专题03 等式与不等式性质及一元二次函数、一元二次不等式15大题型60题（期中专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03等式与不等式性质及一元二次函数、一元二次不等式 题型归纳·内容导航 题型1用不等式表示不等关系 题型8由一元二次不等式的解确定参数 题型2由已知条件判断所给不等式是否正确（重 题型9解其他不等式（常考点） 点) 题型3作差法比较代数式的大小 题型10解含有参数的一元二次不等式（难点） 题型4作商法比较代数式的大小 题型11一元二次方程根的分布问题 题型5利用不等式求取值范围（常考点） 题型12恒成立问题（难点） 题型6由不等式的性质证明不等式 题型13有解问题（难点） 题型7解不含参数的一元二次不等式（常考点） 题型14整数解问题（难点） 题型15实际应用（重点） 题型通关•靶向提分 题型一用不等式表示不等关系（共2小题） 1.(24-25高一上·吉林长春，期中)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地 板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. 220m2 (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为 ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请计算说明. 2.(24-25高一上江苏连云港期中)火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t.现计划用A, B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种 货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢. (1)据此安排A,B两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？ 题型二由已知条件判断所给不等式是否正确（共5小题） 3.(24-25高一上·陕西西安·期中)已知a>b，则下列不等式一定成立的是() 1.1 A.B.aab C.a2>ab D.ab 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(23-24高一上·云南红河·期末)下列说法错误的是() A.若a>b,c>d,则ac>bd 8.若>b c2≥bc2 ，则 C.若a>b>0,m>0:则a a b D.若ac>bc >b ,则“ 5.(24-25高一上甘肃临夏·期末)（多选）若实数a>b>0,则() b a b、b+1 A.a2>ab B.b2>ab C.a<b D. aa+l 6.(24-25高一上陕西西安期末)（多选）已知0<a<b,c>d,则下面不等式一定成立的是() A.atczb+d B.a-c<b-c Ca<eD.a<d二9 b a,b,c∈R 7.(23-24高一上·贵州黔南期末)（多选）设 ,则下列选项中正确的是() A.若a>b,则 -c>b-c 8.若a2>b ，则>b C.者ac2>bc2 则>6 D.若>6，则0>b 题型三作差法比较代数式的大小（共4小题） 8.(24-25高一上广西北海期中)已知a∈R,则a2+3a-1__2a-2(填“>”或“<”) 9.(24-25高一-上福建莆田期中)P=2a-4a+3,Q=(a-la-3引，aeR,则有P_0.(请填“< ”、“=”、“>”、“之”、“≤”) 10.(2425高-上上海期中)若eR,设P=r+3,2=2r,则Pe的大小关系为P0, a,b 2+4b2,2a-12b-10 11.（24-25高一上·上海·期中)设为实数，比较 与 的值的大小： 题型四作商法比较代数式的大小（共1小题） 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2+b2,a+b 12.已知a<6<0’试比较。-办与。-b的大小， 题型五利用不等式求取值范围（共5小题） -3≤x≤6-1≤y≤2 z=x-2y 13.(24-25高一上江苏泰州·期中)已知 ,则 的取值范围是() A.-12 8.-2,101 c.1-7,8到 D.5,10 14.(24-25高一上河南郑州期中)已知1<x<2,1<y<4,x+y ，则的取值范围是 15.(24-25高一上山东菏泽期中)已知 e[-1,3,b∈l,2],则2a-b的范围是— ,则 a,b -2≤3a-2b≤5，-4≤a+2b≤47a-2b 16.(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知实数满足 ,则 的取值范 围为一 2 17.(24-25高一上·北京·期中)设实数x,y满足：1≤x≤2,6≤y≤8，则的取值范围是一 题型六由不等式的性质证明不等式（共2小题） 18.(2425高一上贵州贵阳期中)(1)比较x+2圳x+3引与x+1川+4的大小： cC (2)已知a>b>0,c<0,求证：a>b· 19.(24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中)已知a>b>1,d<c<-2, (求证：（a-1(6-l川c+2(d+2>0 (2)求证：ac+bd>bc+ad. 题型七解不含参数的一元二次不等式（共3小题） 20.(24-25高一上·福建福州期中)解下列一元二次不等式 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )-6x+8<0 2)2r+7x+9<0 21.(24-25高一上·天津西青·期中)解下列不等式： (1)x2-6x+9≤0 (2)-x2+2x-3>0 2到 22.(24-25高一上·湖南邵阳·期中)解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） )r+2x-15>0 2)x-3)°-4(x-3)-5<0 3x+11 (3)3-x2· 题型八由一元二次不等式的解确定参数（共3小题） 23.(23-24高一上广东珠海期中)（多选）已知关于的不等式+x+c< (-0,1)U(5,+o) 的解集为 则() A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是( 6 C.a+b+c>0 D。不等式c2-br+4<0的解集为x> 5或x<- 24.(24-25高一上天津期中)已知关于x的不等式2++b<0的解集为1<x<2,则关于x的不等 bx2+ax+1>0 式 的解集为() 4/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a〔对》+树。传剧到 。 0.小 2为.225有上云有文小期中若大于：角一元次不等式心0的餐线为付文引。 则关于的不等式+bx+a<0, 的解集是() A.{3<x<-2 B.{2<x<3到 c.{3或x<2 D.{-2或<-3到 题型九解其他不等式（共5小题） 26.(2425高上新江绍兴期中)关于的不等式2<0的解集为（ 。.x小uimj 2x+1 27.(24-25高一上安徽宿州期末)不等式x-≥0的解集为() a别 。[ 。.〔+m 28.(23-24高-上江苏宿迁期未)若集合M=<2,N=3x≥2，则MnN为() 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. B.{x0≤x<4} C.s20. 29.(23,24高一上安微黄山期末)已知集合4=x+1s2,B=V<2,则4n8=（) {x|-3≤x≤1 B.x0≤xs1y c.-3≤r<1yD.-1sx≤0g y2-3 30.(24-25高一上云南昆明期中)已知2-4y之0， ,则y的取值范围为() A.(23到 8.(02 c.3+w D.（-∞，U(2,3) 题型十解含有参数的一元二次不等式（共5小题） 31.(24-25高一上广东广州期中)关于的不等式：r+2-4ax-8>0,当4>0时，不等式的解集 为一 32.(23-24高一上北京·期末)求解下列关于x的不等式，并写出不等式的解集 3x-1<0 (1)x+2 (2)2x-103x-20x+2}2<0 B1r+(a-2x-2>0 33.(24-25高一上·广东广州-期中)设函数'=ar+-ba∈R,b∈R) 但若b=1,且集合xy=0中有且只有一个元素，求实数“的取值集合： 2)解关于x的不等式y<a-r+(b+2x-2b 34。（24-25高一上四川成都期中)已知关于x的不等式+(0+川+a>0 (1)当a=-2时，解这个关于x的不等式： 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当a∈R时，解这个关于x的不等式. 35.(24-25高一上福建南平期中)设'=mr+1-mx+m-2 、y<0 若m=2,求不等式》<0的解集： 2)解关于x的不等式mr+1-mx+m-2≤m-1m∈R) 题型十一一元二次方程根的分布问题（共5小题） 36.(24-25高一上安微合肥期中)已知关于x的方程+m-2引x+5-m=0有两个大于2的相异实数根， 则实数m的取值范围是() A.m-5<m≤-4或m≥4g B.{m5<m<-4 c.{m-5<m≤-4 D.m-5<m<- 或m>4} 37.(24-25高一上重庆期中)。m>2 2-mx+m+1=0 ”是“一元二次方程 有两个正实根”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 38.(24-25高一上·浙江期中)关于x的方程 x2+a-2)x+5-a=0 有两根，其中一根小于2，另一根大于 3,则实数a的取值范围是() A.{aa<-5或a>-4 B.{a5<a<4y c.(ala<-5 D.lala>-4 39.(24-25高一上山西期中)）已知关于的方程++0+2=0有一正一负两个实数根，则实数”的取 值范围是一· 40.(24-25高三上北京阶段练习)已知方程+(2m-刂x+4-2m=0的 的两根一个比2大另一个比2小， 则实数m的范围是一： 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型十二恒成立问题（共5小题） 41.(23-24高二下浙江期中)关于x的不等式(Q-1r-a+a+1≥0 解集为R,则实数a的取值范围 是() 25 A.a>1 3 C.-3 sas 30.as2 252 、2W3 3或 3 42.(24-25高一上广东汕头期中)已知 x∈R,使得r-ar+1≥0 恒成立，则实数a的取值范围为 43.(24-25高一上安徽宿州期中)已知关于x的不等式-a+4)x+20+5≥0在-0,2)上恒成立，则 a的最小值为一 4.(24-25高一上广东广州期中)若xe2引，不等式-a心+1<0恒成立，则a的取值范国为一 3 45.(24-25高一上广东江门期中)若不等式2(a-1)r+(a-)r-4<0对一切实数x都成立，则实数。的 取值范围为一 题型土三有解问题（共5小题） 46.(24-25高一上江苏镇江期中)命恩“x-,4,-2-a>0”为假命题，则实数“的取值范围是 () A.a2-1B.a≤3 C.a≤8 D.a≥8 47.(23-24高一上北京期中)已知存在c[0, ,使得r-4x之m-4m成立，则m的取值范围是 () A.[0.1 8.[1,3] c.I041 D.0,+o 48.(23-24高一上·甘肃白银期中)若不等式-2+m<0 解，则实数“的取值集合是。 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49.(24-25高一上重庆期中)已知关于x的不等式-c-k+3>0在区间0,2有解，则实数k的取值范 围为一 50.(24-25高-上广东第庆期中)若关于的不等式2-5x-1-m>0在L3上有解，则实数m的取值 范围为一 题型十四整数解问题（共7小题） 51.(24-25高一上江苏南京期中)若关于的不等式-r-0-1≤0 5个负整数解，则的取值范围 是() A.（-7,-6B.-7,6 c.-6- 0.-6- x2-2x-8>0 52.(24-25高一上山东济南阶段练习)已知关于x的不等式组2x2+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解， 则k的取值范围为() A.-53) 8.[23) c.2,3UI4,5) D.-5,3U(4,5列 53.(24-25高一上安徽合肥期中)关于x的不等式3x+<ar2 的整数解恰有2个，则实数a的取值范 围是 54,(24-25高一上湖南阶段练习)已知关于x的不等式ar+(4a+4到x+8a+17≥0aeZ只有有限个整 数解，且0是其中一个解，则a=一- 5.(24-25高一上天津津南期中)关于”的不等式-m+2r+2m≤ 恰有三个整数解，则实数m的取 值范围— 56.(24-25高一上·四川绵阳·开学考试)已知关于x的一元二次不等式 2-(a+l)x+a≤0 的解中有且仅有 3个正整数解，则实数a的取值范围是一 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 57.(24-25高一上江苏无锡期中)关于的一元二次不等式-3r+a< 恰有两个整数解，则实数”的 取值范围为一、 题型土五实际应用（共3小题） 58.(24-25高一上·重庆期中)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志 的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ f(x) (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润 最大？ 59.(24-25高一上·河北石家庄·开学考试)某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商 品每天的销售量卫（件）与销售单价x（元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示 元 100 70 03045 x/元 (1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式： (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多 少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 60.(24-25高一上·江苏盐城期中)某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现， 该商品每天的销售量'（件）与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示 10/11专题03 等式与不等式性质及一元二次函数、一元二次不等式 题型1 用不等式表示不等关系 题型8 由一元二次不等式的解确定参数 题型2 由已知条件判断所给不等式是否正确（重点） 题型9 解其他不等式（常考点） 题型3 作差法比较代数式的大小 题型10 解含有参数的一元二次不等式（难点） 题型4 作商法比较代数式的大小 题型11 一元二次方程根的分布问题 题型5 利用不等式求取值范围（常考点） 题型12 恒成立问题（难点） 题型6 由不等式的性质证明不等式 题型13 有解问题（难点） 题型7 解不含参数的一元二次不等式（常考点） 题型14 整数解问题（难点） 题型15 实际应用（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用不等式表示不等关系（共2小题） 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?请计算说明. 【答案】(1)； (2)变好，理由见详解. 【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得. （2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断. 【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意，，解得， 所以这所公寓的窗户面积至少为. （2）记窗户面积为a、地板面积为b，同时增加的面积为c， 依题意，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 由，且， 得，因此, 所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了. 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 题型二 由已知条件判断所给不等式是否正确（共5小题） 3．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值讨论各选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，， 所以，A选项正确； 对于BCD，当时，，，无意义，故BCD选项错误. 故选：A. 4．（23-24高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用反例判断A选项，BCD均可以通过不等式的性质以及作差法进行判断. 【详解】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，若，则有，则，故D正确； 故选：A. 5．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）（多选）若实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质逐一判断即可. 【详解】由题意，， 对于A，因为，，由不等式的可乘性得，故A正确； 对于B，因为，，由不等式的可乘性得，故B错误； 对于C，因为，由不等式的可乘方性得，则，故C正确； 对于D，因为，则， 所以，故D错误. 故选：AC. 6．（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知，，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B、D. 【详解】对于A：如，，，，满足，，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：如，，，，满足，，但是，故C错误； 对于D：因为，，所以，， 所以，故D正确. 故选：BD 7．（23-24高一上·贵州黔南·期末）（多选）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 题型三 作差法比较代数式的大小（共4小题） 8．（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 【答案】> 【分析】作差法比较大小. 【详解】，故. 故答案为：> 9．（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为， 故. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【答案】 【分析】根据作差比较法即可得解. 【详解】因为 ，当时等号成立， 所以. 题型四 作商法比较代数式的大小（共1小题） 12．已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 题型五 利用不等式求取值范围（共5小题） 13．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是. 故选：C. 14．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用不等式的性质进行求解即可. 【详解】根据不等式的性质由，， 故答案为： 15．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的范围是 【答案】 【分析】应用不等式性质求范围即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 16．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合不等式的基本性质求的取值范围. 【详解】因为：， 又， 两式相加，得：. 故答案为： 17．（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型六 由不等式的性质证明不等式（共2小题） 18．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 19．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 题型七 解不含参数的一元二次不等式（共3小题） 20．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 21．（24-25高一上·天津西青·期中）解下列不等式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解（1）（2）；根据分式不等式的解法即可求解（3）. 【详解】（1）， 又，所以， 即不等式的解集为； （2）方程中，，该方程无解， 所以不等式的解集为； （3）， 解得或，即原不等式的解集为. 22．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解， （3）根据分式不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得， 即，解得， 故不等式的解为 （3）由得， 故或， 故不等式的解为或 题型八 由一元二次不等式的解确定参数（共3小题） 23．（23-24高一上·广东珠海·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案. 【详解】由题意可得1和5是方程的两根，且， 由韦达定理可得，得， 对于A，因为，故A错误； 对于B，不等式，即，即，得， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由不等式，得，即， 则，得或，即解集为或，故D正确. 故选：BD. 24．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 25．（24-25高一上·云南文山·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】 依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 题型九 解其他不等式（共5小题） 26．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为一元二次不等式求解即可． 【详解】由，得，解得， 故关于的不等式的解集为． 故选：B． 27．（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，解得或， 故选：D 28．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若集合，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用无理不等式及一元一次不等式的解法，结合交集的定义即可求解. 【详解】, 所以. 故选：D. 29．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式求出集合，再利用交集运算即可求得. 【详解】由绝对值不等式的解法可得，解得，即； 由根式不等式的解法可得，解得,即. 所以. 故选：B. 30．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式化简得，将分式不等式转化成整式不等式即可解. 【详解】由，得， 所以， 所以，即， 解得或， 故的取值范围为． 故选：D． 题型十 解含有参数的一元二次不等式（共5小题） 31．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 32．（23-24高一上·北京·期末）求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解. （2）将不等式转化为不等式组求解. （3）分类讨论解含参数的不等式. 【详解】（1）不等式，化为，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为. （3）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为， 若，则；若，则无解；若，则， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 33．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值. （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】（1）函数，又有且只有一个元素， 则方程有且仅有一个根， 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. （2）依题意，，整理得， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 34．（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分类求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）由，则， 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 35．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型十一 一元二次方程根的分布问题（共5小题） 36．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 37．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 38．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 39．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围. 【详解】设方程的两根为， 则, ∴ ∴， 故答案为： 40．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十二 恒成立问题（共5小题） 41．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B 42．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 43．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 44．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 45．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型十三 有解问题（共5小题） 46．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 47．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 48．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 49．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为： 50．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 题型十四 整数解问题（共7小题） 51．（24-25高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【详解】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 52．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可. 【详解】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 53．（24-25高一上·安徽合肥·期中）关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出，求出不等式的解集，解集中恰有两个整数，从而得到不等式，求出答案. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有2个，则有且有，故有， 令即得， 故不等式的解集为， 因为，所以， 所以解集中恰有两个整数，可得，解得． 故答案为：． 54．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知关于的不等式只有有限个整数解，且0是其中一个解，则 ． 【答案】或 【分析】根据一元二次不等式的解及解集特征确定参数的范围，即可得答案. 【详解】因为0是的解，所以． 因为只有有限个整数解，所以， 因为，所以或． 故答案为：或 55．（24-25高一上·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 【答案】 【分析】由题可得不等式的解集为或，由不等式有3个整数解可得答案. 【详解】. 若，则不合题意； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则. 故答案为： 56．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 57．（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，方程有两个不同的实数根，进而求解出方程的两个解，再根据的不同取值范围，讨论两根的分布情况，从而得出结果. 【详解】恰有两个整数解   方程有两个不相等的实数根 ，解得，，且方程的两根可写为 时，，，此时不等式至少有4个整数解，不合题意； 时，，，此时不等式有两个整数解1和2，符合题意； 时，，. 当时，，即，解得，; 当时，不等式最多一个整数解，不合题意. 综上，. 故答案为：. 题型十五 实际应用（共3小题） 58．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【详解】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 59．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)当单价为元时，取得最大利润为元 (3)件 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若， 则利润， 其开口向下，对称轴为，所以当时， 利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 由整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 60．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. $