标为， 所以中点的轨迹方程. （2）令，，同（1）可得，， 由且，则，即， 可设，令，则，即， 所以，， 若，即， 所以 所以， ， ，显然与矛盾， 综上，不成立，故，即，，在同一条直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法求得，进而求得，再应用两点式并假设推出矛盾为关键. 45．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)设a为实数，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． ①求斜率k的取值范围； ②证明：点H恒在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）由点在双曲线上，代入解出即可； （2）①设出直线方程，直曲联立，消去，利用方程有两个正根，得到判别式大于零，两根之和和积大于零求出取值范围即可； ②设，表示出韦达定理，由题中线段长度的关系得到，再结合韦达定理化简，求出定直线即可； 【详解】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得， 即，解得，则双曲线C的方程为； （2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即， 联立，消去y并整理得， 设，， 因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点M，N， 所以关于x的方程有两个不同的正数根，， ， 解得，则斜率k的取值范围为； （ⅱ）设， 由（ⅰ）得，， 因为，，， 又P，M，N，H在同一直线l上，所以，， 由得，即， 化简得，所以， 整理得，解得，即 又点在直线上，所以 即，整理得，故点H恒在定直线上．    【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键在于结合一元二次方程的性质求出；第二问关键在于利用韦达定理结合题中线段比例关系，将所在直线表示为的直线方程. 地 城 考点06 最值与范围问题 46．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，设点，，其中，， ①若，求直线斜率的取值范围； ②过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴交于点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析，定点 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①由知道直线过定点，设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，又因为，，所以两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围； ②设直线方程和垂足的坐标，联立方程组并消元得到一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标与参数的等式，由建立方程整理求解得到，由此得到直线定点. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）①因为，，所以直线的斜率存在， 因为，所以直线过点. 设直线为， 由消去得，， 则有，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②设直线，， 由消去得，，， ， 因为直线与轴交于点， 所以，即，即， 即， 所以， 所以， 即， 即， 所以，所以直线为， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛，直线与圆锥曲线交点问题，一般采用联立方程组，借助韦达定理得到点的坐标和所设参数的关系，再由条件建立相应的等式或不等式，即可求出范围或者参数之间的关系，从而解决求范围问题或者定点定值问题. 47．(24-25高二上·江苏盐城射阳县陈洋中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【详解】（1）椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 即椭圆C的标准方程为 （2）①直线过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去y得： 设两交点，则有 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ; ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：由 且， 解得 设两交点， AB中点，则有 所以 即  整理得 又因为 所以 当且仅当时，所以， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 48．(24-25高二上·江苏横林高级中学·期中)已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值； (2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倾斜角计算出斜率，由此可求的值； （2）联立直线与渐近线方程，得到的坐标并表示出，由求得结果； （3）设出以及的中点的坐标，通过点差法得到的坐标与的关系，结合在双曲线的右支内部以及在直线上求解出的范围. 【详解】（1）因为渐近线的倾斜角为，所以， 所以. （2）由题意可知直线的斜率存在，设，由（1）可知渐近线方程为， 联立，可得，不妨取，所以， 同理可得，所以， 所以，解得， 所以. （3）设，的中点为， 由题意可知的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以， 联立，可得，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以， 联立，可得，所以， 将代入双曲线方程中，可得，因为在双曲线的右支内部，所以， 又因为，所以，所以， 即. 49．(24-25高二上·江苏扬州中学·期中)已知，是抛物线：上的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由点在曲线上，建立方程组解出对应参数值，得到抛物线方程； （2）由（1）写出直线方程，联立方程组，用韦达定理建立关系式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）∵，是抛物线C：上的两点， ∴，则，整理得，解得，    当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，故抛物线C方程为； （2）由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为， 联立，得，必有， 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．    50．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 51．(24-25高二上·江苏南京·期中)已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2． (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且与圆交于A，B两点，， ①求的方程和的值； ②若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值. 【答案】(1) (2)①或；②动圆圆心到点距离的最小值为. 【分析】（1）根据圆的切线长公式求解即可； （2）①利用直线被圆截得的弦长公式可求的方程，再根据向量的数量积公式结合余弦定理可求的值；②利用双曲线的定义，确定动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，再利用两点间的距离公式求解. 【详解】（1）    过点作圆的切线，设切点为,连接， 因为, 所以, 所以圆. （2）显然, 直线的斜率存在，设直线的方程为， 设圆心到直线的距离为， 所以，解得， 又因为，整理得，， 解得或， 所以的方程为或； 在中，, 所以. 设动圆的半径为，则由题意可得， , 所以， 所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支， 则有， 所以双曲线方程为， 设动点，则有，所以， 所以， 由二次函数的性质可知，当时， 有最小值，最小值为， 所以，此时. 52．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.点为椭圆的左顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于另外一点，求的坐标； (3)点，点为椭圆上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）先求得直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，从而求得点的坐标. （3）设，利用两点间的距离公式表示，根据二次函数的性质求得的最小值. 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆方程为. （2），直线的方程为， 由解得或，则. （3）设是椭圆上任意一点，则， ， ， 由于，所以当时， 取得最小值为.    【点睛】方法点睛： 椭圆方程的确定：通过椭圆的离心率来推导其标准方程，是解题的重要步骤，利用椭圆的几何性质（如顶点和离心率）是求解方程的核心方法. 联立方程求解交点：在求直线与椭圆的交点时，通过联立方程并求解，是解决此类问题的常用手段. 距离公式与二次函数最值：通过两点间的距离公式建立关系，并利用二次函数的性质来求得最小值，是求解最小距离问题的有效方法. 53．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 54．(24-25高二上·江苏扬州第一中学·期中)已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成，可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 55．(24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【详解】（1）设的半焦距为， 由已知，得，解得， 故的方程为. （2）    由题可设. 将代入，消去，得. 当，即时，有. 所以 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为， 此时直线的方程为或. 56．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知椭圆的焦距为，离心率为，，为的左，右焦点，，是椭圆上的两点． (1)求的方程； (2)若，两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点，，，所构成的四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】（1）根据已知条件求出即可求解； （2）①设关于原点的对称点为，直线，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解即可；②根据，将四边形的面积转化为的面积，再利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由已知得，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为； （2） ①设关于原点的对称点为，则四边形为平行四边形，所以， 因为两点都在轴上方，且，， 所以， ，设直线， 由，消去得， ， 设，，则，， 因为，即，所以， 由，得， 代入，得，解得， ， 所以， ， 所以； ②由①知，且，所以， 所以， 令，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以当时，，所以，此时， 所以四个点，，，所构成的四边形面积的最大值为3. 57．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知拋物线的焦点，直线， (1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）； (2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而有，再利用，得到点在轴正半轴或轴负半轴上，再利用相似比，即可求解； （2）设切线的方程为，联立抛物线方程求得，得到直线和的方程为，进而得到的方程为，再联立抛物线方程，得到，进而求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线， 由题知，由，得到，所以， 在中，，， 则，又，所以， 因为，且点与点对应，点与点对应，所以， 如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上， 又因为，，得到， 所以点的坐标为或. （2）设，则，， 再设切线的方程为， 联立方程组，整理得， 由，且，可得， 则切线的方程为，即. 由切线过点，可得. 同理，切线的方程为， 由切线过点，可得， 则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 则 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤平面向量；⑥导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 58．(24-25高二上·江苏徐州·期中)已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点． ①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点； ②求的最小值（为坐标原点）． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得； （2）（i）设，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由 （i ）求出，，再计算可得为定值，即可结合基本不等式求解. 【详解】（1）为PA的垂直平分线上一点，则， 则， 点的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且， 故点的轨迹方程为； （2）（i）设，直线是双曲线的渐近线，如图所示： 则：①．②， ①+②得，，①-②得，， 则，得， 由题可知，则， 得，即， 直线ST的方程为，即， 又点在曲线上，则，得， 将方程联立，得， 得， 由，可知方程有且仅有一个解， 故直线与曲线有且仅有一个交点； （ii）由（i）联立，可得， 同理可得，，则，同理， 所以， 故， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 59．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若，求线段OM的长度； ②求点到直线OM的距离的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由焦距求，代入点的坐标联立方程求解可得； （2）①设直线AB的方程为，将条件转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数的方程，求解可得；②由韦达定理用分别表示弦中点坐标与，利用面积关系得关于的函数关系，再求函数最值可得. 【详解】（1）由题知，，即，， 由点在椭圆上，代入椭圆方程得， ，解得，则， 故椭圆的标准方程为：. （2）①由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点， 所以可设直线AB的方程为，并设， 由得. 则，，. 因为，则，即， 即 ， 解得，. 由， 所以AB的中点为， 即点，所以；      ②由①可知AB的中点为， 则，且直线OM的斜率为， 所以直线OM的方程为. 设点A到直线的距离为， 因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为， 又因为 ， 由知，， 所以， 解得， 由，令， 则，由在单调递增， 得，即当时，. 即点到直线OM的距离的最小值为.    【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三角形面积之和，从而简化运算. 60．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，过分别作的两条弦，直线的交点记为，其中点位于轴上方.记四边形的面积为，周长为. (1)当点在以为直径的圆上运动时，求的最小值； (2)当点在曲线上运动时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）法一：设直线的方程，与椭圆方程求解，同理求出，由运用基本不等式求出最值； 法二：（以上同法一）由，运用基本不等式求出最小值，进而求得的最小值. (2) 直线的斜率都存在，记为,可得，分别求得，，进而 求得，将四边形的周长运用放缩法可证出结论. 【详解】（1）解：法一：当点在以为直径的圆上运动时， 由题意，直线的斜率都存在， 设直线的斜率为，则直线的斜率为. 将直线的方程代入， 化简整理得. 设，则， 所以. 同理. 因为， 所以， 当且仅当，即时，四边形的面积取最小值 法二：（以上同法一）由得 所以，则， 当且仅当，即时，四边形的面积取最小值. （2）解：曲线是长轴顶点分别为的椭圆， 由题意，直线的斜率都存在，记为， 设，则，可得. 因为坐标分别为， 所以 将直线的方程代入，整理得， 同（1）得，同理， 所以 ， 所以 ， ， 综上得. 【点睛】难点点睛：解答此类直线和圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，难点在于计算的复杂性以及计算量大，并且基本都是字母参数的运算，十分繁琐，计算时要十分细心. 61．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，D为线段AC的中点，直线OD与椭圆E交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方． (1)设直线CQ，AQ分别与直线MN交于点E，F，且满足，求点C的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为可得，再由椭圆的对称性可得，可证明四边形是平行四边形，所以，则，即，将其代入椭圆的方程即可求出点C的坐标； （2）设点，得到，设直线的方程为，联立方程组求得，同理得到，方法1、求得，令，利用二次函数的图象与性质，求得，结合，即可求解；方法2、求得，利用基本不等式求得，进而求得的最大值. 【详解】（1）因为，所以，又因为， 所以与的相似比为， 又因为分别为与的中线， 所以，所以， 由椭圆的对称性可知，，所以，所以， 所以为的中点，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，设，由椭圆的对称性知，， ，由四边形的性质可得， 所以，所以， 将代入可得，则， 所以点C的坐标为. （2）解：设点，由，可得， 则, 可得， 又由直线的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为， 由，解得，则， 因为，可得，同理可得， 方法1： 由题可得， 令，则，可得， 当时，即时，取等号，即 又因为，所以的最大值为. 方法2 ：由题可知， 所以，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以的最大值为. 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 62．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)，为椭圆上两个不同的点，且， ①求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点坐标为；②. 【分析】（1）根据离心率和关系得到方程，解出即可； （2）①先考虑斜率不存在的情况，再采用设线法，设，再将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，代入向量表达式化简即可； ②根据①中结论得在以为直径的圆上，则得到最值情况. 【详解】（1）由题意知，故，即， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为:. （2）①设，， ， (i)当直线斜率不存在时，设， 联立得， ， 解得(舍)或，此时. (ii)当直线斜率存在时，设， 联立得， . 又， ， 整理得， 将代入整理得， ， 或， 当时，，过点，不成立； 当时，，则过定点， 综上所述，过定点.    ②过定点， ，即在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再将向量式化简整理，最后代入韦达定理式即可. 63．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·月考)椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点；② 【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可； （2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可；②结合定点列出面积再换元得出面积的最大值. 【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为， 所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆过点， ∴， ∴，， ∴椭圆的标准方程为. （2）设直线：（）， 由，得， 设，，所以，， 所以 ， 因为直线和的斜率互为相反数， 所以，所以， 所以， 所以. 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点 ②由①知，， 且，即， 又 令，则， ∴ （当且仅当时取“＝”） ∴. 【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值. 64．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)已知椭圆经过点和. (1)求的标准方程； (2)点，在上，且直线过的右焦点，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，直线与直线相交于点. ①求点的横坐标； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】（1）将点的坐标代入进去可求得结果； （2）①设直线的方程，联立方程，利用一元二次方程根与系数的关系得到之间的关系，再结合直线方程得到结果；②根据①中之间的关系得到三角形的面积表达式，再根据基本不等式可求得结果. 【详解】（1）将点和代入可得， 解得，， 即的标准方程为； （2）    ①由（1）知的右焦点为， 可设直线的方程为，， 设，，则，， 联立， 整理可得：， 可得，， 直线的方程为，的方程为， 联立， 两式相减可得，可得 ， 即点的横坐标为3； ②由①可得， 因为，可得， 所以， 所以， ， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，取等号， 即的面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的定义及性质，解题的关键是找到直线与椭圆相交的两点之间的关系，根据三角形面积公式将纵坐标之间的关系代入进去再结合基本不等式可求出结果，注意运用基本不等式时一定要注意“一正二定三相等”. 65．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.    ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的方程. （2）①设出直线的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值. ②先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础. 结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法. 利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围. 66．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据条件确定的值及双曲线经过点，可求双曲线的标准方程. （2）先根据直线与圆线切和与直线垂直，求出直线的方程，代入双曲线方程，可求，利用求弦长. （3）求出弦长和点坐标，再结合直线斜率的取值范围确定的最小值. 【详解】（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：， 又根据题意，双曲线过点，所以， 所以双曲线的标准方程为：. （2）如图： 因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线的方程为：，即， 由， 不妨令，则直线的方程为：， 代入得：， 整理得：， 设，，则，， 所以， 所以， 若，亦可得， 综上：. （3）设直线的方程为，由， 不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，， 则，因为， 所以，， 将代入双曲线可得：， 整理得：， 设，，则，， 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问中，可设直线方程为，关键在于确定的取值范围.可由，结合圆和双曲线的对称性，可设点在第二象限，可得直线斜率的取值范围，再结合，即可得直线的斜率的取值范围. 地 城 考点07 存在性问题 67．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比． (1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程． (2)已知椭圆，椭圆与椭圆的相似比为． ①若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求的取值范围； ②过点作斜率不为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（在的上方）．是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）利用相似性质，可知两椭圆离心率相等，即可求解； （2）①利用直线与椭圆联立方程组来求解弦长，通过讨论斜率是否存在来补全取值范围；②根据斜率是否存在分类讨论，通过联立直线与椭圆方程说明的中点也是的中点，然后将转化为的数量关系，借助弦长公式完成计算. 【详解】（1）由题意可知，“特征三角形”是等腰三角形，且腰长为，底边长为， 那么相似比就是两个“特征三角形”的长半轴长之比或者是焦距之比， 从而特征三角形相似的两椭圆的离心率是相等的. 由椭圆的离心率为， 可知过点，且与椭圆相似的椭圆方程的离心率也为， 可设所求椭圆为，代点得：， 再由，所以， 联立上两式解得：， 所以所求椭圆方程为：. （2）①由椭圆与椭圆的相似比为，可知两椭圆的长半轴之比也为，短半轴之比也为， 再由椭圆，所以椭圆， 当直线的斜率不存在时，又与椭圆相切，则切线方程为， 取直线，可得与椭圆的交点坐标为 此时有， 再当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， 则与椭圆联立消得：， 整理得：， 由直线与椭圆相切，可得：，整理得， 再由直线的方程为，与椭圆联立消得：， 整理得， 由， 再把代入得：， 可设交点，则有， 所以 再把代入得： ， 由于，所以，即， 综上可得：； ②假设直线存在； 当的斜率不存在时，， 由解得，由解得， 所以， 所以， 所以， 显然； 当的斜率存在时，，设， 联立，可得， 所以， 联立，可得， 所以， 所以，即中点的横坐标相同， 又因为四点共线，所以的中点即为的中点， 因为，所以， 所以， 因为 ， ， 所以， 所以，解得，符合条件， 所以存在直线满足条件. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的第二小问的关键点有两个，一方面是说明中点相同，借助这一条件可对向量关系式进行转化；另一方面是弦长计算，计算量较大，通过联立以及弦长公式表示出. 68．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为. (1)若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； (2)若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线的方程和双曲线的方程，利用根与系数关系求得线段的长. （2）根据对称性进行转化，设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】（1）由消去并化简得， 设，则， 所以. （2）依题意，双曲线上存在两点，，满足， 设直线与双曲线的另一个交点为，根据对称性可知， 双曲线对应， 则，依题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由消去并化简得， 则， 即. 设，则①，②， 由得， 所以③， 由①③解得，代入②得： ，由于， 所以，整理得，解得. 【点睛】思路点睛： 联立方程求解交点：首先通过联立直线和双曲线方程，利用代数方法求解交点的位置，这一步是解答线段长度和直线斜率问题的基础. 结合对称性分析直线斜率：通过设定双曲线上存在的对称点，结合对称性推导出直线的斜率，从而确定直线方程的具体形式. 69．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知椭圆（）的短轴长与焦距相等，且椭圆过点，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点，且与椭圆交于A，B两点，M是线段AB的中点，射线OM与椭圆于点C. (1)求椭圆方程； (2)若直线，求点C的坐标； (3)是否存在正数k，使四边形OACB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由椭圆的性质结合点在椭圆上代入可得； （2）直曲联立，由韦达定理和中点坐标公式得到点坐标，再直曲联立，解出交点坐标即可； （3）设，直曲联立，由韦达定理得到，再由四边形OACB是平行四边形，得到点坐标，然后代入椭圆方程解出即可； 【详解】（1）由椭圆的短轴长与焦距相等可得，所以 又圆过点，所以，解得， 所以椭圆方程为， （2）    由（1）可得， 因为，所以， 联立曲线方程消去可得，化简可得， ， 设， 所以，， 由中点坐标公式可得， 所以， 联立，解得. （3）    由题意可得，设， 设存在正数k，使四边形OACB是平行四边形，则， 联立，消去可得， ， ， ， 因为，所以， 由点在椭圆上，所以， 化简可得，即， 由，所以 所以存在正数k，使四边形OACB是平行四边形，直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是利用向量平行四边形的加法法则得到点坐标，再代入椭圆方程求解. 70．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． (1)若，求曲线H的方程； (2)若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由； (3)若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 【答案】(1) (2)存在使得取得最小值4，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）把点满足的条件用坐标表示出来，整理化简即可； （2）把点满足的条件用坐标表示出来整理可得的方程，利用两点表示斜率公式求出，进而，结合基本不等式计算即可求解； （3）由（2）得曲线：，设，求出点的坐标，进而可得的坐标，代入双曲线方程，求出的关系，联立双曲线方程，整理化简可得一元二次方程，利用即可证明. 【详解】（1）当时，定直线：，比值为：. 设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为， 即， 两边平方，整理得：，即为曲线的方程. （2）因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）， 所以，整理得， 即，即为曲线的方程. 设，则， ， 得， 当且仅当即时，等号成立， 所以存在使得取得最小值4. （3）由（2）知，当时，曲线：，双曲线的渐近线方程为：， 如图： 设，则，解得， 即，所以， 代入双曲线方程，得， 整理得，即， 解得或. 当时，，若，则， ，消去得，方程有唯一的解， 同理，若，得，方程有唯一的解， 故直线与曲线H有且仅有一个公共点； 当时，，消去得， ，方程有唯一的解， 故直线与曲线H有且仅有一个公共点. 综上，直线与曲线H有且仅有一个公共点. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆锥曲线解答题精选 ☆7大高频烤点概览 考点01弦长及应用 考点02中点弦问题 考点03定值问题 考点04定点问题 考点05定直线问题 考点06最值与范围问题 考点07存在性问题 目目 考点01 弦长及应用 1.(2425高二上江苏宿迁沭阳县期中)设m为实数，已知方程，：+， =1表示椭圆 5-m1+m (1)求m的取值范围； (2)若m=1,过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于A,B两点，求AB的长 2.(24-25高二上江苏泰州兴化文正实验学校期中)倾斜角为60°的直线1过抛物线C:y2=4x的焦点，且与 C交于A,B两点 (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长|AB 3.(24-25高二上江苏南通海安高级中学期中)在平面直角坐标系x0y中，过点T(3,0)的直线1与抛物线 C:y2=3x相交于点A,B (1)若直线1的斜率为1，求AB: (2)求证：0A⊥0B 4.(22-23高二上江苏盐城滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校期中)经过双曲线x2-上 =1的左焦 3 点F作斜率为2的弦AB,求： (1)线段AB的长： (2)设点F为右焦点，求△F,AB的周长 / 函学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5.2425商三上江苏常州联盟学校期刊已双曲线C:若茶=1a>06>0经过点47小，且无长点为 F-3,0) (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F作斜率为√7的弦AB,求△F,AB的周长 6.(24-25高二上江苏盐城东台第一中学期中)已知中心在原点的双曲线C的两焦点之间的距离为4，离心 率为2，直线I经过双曲线C在x轴上的右焦点，且与双曲线C相交于AB两点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线1与该双曲线的渐近线垂直，求线段AB的长度. 7.(24-25高二上江苏南通启东等2地期中)已知椭圆C:x 。3+3=1a>b>0的右焦点为F(W2,0),且离心 案为6 3 (1)求椭圆C的方程； (2)直线1经过F且与椭圆C交于M,N两点，证明：当且仅当直线1与圆x2+y2=b2相切时MW=√3 8.(24-25高二上江苏南航苏附期中)平面直角坐标系x0y中，已知点A(-1,0),B(1,0),动点C满足条件： ABC的周长为2+2√2，记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2设过点B的直线1与曲线交于M,N两点，如果1MN=4V5,求直线1的方程 3 。、242高上江苏徐州K期已知4N6,0,2.是椭圆。+之1>6>0上两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2过点(0，-刂的直线1交椭圆C交于卫，Q两点，且P0=8y5 ,求直线1的方程. 3 考点02 中点弦问题 10.23-24高二上江苏南通崇川区、通州区期中已知椭圆C:+上=1的右焦点为F,斜率不为0的直 43 线1与C交于A,B两点 是线段AB的中点，求直线1的方程； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若直线1经过点Q(4,0)(点A在点B,Q之间)，直线BF与C的另一个交点为D,求证：点A,D关于 x轴对称。 11.(23-24高二上江苏南通海安实验中学期中)已知动点M(x,)满足：V(x-1)2+y2+V(x+1)2+y2=2√2 (I)指出动点M的轨迹C是何种曲线，并化简其方程； 2若过点P12 的直线I和曲线C相交于A,B两点，且P为线段AB的中点，求直线I的方程 12.(23-24高二上江苏响水县清源高级中学期中已知椭圆C:亡+上=1，左右焦点分别为F,E,直线1与 ·84 椭圆交于A,B两点，弦AB被点(2，平分. (1)求直线1的一般式方程： (2)求FA·FB 13.(24-25高二上江苏海门中学.期中)已知抛物线C:y2=4x. (1)若直线I与抛物线C交于M、N两点，MN的中点为(6,2)，求直线I的方程； (2)求过点P(-2,)的抛物线C的切线方程。 14.2425高二上江苏泰州期中已知双曲线C的中心在原点，过点4,0)，且与双曲线号-上=1有相同 42 的渐近线， (1)求双曲线C的标准方程； (2)已己知A、B是双曲线C上的两点，且线段AB的中点为M(1,,求直线AB的方程 15.2425商三上江苏连云港陵检区期刊已划双曲线C:等-y=a>0与销圆4r+9y=36有相响的 点 (1)求双曲线C的方程； (2)求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(2,3)的双曲线的标准方程； (3)若直线1与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q的中点坐标为(3，)，求直线1的方程 16.(24-25高二上江苏泰州兴化文正实验学校·期中)已知双曲线C的中心在原点，过点(2,0)，且与双曲线 产-上=1有相同的渐近线 (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知A,B是双曲线C上的两点，且线段AB的中点为M(3,3),求直线AB的方程； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)设双曲线C: x2 y2 a2-b2 =1(a>0,b>0)的半焦距为c,直线1过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l的距离 为 2c,求双曲线的离心率 4 17.(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)在平面直角坐标系中，己知F-3,0),F,(3,0),动点P满足 PF-PF引=2V6,若点P的轨迹为曲线C (1)求C的方程； (2)过点F的直线1（斜率存在且不为0）与曲线C相交于M,N两点 ①若MN的中点为Q,设直线MN和OQ的斜率分别为k,k,求k·的值； ②满足MF=2F,N，求直线1方程. 目目 考点03 定值问题 18.2425商二上江苏扬州扬州大学阴属中学东高分校期申已知糯圆C号+茶=0>6>0)的痴轴的两 个端点分别为4(0,1,8(0-，离心率为6 3 (1)求椭圆C的方程； (2)设点N(0,-3),点M为椭圆C上异于A,B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y=3交于 点P,直线MB与直线y=3交于点Q,求证：NP⊥NQ 巴.2425高三上江苏南家南京师范大学附属中学期中已知椭圆E:。+龙=1a>b>0的一个焦点坐标 为20，商心*为号 4 (1)求椭圆E的标准方程； (2)设动圆C,:x2+y2=t与椭圆E交于A,B,C,D四点，动圆C2:x2+y2=(≠)与椭圆E交于， B,C,D四点.若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：+为定值. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(24-25高二上江苏泰州兴化期中)在平面直角坐标系x0y中，已知直线1过抛物线C:y2=2pxp>0)的 焦点F,与C交于A,B两点 (1)若线段AB中点的横坐标为2，线段AB的长为6，求抛物线的方程； (②)在y轴上是否存在一定点P,使得直线PA和直线PB的斜率之积为定值？若存在，求点P的坐标；若不 存在，说明理由 21.(2425高二上江苏连云港赣榆区期中已知曲线E:x+上=1，点Bm,0) m n (1)当m=4,n=-1时，若直线过点B且与曲线E的右支交于M,N两点，记曲线E的左、右顶点分别为 A,A2,直线MA,NA2的斜率分别为kM4,kN,证明： k4为定值 (2)当m=2,n=1时，不经过坐标原点0且斜率为1的直线与曲线E交于P,Q两点，直线PB与曲线E的另 一个交点为G,直线QB与曲线E的另一个交点为H,其中G,H均不为曲线E的顶点，证明：直线GH 过定点 22,2425南南京范大学附届中学期中已知椭圆C:,+1>b>0和教物线 E:y=2px(p>0).从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：P(-2,2,B,2,-V), 6,-1,P,(9,3). (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设m为实数，已知点T(-3,0),直线x=y+3与抛物线E交于A,B两点.记直线TA,TB的斜率分别 1 为，，判断有，+加是否为定值，并说明理由。 23.(24-25高二上江苏常州金坛区期中)如图，已知抛物线C:y2=2px（p>0)的焦点F,且经过点 A2p,m)m>0),AF=5. (1)求A点的坐标： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)直线1交抛物线C于M,N两点，过点A作AD⊥1于D,且AM.AN=0,证明：存在定点Q,使得DQ 为定值 2425高三上江苏扬州肠州天学附属中学期)已知椭圆C：人+上=1右焦点是F,动点P在椭医 3 上，直线1：x=4 (0)若P-3,0为坐标原点，求以P0为直径的图的方程： d (2)若点P到直线l的距离为d,求证： PF 为定值 25.(24-25高二上江苏连云港东海县·期中)设抛物线E:y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为4，点 M到x轴的距离为V3p (1)求抛物线E的方程； (2)经过焦点F的直线交抛物线E于A,B两点，直线A0(O为坐标原点)交抛物线E的准线于点D,求 证：直线DB的斜率为定值 6,2425商上南家期电已知极E名+Q>b>0的右顶点为A,上顶点为8，B上 离心率为 2 (1)求E的方程； (2)直线I平行于直线AB,且与E交于M,N两点， OP,Q是直线AB上的两点，满足四边形AP0为矩形，且该知形的面积等于}N,求1的方程， ②当直线AM,BN斜率存在时，分别将其记为k,k2,证明：飞·k,为定值 27.(24-25高二上江苏扬州新华中学·期中)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线与y轴的交点为A(0,-1). (1)求抛物线C的方程； (2)若经过点(-1,0)的直线1与抛物线C相切，求直线1的方程； 11 6)若过点M(0,2到的直线4与抛物线C交于B2两点，证明：PM+QM为定值， 28.(24-25高二上·江苏扬州高邮期中)已知F(-2,0),E(2,0),点P满足PF-PF,=2,记点P的轨迹为 E (1)求轨迹E的方程； / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)直线1经过点A(5,0),倾斜角为45°，与轨迹E交于C,D两点(C在A,D之间)，若AC=1AD,2∈R ,求1的值； (3)已知点T(-1,0),过点F作直线m与轨迹E交于M,N两点，记直线M,TN的斜率分别为k,k2,试问： k·k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 叉Q425高三上江苏扬州江区期中如图，已知椭圆C:云+ =1(a>b>0)的上顶点为A(0,3), 离心率为3 ,若过点A作圆M:(x+3)2+y2=r2(0<r<3)的两条切线分别与椭圆C相交于点B,D(不 2 同于点A). (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AB和AD的斜率分别为k,飞2，求证：k·k2为定值； (3)求证：直线BD过定点. B0,425高清洲、中、武福期消服C专+a>h>0的路心率为3在 右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，△PAB面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AP、BQ的斜率分别为k、飞，且P2过定点M ①设△POB和△P2A的面积分别为S、S2,求S,-S,的最大值； ②求证： 为定值，并求出该定值. k. 3引，0425商二上江苏省迁期)已为牌圆C:若+芳-a>6~0过点D 离心率为5，左、右 焦点分别为F、E,右顶点为B. (1)求椭圆C的方程； (2)过点D的直线m与椭圆C的另外一个交点为E,当BDE的面积最大时，求直线m的方程； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若点M、N是直线1上不同的两点，则向量M以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，当直 线1⊥1时，直线的方向向量称为直线I的法向量.设k、h为实数，直线：y=x+h的一个法向量为t, i.HT H为直线上任一点，点7为坐标平面内的定点，我们把称为点T在直线上的投影数量.当1与椭圆 C相切时，点F、F在直线1上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由. 22425商上江苏益城学期中定义：设院图手+卡=口>b>0,我们紧以坐标原点0为假心。 23× ?,b2的调和平均数一半的算术平方根，即 1,1为半径的圆为该椭圆的“调和圆”.已知椭圆 C: 8+4 =1,其“调和圆”为圆0；直线m:3x+4y-12=0 (1)求圆0的标准方程； (2)若直线1为圆0的任意一条切线，且与椭圆C交于A,B两点，求证：OAOB为定值； (3)设M,N是椭圆C上的两个动点，且OM⊥ON,过点O作直线MN的垂线，H为垂足，求点H到直线 m距离的取值范围 目目 考点04 定点问题 33.(24-25高二上江苏徐州第三中学等学校期中已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线1与C交 于A,B两点 (①)当直线1的倾斜角为时，求AB; 3 (2)设0为坐标原点，直线OA,OB分别与直线x=-2交于点M,N,求证：以MN为直径的圆过定点，并 求出定点坐标 34.(2425高二上江苏邗江中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点A(3,6),焦点为F,过F作两 条直线MN,PQ与抛物线C交于M,N,P,Q四点，其中M,P在第一象限，且P在M的左侧 (1)求C的方程： (2)若直线MP与x轴交于点G-2,0),求直线NQ与x轴的交点坐标； (3)设直线NP与MQ的斜率分别为k,k2,若k=3k2,试问：直线MQ是否过定点，若过请求出定点坐标； 若不过，请说明理由。 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35.(24-25高二上江苏锡山高级中学期中)已知动点M到y轴的距离为d,O为坐标原点，且 OM=2+μd2,其中2，u均为常数，动点M的轨迹称为（入，u)曲线. (1)判断(3，-5)曲线为何种圆锥曲线 (2)当2,4应满足什么条件时，（入4）曲线为双曲线？ (③)设曲线C为-1)曲线，斜率为(&÷0咀+兮)的直线1过曲线C的右焦点，且与C交于AB俩个不同 的点.若点B关于x轴的对称点为D,试证明直线AD过定点. 36.(24-25高二上江苏盐城中学.期中已知焦点在x轴上的双曲线C过点 其焦点到渐近线的距离 为1. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线：x=y+1与双曲线C的右支交于A,B两点，点E与点A关于x轴对称，求证：直线BE过定 点，并求出定点的坐标 37.(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地期中若动点P到点F(0,1)的距离比它到直线y=-2的距离 小1 (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过轨迹C上一点A作直线1交y轴正半轴于点D,且|FA曰FD.若直线4/1，直线Z与轨迹C有且仅有一 个公共点E,证明直线AE过定点，并求出定点坐标 32425商=上江苏盐城七校联考期已知点M(5到在销丽C号+若=a>60上，右准线方程 为x=3,过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点， (1)求以AB为直径圆的方程； (2)以椭圆C上D、E两点为直径端点作圆P,圆心P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线1，试问直 线1是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由 39.(2425高二上江苏宿迁期中)已知双曲线C:二-y =1(a>0,b>0)的右顶点为E，,实轴长为4，过双 a2 b2 曲线C的左焦点F作直线1，当直线1与x轴垂直时，直线I与双曲线C的两个交点分别为M，N,此时 △MNE为等腰直角三角形， (1)求双曲线C的方程； (2)当直线1与双曲线C的渐近线平行时，求直线1与双曲线C的交点坐标： (3)当直线1与双曲线C的左支交于A,B两点时，直线AE,BE分别交直线x+1=0于P,Q两点，在x轴 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上是否存在定点D,使得点D始终在以线段P9为直径的圆上？若存在，求出D点坐标，否则，请说明理由. 40.(24-25高二上江苏淮阴中学期中)已知A,(-2,0）,A,（2,0),动点P满足直线A,P与直线A,P的斜率之 积子动点P的轨迹形成面线℃ (1)求曲线C的方程： (2)设点T(0,t)(t为常数且t>0),求线段PT长度的最大值； (3)经过点Q-4,0)的两条直线I,Z,直线1与曲线C相交于A,M两点，直线与曲线C相交于B,N两 点，若直线AB过定点G(-3,2),证明：直线MN恒过定点. 目目 考点05 定直线问题 41.(23-24高二上江苏宿迁沭阳县期中己知圆E:(x+1)2+y2=16点F(1,0),G是圆E上任意一点，线段 GF的垂直平分线和线段GE相交于点H. (1)求动点H的轨迹T的方程； (2)设曲线T与x轴的两个交点分别为A、B(其中A点在B点的左侧)，过F(1,0)且斜率不为0的直线1交 曲线T于M、N两点，直线AM、BN交于点Q,求证：点Q在定直线上 纪.2324高三上江动徐州保L区已知双画线C手若-a>06>0)的左得点为F-25,0),海 近线方程为y=±√2x (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(3,0)的直线与双曲线C的右支交于M,N两点，M在第一