专题02 圆与方程（15大考点100题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

专题02 圆与方程 15大高频考点概览 考点01 求圆的方程 考点02 求圆心坐标及半径 考点03 表示圆的条件 考点04 点与圆的位置关系及参数求解 考点05 判断直线与圆的位置关系 考点06 由直线与圆的位置关系求参数及范围 考点07 圆中的切线方程 考点08 切点弦方程 考点09 切线长 考点10 圆中的弦长问题 考点11 判断圆与圆的位置关系 考点12 由圆与圆的位置关系求参数 考点13 公共弦方程及公共弦长 考点14 圆中的对称问题 考点15 圆中的最值问题 地 城 考点01 求圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏南通海门·)圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得圆心，然后代入圆的标准方程得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等都为2， 所以对称圆的方程为. 故选：B. 2．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心关于直线的对称点即可得解. 【详解】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A 二、多选题 3．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】根据两点间的距离坐标公式以及直线方程、圆的标准方程、待定系数法求解圆的一般方程即可得出结论. 【详解】由题意知,AB的距离为，故A错误; 直线BC的方程为,即，故B正确； 以BC为直径的圆，圆心为，半径为, 所以圆的方程为, 即,故C正确; 设外接圆的方程为， 代入三点坐标得， ,解得 , 所以外接圆的方程为,故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 4．(24-25高二上·江苏马坝高级中学·期中)圆心为且与直线相切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可知：圆心为，半径，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知：圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 故答案为：. 5．(24-25高二上·江苏镇江中学·期中)已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】对于本题，我们先求出线段的垂直平分线方程，然后联立求出圆心坐标，再根据圆心到顶点的距离求出半径，最后写出外接圆的标准方程. 【详解】对于和，中点坐标为. 再求线段的斜率. 那么垂直平分线的斜率为（因为两条垂直直线的斜率乘积为）. 利用点斜式，可得线段垂直平分线方程为，即.   线段的中点坐标为. 线段在轴上，其垂直平分线为.   联立，把代入， 得，解得. 所以圆心坐标为.   根据两点间距离公式，圆心到的距离就是半径. .   根据圆的标准方程，可得.   则的外接圆的标准方程为. 故答案为：. 6．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)某圆拱（圆的一段劣弧）的示意图如图所示，该圆拱的跨度是24m，拱高是4m，在建造时，每隔2m需要一个支柱支撑，则支柱的长度为 m.    【答案】 【分析】利用三点坐标求出圆拱所在圆的方程，代入即可得到的长度. 【详解】由题意得，， 设圆拱所在圆的方程为，则 ，解得， ∴设圆拱所在圆的方程为. 将点的横坐标代入上式，解得或（舍），即支柱的长度为. 故答案为：. 7．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【答案】 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解. 四、解答题 8．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知点． (1)求△的外接圆方程； (2)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设外接圆的一般方程，代入点的坐标计算得解； （2）求出点关于直线的对称点D，再由点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）设△的外接圆方程为， 代入可得， ，解得, 所以△的外接圆方程为 （2）设， 由可知, 所以直线的方程为，即， 由关于直线的对称点为，可得， 解得，即, 所以，直线方程为，即， 所以点到直线的距离. 9．(24-25高二上·江苏徐州·期中)已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）法一：设圆的方程为，代入点的坐标，进而解方程组可求圆的方程；法二：求得，可得的圆心是的中点，可求圆的方程； （2）假设存在，对任意的都有，计算利用恒成立可得，求解即可. 【详解】（1）法一：设圆的方程为，则 ， 解得：， 所以圆的方程为，即， 法二：因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； （2）假设存在，对任意的都有， 即：， 化简得：， 又满足，即， 即：， 所以， 解得：， 即存在满足条件． 地 城 考点02 求圆心坐标及半径 一、单选题 10．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的标准方程直接写出圆心即可. 【详解】由题可知圆心坐标为. 故选：B 11．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 已知圆过，，三点，将这三点分别代入圆的标准方程，得到三个方程，联立求解就可以得到圆心坐标和半径. 【详解】设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 三个式子联立解得，，，. 则所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 12．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，确定该圆的半径，结合圆的面积公式可求得结果. 【详解】圆的标准方程为，该圆的半径为， 因此，该圆的面积为. 故选：B. 13．(24-25高二上·江苏泰州·期中)圆不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】把圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，作出图形，可得出结论． 【详解】圆化为(， 表示圆心为，半径为5的圆，如图所示： 所以，圆不经过第三象限． 故选：C． 二、填空题 14．(24-25高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为 . 【答案】2 【分析】设圆心为，由题意列式求解，即得答案. 【详解】因为圆C的圆心在直线上， 故设圆心为，由题意可得圆的半径为或， 则，解得，即得圆的半径为2， 故答案为：2 地 城 考点03 表示圆的条件 一、单选题 15．(23-24高二上·江苏启东中学·期中)若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 二、填空题 16．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二元二次方程与圆的一般式方程之间的关系直接列式求解即可. 【详解】若方程表示圆， 则，即，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点04 点与圆的位置关系及参数求解 一、单选题 17．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意可得，解出即可得. 【详解】可化为， 则，解得或， 即的取值范围是. 故选：D. 18．(24-25高二上·江苏盐城射阳县陈洋中学·期中)设，若直线与圆C：相离，则点与圆C的位置关系是（    ） A．在圆C外 B．在圆C上 C．在圆C内 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据直线与圆相离可得，进而判断点与圆的位置关系. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 若直线与圆C：相离， 则圆心到直线的距离，整理可得， 则，所以点在圆C内. 故选：C. 地 城 考点05 判断直线与圆的位置关系 一、单选题 19．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数. 【详解】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C 20．(24-25高二上·江苏常熟·期中)直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据圆方程得出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交. 故选: 21．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为1，且，则符合要求的点的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点所在的两个轨迹，再确定两个图形公共点个数即可. 【详解】由点满足到直线的距离为1，得， 即或，此时点在直线或上， 由，得，则，此时点在以为圆心，2为半径的圆上， 点到直线距离为0，该直线与圆有2个公共点； 点到直线的距离，该直线与圆有1个公共点， 所以符合要求的点的个数有3个. 故选：C 22．(24-25高二上·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】C 【分析】将直线的方程化为，由可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；判断定点与圆的位置关系，可判断B选项；求出与直线平行且距离为的直线方程，并判断所求直线与圆的位置关系，可判断C选项；求出的值，分析可知，当直线与直线垂直时，取最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为， 由可得，所以，直线恒过定点，A错； 对于B选项，因为，则点在圆内， 所以，直线与圆有两个交点，B错； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得， 圆心为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线、都与圆相交， 所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对； 对于D选项，因为直线与直线平行， 则，解得， 即点在直线上，连接，则， 由勾股定理可得， 当直线与直线垂直时，取最小值， 且，则，D错. 故选：C. 二、多选题 23．(24-25高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)有一组圆C：（且），下列四个命题中正确的是（    ） A．所有的圆都不经过 B．存在一条直线与所有的圆都相交 C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．存在k，使圆与x轴相切 【答案】ABD 【分析】说明为圆心可判断A；找出符合题意的直线判断B；说明圆的半径可无限大即可判断C；举例可判断D. 【详解】对于A，圆C：（且）的圆心为， 故所有的圆都不经过，A正确； 对于B，圆心恒在直线上，则直线与所有的圆都相交，B正确； 对于C，当k取无穷大的正数时，圆的半径也无穷大， 故可以认为所有直线都与圆相交，C错误； 对于D，当时，圆为与x轴相切，D正确， 故选：ABD 24．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知圆，直线，则以下命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交 C．轴被圆截得的弦长为 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程可得圆心与半径，计算定点与圆心的距离，并与半径比较，可得答案；对于C，由圆的方程，求得与轴的交点纵坐标，可得答案；对于D，由题意可得直线与直线垂直，利用两点求斜率，结合点斜式公式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，由，则圆心，半径， 因为，即定点在圆内，故B正确； 对于C，令，整理圆的方程为，解得或， 所以轴被圆截得的弦长为，故C正确； 对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确. 故选：BCD. 25．(24-25高二上·江苏南通海门·)已知直线，圆，则（    ） A．经过一个定点 B．当时，平分圆的周长 C．当时，与圆相切 D．圆上点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据直线过圆心判断B，根据圆心到直线的距离与半径的比较判断C，求出圆心到动直线的最大距离即可求解判断D. 【详解】选项A：， 联立，解得，所以l过定点，故A正确； 选项B：当时，，圆即， 圆心，半径为，因为在直线l上，所以平分圆的周长，故B正确； 选项C：当时，， 圆心到直线的距离为，故与圆不相切，故C错误； 选项D：定点与圆心的距离为，此时为圆心到直线的距离最大值， 所以圆上点到直线距离的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 26．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知曲线，则（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线所围成图形的面积为 D．曲线与直线有3个公共点 【答案】ACD 【分析】若点在曲线上，可得也在曲线上，即可判断A，再由曲线关于x轴，y轴对称，当时，曲线E的方程为，表示以点为圆心，为半径的半圆，画出图象，根据图像与圆的几何性质，再逐项判断即可； 【详解】曲线上任意点有：，该点关于的对称点为，又， 即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上， 所以曲线关于直线对称，故A正确； 因点在曲线上，点，也都在曲线 E上， 则曲线E关于轴，轴对称， 当时，曲线的方程为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点)， 因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如下图所示，   所以曲线围成的图形面积是，故C正确; 曲线的周长为，故B错误； 因为直线过点，，且经过第一、二、四象限， 又， 当时，曲线的方程为，曲线过点，， 又圆心直线的距离， 结合图象可得，此时曲线与直线有个公共点； 当时，曲线的方程为，表示圆心为，半径为的半圆（不包含端点）， 又到直线的距离，所以直线与圆相切， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 则，解得，即为， 由，解得， 所以直线与有且只有一个交点， 当时，曲线的方程为， 表示圆心为，半径为的半圆（包含端点），显然与直线没有公共点； 当时，曲线的方程为，表示圆心为，半径为的半圆（不包含端点）， 又点到直线的距离， 则曲线：与直线没有公共点； 综上可得：曲线与直线有个公共点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用曲线方程的对称性，分析得曲线的图形，从而数形结合即可得解. 地 城 考点06 由直线与圆的位置关系求参数及范围 一、单选题 27．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将曲线方程化为，利用直线与曲线位置关系，结合图形即可求解. 【详解】依题意，曲线的方程可化为：它表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，如图： 直线过定点， 直线与相切时，可得，解得， 直线过点时，， 根据图形，结合对称性可得，直线与曲线有两个交点时， 实数的取值范围是. 故选：D. 28．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 二、填空题 29．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的斜率为，且过定点，表示单位圆在轴上方的部分（包含与轴的两交点），数形结合得到实数的取值范围. 【详解】，直线斜率为，过定点， ，两边平方得， 故表示单位圆在轴上方的部分（包含与轴的两交点）， 画出图形如下： 故当时，满足要求，取得最大值， 当直线与半圆相切时，令，解得，显然取， 故. 故答案为： 30．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，先由得，表示以为圆心，以1为半径的半圆，画出图像，由图像根据直线与圆位置关系，即可得出结果. 【详解】由得，表示以为圆心，以为半径的半圆， 其图象如下： 由图像可得，当直线过点时， 直线与曲线恰有一个公共点，此时； 当直线过点时， 直线与曲线恰有两个公共点，此时； 当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径， 即，且，解得， 因此，由图像可得，为使直线与曲线恰有一个公共点， 实数b的取值范围为. 故答案为：. 31．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)圆上有且只有2个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围为 ． 【答案】 【分析】计算圆心到直线的距离为1，根据条件得到，解得答案. 【详解】圆心的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆上只有两个点到直线的距离等于1， 所以，即，解得. 故答案为：. 32．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)设为直线上的动点，若圆上存在两点，，使，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】判断直线与圆的位置关系，当点在圆外时，过点的两条切线所成的以为端点过切点的两条射线形成的角最大，求出此角不小于的的范围. 【详解】易知圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相交， 当点在圆及内部时， 显然该圆上存在两点，，使，此时， 当点在圆外时，过点作圆的切线，为切点， 显然是圆上两点与形成夹角中最大的， 则只需即可，此时，则， 综上，即，满足题意， 又，则，解得. 故答案为： 33．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知得圆的圆心及半径，由条件，根据图形结合直线与圆相切性质得，可知点在以为圆心，为半径的圆上，结合题意将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决，再由圆心到直线的距离与半径关系得出不等式，求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 如图，连接，由，结合切线的性质可得， ，，又， 则平面四边形既是矩形，又是菱形，即为正方形. 所以，即点在以为圆心，为半径的圆上. 所在圆的方程为， 由题意若直线上存在点，满足， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离 ， 即，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用相切性质将条件转化为点在定圆上运动，进而将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决即可. 地 城 考点07 圆中的切线方程 一、单选题 34．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线性质可知切线l斜率，进而可求切线方程. 【详解】因为圆的圆心为， 且，可知点在圆上， 则，可得切线l斜率， 所以直线l的方程为，即. 故选：B． 35．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 二、填空题 36．(24-25高二上·江苏无锡江阴六校·期中)经过圆上的点的的切线方程为 . 【答案】 【分析】由过切点的半径与切线垂直得切线斜率，从而求得切线方程. 【详解】圆心为，切点为，则，所以切线斜率为， 得：切线方程为，化简得：. 故答案为： 37．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)若过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或. 【分析】分直线斜率是否存在及结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】当直线斜率存在时，设切线的方程为:，即， 圆心到切线的距离为， 由得，化简得到， 此时切线方程为：，即； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，满足题意. 故答案为：或. 三、解答题 38．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知圆． (1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； (2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. 【详解】（1）圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. （2）设因为为的中点, 所以, 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 39．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. (1)求的值； (2)求过点并与圆相切的切线方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在，由点到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）依题意可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由勾股定理可知，代入化简得， 解得或. （2）圆，由知在圆外， ①当切线方程的斜率存在时，设方程为， 由圆心到切线的距离，即，可解得， 切线方程为， ②当过斜率不存在，易知直线与圆相切， 综合①②可知切线方程为或. 40．(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程； (3)为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案； （2）圆C的面积最大时，即半径最大，根据二次函数的性质求得的值，再分切线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解； （3）设，，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，根据圆的性质求出的最小值，即可得解． 【详解】（1）圆的方程， 可化为， ∵该方程表示圆，∴，解得， ∴实数m的取值范围为． （2）圆的半径， ∴当时，圆C的半径最大，即圆C的面积取得最大值， 此时圆的方程为，圆心，半径， 当切线斜率不存在时，其方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设其方程为，即， ∵圆心到切线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程，即， 综上，切线的方程为或. （3）设，又，，， 则， 设，则表示圆上的点与点的距离的平方， ∵，则点在圆外， 所以， 则 ∴的最小值为． 41．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知圆经过点，，. (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的一般式方程，代入已知点建立方程组，可得答案； （2）利用分类讨论思想，结合圆的切线性质建立方程，可得答案. 【小题1】设所求圆的方程为， 因为点，，在所求的圆上，所以 解得 故所求圆的方程是 . 【小题2】当直线垂直于轴时，直线：与圆相切，满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为 即， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 从而，解得， 因此，所求切线方程是或 42．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）2；（2）或. 【分析】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【详解】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 43．(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 【答案】(1)证明见解析． (2)①或；②证明见解析，定点坐标为和． 【分析】（1）由四点坐标得圆为，半径为，得证四点共圆； （2）①由对称性，利用余弦的二倍角公式求得，从而求得，再设，求出点坐标，设切线方程后，由圆心到切线距离等于半径求得切线斜率，得切线方程； ②由切线性质得四点共圆，为直径，设后求得圆的方程，化为一般式，由这个方程是关于恒等式求得定点坐标． 【详解】（1）因为，，，， 易知点到四个点的距离相等，均为， 所以四点都在圆上， 即四点共圆； （2）①，又， 所以，（负值舍去）， ，，即，所以， 设，则，解得， 所以，显然切线斜率存在， 设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为， 即或；    ②因为，所以四点共圆，为圆直径， 设，则圆心为的中点，半径为， 所以圆方程为， 化为一般式方程为， 整理为关于的方程为：， 由，得或，定点为和， 所以经过，，三点的圆必经过定点，定点坐标为和． 44．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设圆的方程，求出两条直线的交点坐标，将交点坐标代入圆的方程即可； （2）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径即可. 【详解】（1）由圆的圆心在第一象限，半径为， 可设圆的方程为，其中， 联立，解得两直线的交点为， 由得，又因为， 所以，圆心为， 所以圆的方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线为， 此时，圆心到直线的距离，舍去； ②当切线的斜率存在时，设直线方程为，即， 此时，圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为或. 45．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为； (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1)条件选择见解析， (2)或 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程. （2）利用圆心到切线的距离等于半径来求得切线的斜率，进而求得切线方程. 【详解】（1）由解得，所以圆过点. 若选①，圆C经过点，圆心在直线上， 设圆心为，， 则， 解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 若选②，圆心，半径为， 则，解得（负根舍去）， 所以圆心为，圆的方程为. （2）由题意，当直线的斜率不存在时，不合题意； 当直线的斜率存在时，设切线的方程为， 圆心到切线的距离为，解得， 所以切线方程为，或， 即或.    46．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知圆，点，. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)点是圆上的动点，求的最值. 【答案】(1)或 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）分为该直线的斜率不存在和斜率存在时依次求出直线方程即可； （2）利用三角换元求解. 【详解】（1）当过点且与圆相切的直线斜率不存在时，该直线方程为， 当过点且与圆相切的直线斜率存在时， 设其斜率为，则该直线方程为， 因为该直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 即，解得，即； （2）设点，为参数，且， 则 ， 因为，所以， 所以的最大值为，最小值为. 47．(24-25高二上·江苏横林高级中学·期中)已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点、的坐标代入圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）分析可知，当时，的面积最大，求出圆心到直线的距离，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，由此可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可得，解得，故圆的方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）因为， 当且仅当时，等号成立， 此时，是等腰直角三角形，且， 则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意，    所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，整理得，解得或， 因此，直线的方程为或， 即直线的方程为或. 地 城 考点08 切点弦方程 一、多选题 48．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)已知圆：，点，则下列结论正确的是（   ） A．点在圆外 B．圆上动点到点距离的最大值为 C．过点作圆的切线，则切线方程为或 D．过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为 【答案】AC 【分析】根据方程可得圆心和半径.对于A：求，并与半径比较即可；对于B：根据圆的性质分析求解；对于C：分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解；对于D：可得其中一个切点，根据可知直线的斜率，即可得方程. 【详解】圆：的圆心为，半径， 对于选项A：因为，可知点在圆外，故A正确； 对于选项B：圆上动点到点距离的最大值为，故B错误； 对于选项C：若直线的斜率不存在，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 则，解得，所以直线方程为； 综上所述：切线方程为或，故C正确； 对于选项D：直线与圆切与点，记为点A，且直线的斜率， 因为，可知直线的斜率， 所以直线的方程为，即，故D错误； 故选：AC. 二、填空题 49．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可. 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 地 城 考点09 切线长 一、多选题 50．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知直线，及圆，A，B两点分别是，上的两个动点，为线段AB的中点，是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的轨迹在坐标轴上的截距相等 B．PM的最小值是 C．PM的最大值是 D．的最大值是30° 【答案】AB 【分析】求出的轨迹方程判断A；利用圆的性质计算判断BC；利用圆的切线长定理求解判断D. 【详解】对于A，直线与平行，则点的轨迹是与直线都平行， 且与距离都相等的一条直线，而直线与轴分别交于点， 因此点的轨迹过点，斜率为，方程为， 的轨迹在坐标轴上的截距均为，A正确； 对于B，圆的圆心，半径， 点到直线的距离，，B正确； 对于C，的取值集合为，因此PM无最大值，C错误； 对于D，过点作圆的切线，当点为切点时，最大，此角为锐角， ，即的最大值小于，D错误. 故选：AB 二、填空题 51．(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用切线长定理及点到直线距离公式求出，换元可得，借助其几何意义按与1的大小分类讨论求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 则，，令， 于是， 可视为动点到定点的距离与到定直线的距离和， 令直线与轴的交点为，，， 当与点重合，即时，， 当时，过作垂直于直线于点，连接， ，则； 当时，由直线的倾斜角为钝角知，， 因此对任意实数，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 52．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为 . 【答案】或 【分析】根据题意可求得圆心坐标，再求得切线长以及四边形面积表达式可得结果. 【详解】联立可解得，即； 设圆心，圆的半径为， 可得，解得或， 当时，可得，， 可得， 因此四边形的面积为； 当时，可得，， 可得； 所以四边形的面积为. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用圆心位置以及切线方程求得圆的标准方程，再求出切线长可得四边形面积. 三、解答题 53．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)已知圆，点. (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度； (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； (3)点为圆上一点，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出圆心和半径，得到； （2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由弦长公式求出答案； （3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案． 【详解】（1）圆心，半径为，即， 又， 故； （2），故直线， 记圆心到直线的距离为， ，故； （3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，故． 54．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的对称性可确定圆心为线段垂直平分线的交点，由此可求得圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程； （2）根据垂直关系可求得切线长，根据四边形面积可求得结果. 【详解】（1）由圆的对称性可知：圆心为线段垂直平分线的交点， ，线段中点为，线段垂直平分线方程为：，即， 又线段的垂直平分线为，，圆的半径， 圆的方程为：. （2） ，，， ，， 四边形的面积. 地 城 考点10 圆中的弦长问题 一、单选题 55．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离为定值，列方程来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值， 即为定值，所以. 故选：C 56．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)直线与圆交于，两点，则面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，求圆心到直线的距离，几何法求，最后用三角形面积公式求面积. 【详解】由，可化为， 所以，圆心，其到的距离，又圆的半径为， 所以，则面积为. 故选：B 57．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据直线过圆心求出，再求出弦心距后可求弦长. 【详解】圆的标准方程为：，故，半径， 故即， 以即为中点的弦，与垂直，而， 故弦长为：， 故选：D 58．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式计算，即可求解. 【详解】由圆，则圆心为，半径为， 由圆心为到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：B. 59．(24-25高二上·江苏泰州·期中)直线与圆交于、两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离及弦长即可求出三角形面积. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 则，所以的面积为. 故选：C 60．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式和垂径定理求出，要使弦的最大值则，代入求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， ， 令线段中，则，即， 令线段中，则，即， 所以线段的两端点为，， 而，， 要使弦的最大值则，所以. 故选：B. 61．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知动圆的圆心在直线上，半径为，直线（为常数）被圆截得的弦长为定值，则该定值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，由为定值即可得到，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 则圆心到直线的距离， 因为直线被圆截得的弦长为定值， 所以圆心到直线的距离也为定值， 则，即，此时， 所以弦长为. 故选：A 62．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定动直线过圆内一定点，求出圆心的坐标和半径，由时，弦最短求解． 【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径， 动直线，即，恒过点. 设，又由，则点在圆的内部， 动直线与圆（圆心为）交于点， 当为的中点，即与垂直时，弦最短， 此时，弦的长度为， 此时的面积， 故选：D. 63．(24-25高二上·江苏无锡江阴六校·期中)已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 二、多选题 64．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知直线和圆，则（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆被直线截得的优弧与劣弧弧长之比为 【答案】BCD 【分析】求出直线的斜率，可求其倾斜角，可判断A选项；求出直线与两坐标轴的交点，结合三角形的面积公式可判断B选项；求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可判断C选项；求出劣弧所对的圆心角，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的斜率为，所以，直线的倾斜角为，A错； 对于B选项，直线交轴于点，交轴于点， 所以，直线与两坐标轴围成的三角形面积为，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线被圆截得的弦长为，C对； 对于D选项，设劣弧所对圆心角的大小为，则为锐角，且， 可得，则，故优弧所对的圆心角为， 则圆被直线截得的优弧与劣弧弧长之比为，D对. 故选：BCD. 65．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，则（   ） A． B．的最大值为 C．面积的最大值为 D．点到直线的距离小于 【答案】ABD 【分析】判断出点在圆外，计算出的最小值，可判断A选项；当直线过圆心时，取最大值，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；分析直线与垂直时，直线与圆的位置关系，可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，则点在圆外， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，当直线过圆心时，取最大值，且最大值为，B对； 对于C选项，, 当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为，C错； 对于D选项，因为，当时，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相离， 且此时，原点到直线的最大距离为， 由于直线与圆相交，故原点到直线的距离小于，D对. 故选：ABD. 三、解答题 66．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)已知圆的圆心在直线上，且过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）易知圆心在的中垂线上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可. 【详解】（1）由，，则中点为，， 易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率， 则中垂线方程为，即， 联立，解得， 即圆心， 半径， 所以圆的方程为； （2） 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 则弦长为， 解得，即直线； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，弦长为成立； 综上所述，直线的方程为或. 67．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，可得直线方程． 【详解】（1）由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切， ∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为． （2）由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 68．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知圆C过点，，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l被圆截得的线段长度为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）易知圆心在的中垂线上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可. 【详解】（1）由，，则中点为，， 易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率， 则中垂线方程为，即， 联立，解得，即圆心， 半径， 所以圆的方程为； （2）直线l被圆截得的线段长度为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 解得，即直线； 当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意， 综上所述，直线的方程为或. 69．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)已知圆的圆心为，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由圆心和圆上的点求得半径，写出到圆的标准方程； （2）讨论斜率是否存在，当斜率不存在时，显然不成立；斜率存在时，先设直线方程，由圆心到直线的距离和半径表示出弦长，解得斜率值，写出直线方程. 【详解】（1）半径， 所以的方程为. （2）当的斜率不存在时，的方程为，与圆相离，不满足条件； 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以弦长， 即，解得或， 所以的方程为或. 70．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)设为实数，直线与圆相交于两点. (1)若弦的中点坐标为，求的取值范围及直线的方程； (2)若直线，，求圆的半径. 【答案】(1)的取值范围为,直线的方程为 (2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，利用半径为正、点在圆内得到的取值范围，再利用和点斜式方程得到直线的方程即可. （2）利用圆中的弦长公式可求得圆心到直线的距离，进而可得，求解即可. 【详解】（1）将化为， 即该圆的圆心为，半径为， 因为弦的中点为，所以在圆的内部， 即，解得，又，所以； 因为，且，所以， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得圆的圆心为，半径为， 由，可得圆心到直线的距离， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以圆的半径为.. 71．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知O为坐标原点，，平面内一点，满足．设的轨迹为曲线，直线与曲线相交于M、N两点，且． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l过点A，求直线l的方程； (3)若直线，都过点A，它们互相垂直且分别交曲线C于E，F，G，H四点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3)15. 【分析】（1）设，利用两点间距离公式列式化简即得. （2）利用圆的性质求出点到直线的距离，再按斜率存在与否分类求解. （3）利用圆的性质求得，再求出四边形面积关系，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）设，由，得 化简得：，即， 所以曲线C的方程为. （2）由（1）知，曲线是以为圆心，为半径的圆， 由，得点到直线的距离， 点到直线的距离为1，因此直线的方程可以是； 当的斜率存在时，设的方程为，即， 由，解得，直线：， 所以直线l的方程或. （3）取线段的中点，当与点都不重合时，， 而，则四边形为矩形，， 当之一与点重合时，成立，因此， 而，， 则， 四边形的面积，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最大值15.    72．(24-25高二上·江苏扬州新华中学·期中)已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】(1)或； (2)最大，此时. 【分析】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【详解】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； （2）由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 73．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设出圆的方程，代入点的坐标建立方程组，可得答案. （2）由题意可得直线过顶点，根据弦长公式，可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为， 整理可得标准方程为. （2）由圆的方程，则圆心，半径， 由，即，则直线过定点， 由圆心到定点的距离， 则定点在圆内，易知当时，最短， . 74．(24-25高二上·江苏盐城东台第一中学·期中)如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 【答案】(1)； (2)存在，； (3)22. 【分析】（1）应用点斜式写出直线方程，再应用点线距离和弦长公式求相交弦长； （2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，根据已知及点斜式写出符合要求的直线方程即可； （3）记点到的距离分别为，有，根据弦长公式有，应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】（1）当时，直线为，故， 由圆的圆心为原点且半径为，则圆心到距离为， 所以. （2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点， 连接，则，故，又，即， 所以直线为，则. （3）记点到的距离分别为，有， 又， ， 当且仅当时等号成立， 综上，的最大值为. 地 城 考点11 判断圆与圆的位置关系 一、单选题 75．(24-25高二上·江苏镇江中学·期中)已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】D 【分析】根据即可判断两圆的位置关系. 【详解】由题意知，， 所以，则， 所以两圆内切. 故选：D 76．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ， 所以两圆外切. 故选：B. 77．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知圆和圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先把圆的一般方程转化为标准方程，分别求出两圆圆心与半径，利用圆心距与半径和差大小，判断两圆的位置关系，可得圆的公切线的条数． 【详解】已知圆，圆心，半径. 圆，即， 圆心，半径. 所以圆心距，， 所以, 所以两圆相交，故公切线的条数为. 故选：B.    78．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径差、半径和的大小关系即可判断. 【详解】圆的圆心为,半径， 圆的圆心为,半径， 因为，， 所以， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C 79．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据题意可得圆心和半径，进而可得，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆：和圆：， 可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为，即， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C. 80．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两圆的位置关系，即可判断公切线条数. 【详解】由圆，可得， 故圆心，半径， 由圆，可得， 故故圆心，半径， 因为，所以， 即两圆相交，所以圆与圆的公切线条数为2. 故选：B 地 城 考点12 由圆与圆的位置关系求参数 一、单选题 81．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上，只需圆关于轴的对称圆C与圆有交点即可，从而可以求得的范围. 【详解】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上， 只需圆关于轴的对称圆与圆有交点即可. 圆和圆的圆心分别为，半径分别为和2， 所以圆心距为，因为两圆有交点， 所以有， 即：，又因为，所以. 故选：A. 82．(24-25高二上·江苏徐州·期中)若圆与圆有且只有三条公切线，则实数的值为（    ） A．6 B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【分析】由题意可得两圆外切，即可得，计算即可得. 【详解】由圆与圆有且只有三条公切线，故两圆外切， 故，即，解得. 故选：C. 二、多选题 83．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（   ） A．1 B．3 C．8 D．9 【答案】AD 【分析】判断点O与圆C的位置，再利用两圆相离列出不等式求解即得. 【详解】由得的圆心，半径， 又，显然点O在圆C外， 由于圆O与圆C无公共点，则圆O与圆C可以外离，也可以内含，且圆C在圆O内， 设圆O的半径为R，于是或，即或， 解得或，所以圆O的半径可以是1或9，即AD满足，BC不满足. 故选：AD 三、填空题 84．(24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)已知圆 ，圆，.如果这两个圆相切，则实数a的值是 【答案】0或 【分析】两个圆相切，则两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论. 【详解】圆，半径，圆，半径， 因为两个圆相切所以两个圆内切或外切， 两个圆内切时，，即，解得； 两个圆外切时，，即，解得； 所以实数a的值为0或． 故答案为：0或． 85．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)若圆与圆内切，则实数的值为 . 【答案】 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据内切得到方程，求出答案. 【详解】，故圆心为，半径为3， 的圆心为，半径为1， 因为两圆内切，故，即，解得. 故答案为： 86．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 . 【答案】 【分析】由两圆有三条公切线可得两圆外切，利用半径之和为圆心距可求实数的值. 【详解】因为两圆有三条公切线，故圆与圆相外切， 又圆的圆心为，半径为， 由，得到，则， 且圆的圆心为，半径为， 由题有，得到，解得， 故答案为：. 地 城 考点13 公共弦方程及公共弦长 一、单选题 87．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（   ） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 【答案】B 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后求得相交弦所在直线方程，再求得弦长. 【详解】圆的圆心是，半径为，圆的圆心是，半径为， 圆心距为，所以两圆相交，A选项正确，公切线有条，C选项正确. 由、两式相减并化简得， B选项错误. 到直线的距离为， 所以，D选项正确. 故选：B 二、多选题 88．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 【答案】AC 【分析】对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，可判断A选项；对于B，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，可判断B选项；对于C，判断直线与两圆的位置关系，可判断C选项；对于D，求出两圆的公共弦长，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上， 则有，因为，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，B错； 对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 故当时，两圆的一条公切线方程为，C对； 对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错. 故选：AC. 89．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 三、填空题 90．(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 【答案】 【分析】求出公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 四、解答题 91．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)设为实数，圆的方程为． (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 【答案】(1)1或 (2) 【分析】（1）求出两圆公共弦所在直线方程为，结合弦长求得； （2）结合已知条件求出圆的方程，求出圆心和半径，设出圆的标准方程，利用切点以及两圆圆心共线求出圆的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆半径相等即可求解. 【详解】（1）由题知两圆相交， 将圆与圆相减可得， 即两圆公共弦所在直线方程， 圆心到直线的距离为， 所以，解得或， 所以实数的值为或. （2）将点代入圆，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆的圆心为，半径为， 设圆的标准方程为， 因为圆与圆相切于点，所以、、三点共线， 所以直线的方程为，即， 将点代入得①，又点在圆上， 则，即②， 由①②两式解得，，， 所以圆的标准方程为. 地 城 考点14 圆中的对称问题 一、单选题 92．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知圆心在直线上，即可得结果. 【详解】方程表示圆心为的圆， 由题意可知：圆心在直线上， 则，即. 故选：A. 93．(24-25高二上·江苏镇江中学·期中)设点，若经过点的直线关于轴的对称直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的斜率为，则的斜率，进而：，利用直线与圆的位置关系和点线矩公式可得，解之即可求解. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，则， 由题意知，直线的斜率为. 点关于轴对称的点为， 所以，即， 由知，圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 又直线与圆有公共点，所以， 整理得，解得， 即直线的斜率的取值范围为. 故选：C 二、多选题 94．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)设为实数，方程表示圆，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则圆和两坐标轴均相切 C．若圆关于直线对称，则 D．无论取任何实数，总存在一条定直线与圆相交 【答案】ACD 【分析】根据二次方程表示圆的条件判断A，假设与轴相切求出判断B，由直线过圆心判断C，根据圆心在直线上判断D. 【详解】当方程表示圆时，，解得，故A正确； 若圆与轴相切，令，可得，由 解得，故B错误； 若圆关于直线对称，则直线过圆心，由可得， 圆心代入直线方程，可得，且此时满足，故C正确； 由C知，圆心为，即圆心在直线上，所以不论m取何值，都过圆心，与圆相交，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 95．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【答案】答案不唯一 【分析】求出关于直线对称点的坐标，写出圆C的方程，判断出圆O和圆C的位置关系，设与OC平行的公切线方程为，即，利用点到直线的距离关系，即可求出结果. 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 地 城 考点15 圆中的最值问题 一、单选题 96．(24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在直线的方程．由题意知圆的圆心在直线上，可得，再利用二次函数的性质可求最小值． 【详解】∵方程表示圆， ∴，即． 圆，圆， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：． 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上， ∵圆的圆心为， ∴，即， ∴， ∴当时，取最小值9． 故选：D． 97．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长，表示出三角形面积，再令，结合二次函数的性质求出即可； 【详解】 由题意可得，直线的斜率存在，设为， 则， 点到直线的距离为， 弦长， 所以， 令，则， 所以， 当时取等号，此时， 故选：A. 98．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出点的轨迹方程再结合两点间距离及三角换元得出最小值. 【详解】圆，设圆心，圆的半径为， 因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则， 所以，又因为，所以， 则， 设点，可得， 化简可得， 设， 则点到原点距离， 当时，点到原点距离最小值为， 故选：B. 99．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，结合垂直关系可知平面，结合长度关系可知点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质分析求解. 【详解】在矩形，，，， 由可得， 由可得， 则，即， 可知折起后，必有，，， ，平面， 故平面， 因为是确定的直线，故对任意点，，，都在同一个确定的平面内， 因为，可知点在以点为圆心，半径为的圆上（如图）， 由图知，当且仅当与该圆相切时，取到最大值， 则也取到最大值， 此时，， 则的最大值为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于证明平面后，要考虑动点的轨迹，同时将理解为点与圆上的点的连线，结合图形，得出当且仅当与该圆相切时，取到最大值的结论. 100．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，则，由为正三角形可知点到直线的距离与半径的比是3：2，建立与等量关系，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】设圆的方程为，其中 则, 设原点到直线的距离为， ∵为正三角形，∴，且 ， 则 设， 即，， 由，得， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为.    故选：D. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程 15大高频考点概览 考点01 求圆的方程 考点02 求圆心坐标及半径 考点03 表示圆的条件 考点04 点与圆的位置关系及参数求解 考点05 判断直线与圆的位置关系 考点06 由直线与圆的位置关系求参数及范围 考点07 圆中的切线方程 考点08 切点弦方程 考点09 切线长 考点10 圆中的弦长问题 考点11 判断圆与圆的位置关系 考点12 由圆与圆的位置关系求参数 考点13 公共弦方程及公共弦长 考点14 圆中的对称问题 考点15 圆中的最值问题 地 城 考点01 求圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏南通海门·)圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 三、填空题 4．(24-25高二上·江苏马坝高级中学·期中)圆心为且与直线相切的圆的方程为 ． 5．(24-25高二上·江苏镇江中学·期中)已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ． 6．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)某圆拱（圆的一段劣弧）的示意图如图所示，该圆拱的跨度是24m，拱高是4m，在建造时，每隔2m需要一个支柱支撑，则支柱的长度为 m.    7．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 四、解答题 8．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知点． (1)求△的外接圆方程； (2)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 9．(24-25高二上·江苏徐州·期中)已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 地 城 考点02 求圆心坐标及半径 一、单选题 10．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)圆的面积为（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高二上·江苏泰州·期中)圆不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 14．(24-25高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为 . 地 城 考点03 表示圆的条件 一、单选题 15．(23-24高二上·江苏启东中学·期中)若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 16．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 地 城 考点04 点与圆的位置关系及参数求解 一、单选题 17．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高二上·江苏盐城射阳县陈洋中学·期中)设，若直线与圆C：相离，则点与圆C的位置关系是（    ） A．在圆C外 B．在圆C上 C．在圆C内 D．不能确定 地 城 考点05 判断直线与圆的位置关系 一、单选题 19．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 20．(24-25高二上·江苏常熟·期中)直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 21．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为1，且，则符合要求的点的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 22．(24-25高二上·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 二、多选题 23．(24-25高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)有一组圆C：（且），下列四个命题中正确的是（    ） A．所有的圆都不经过 B．存在一条直线与所有的圆都相交 C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．存在k，使圆与x轴相切 24．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知圆，直线，则以下命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交 C．轴被圆截得的弦长为 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 25．(24-25高二上·江苏南通海门·)已知直线，圆，则（    ） A．经过一个定点 B．当时，平分圆的周长 C．当时，与圆相切 D．圆上点到直线距离的最大值为 26．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知曲线，则（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线所围成图形的面积为 D．曲线与直线有3个公共点 地 城 考点06 由直线与圆的位置关系求参数及范围 一、单选题 27．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 29．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 30．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 . 31．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)圆上有且只有2个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围为 ． 32．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)设为直线上的动点，若圆上存在两点，，使，则的取值范围是 ． 33．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为 . 地 城 考点07 圆中的切线方程 一、单选题 34．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 35．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 36．(24-25高二上·江苏无锡江阴六校·期中)经过圆上的点的的切线方程为 . 37．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)若过点作圆的切线，则切线方程为 . 三、解答题 38．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知圆． (1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； (2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 39．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. (1)求的值； (2)求过点并与圆相切的切线方程. 40．(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程； (3)为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值. 41．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知圆经过点，，. (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 42．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 43．(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 44．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 45．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为； (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 46．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知圆，点，. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)点是圆上的动点，求的最值. 47．(24-25高二上·江苏横林高级中学·期中)已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 地 城 考点08 切点弦方程 一、多选题 48．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)已知圆：，点，则下列结论正确的是（   ） A．点在圆外 B．圆上动点到点距离的最大值为 C．过点作圆的切线，则切线方程为或 D．过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为 二、填空题 49．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 地 城 考点09 切线长 一、多选题 50．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知直线，及圆，A，B两点分别是，上的两个动点，为线段AB的中点，是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的轨迹在坐标轴上的截距相等 B．PM的最小值是 C．PM的最大值是 D．的最大值是30° 二、填空题 51．(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，则的最小值为 . 52．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为 . 三、解答题 53．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)已知圆，点. (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度； (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； (3)点为圆上一点，求线段长度的最大值. 54．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 地 城 考点10 圆中的弦长问题 一、单选题 55．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 56．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)直线与圆交于，两点，则面积为（   ） A． B． C． D． 57．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 58．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 59．(24-25高二上·江苏泰州·期中)直线与圆交于、两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 60．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 61．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知动圆的圆心在直线上，半径为，直线（为常数）被圆截得的弦长为定值，则该定值为（   ） A．2 B． C．1 D． 62．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（   ） A． B． C． D． 63．(24-25高二上·江苏无锡江阴六校·期中)已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 64．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知直线和圆，则（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆被直线截得的优弧与劣弧弧长之比为 65．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，则（   ） A． B．的最大值为 C．面积的最大值为 D．点到直线的距离小于 三、解答题 66．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)已知圆的圆心在直线上，且过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 67．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 68．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知圆C过点，，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l被圆截得的线段长度为，求直线l的方程. 69．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)已知圆的圆心为，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求的方程. 70．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)设为实数，直线与圆相交于两点. (1)若弦的中点坐标为，求的取值范围及直线的方程； (2)若直线，，求圆的半径. 71．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知O为坐标原点，，平面内一点，满足．设的轨迹为曲线，直线与曲线相交于M、N两点，且． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l过点A，求直线l的方程； (3)若直线，都过点A，它们互相垂直且分别交曲线C于E，F，G，H四点，求四边形面积的最大值． 72．(24-25高二上·江苏扬州新华中学·期中)已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 73．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 74．(24-25高二上·江苏盐城东台第一中学·期中)如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 地 城 考点11 判断圆与圆的位置关系 一、单选题 75．(24-25高二上·江苏镇江中学·期中)已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 76．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 77．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知圆和圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 78．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 79．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 80．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 地 城 考点12 由圆与圆的位置关系求参数 一、单选题 81．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 82．(24-25高二上·江苏徐州·期中)若圆与圆有且只有三条公切线，则实数的值为（    ） A．6 B．4 C．6或 D．4或 二、多选题 83．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（   ） A．1 B．3 C．8 D．9 三、填空题 84．(24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)已知圆 ，圆，.如果这两个圆相切，则实数a的值是 85．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)若圆与圆内切，则实数的值为 . 86．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 . 地 城 考点13 公共弦方程及公共弦长 一、单选题 87．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（   ） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 二、多选题 88．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 89．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 三、填空题 90．(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 四、解答题 91．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)设为实数，圆的方程为． (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 地 城 考点14 圆中的对称问题 一、单选题 92．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（    ） A． B． C． D． 93．(24-25高二上·江苏镇江中学·期中)设点，若经过点的直线关于轴的对称直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 94．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)设为实数，方程表示圆，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则圆和两坐标轴均相切 C．若圆关于直线对称，则 D．无论取任何实数，总存在一条定直线与圆相交 三、填空题 95．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 地 城 考点15 圆中的最值问题 一、单选题 96．(24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 97．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（    ） A． B． C． D． 98．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 99．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 100．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $