3.3.1从函数观点看一元二次方程 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

3.3.1　从函数观点看一元二次方程 一、 单项选择题 1 设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则＋的值为(　　) A. 2 B. －2 C. D. － 2 二次函数y＝2x2＋x－1的零点是(　　) A. ，－1 B. －，1 C. ，(1，0) D. ，(－1，0) 3 若二次函数y＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，1] D. [1，＋∞) 4 已知函数y＝ax2＋bx＋c(b≠0)的一个零点是－1，则的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 5 已知关于x的函数y＝x2－2ax－8a2 (a>0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a的值为　(　　) A. B. C. D. 6 设m为实数，若二次函数y＝x2－2x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是(　　) A. (1，＋∞) B. [1，＋∞) C. (－∞，1) D. R 二、 多项选择题 7 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列结论中正确的是(　　) A. b2>4ac B. 2a－b＝1 C. a－b＋c＝0 D. 5a<b 8 已知二次函数y＝1－(x－a)(x－b)的左、右零点分别为m，n，则实数a，b，m，n的大小关系可能是(　　) A. m<a<b<n B. a<m<n<b C. m<b<a<n D. m<n<a<b 三、 填空题 9 函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则实数m的取值范围是________． 10 已知函数y＝ax2－2x＋1(x∈R)有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a的取值范围为________． 11 已知函数y＝－3(x－1)2＋k的两个零点分别为x1，x2，且x＋x＝，则x1＋x2＝________，k＝________． 四、 解答题 12 求下列函数的零点： (1) y＝2x2－3x－2； (2) y＝ax2－x－1； (3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示． 13 (2024南通如皋调研)已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数． (1) 求证：对任意实数m，该二次函数有两个零点； (2) 设该二次函数在区间(0，＋∞)上有两个零点为x1，x2，且＋＝，求此二次函数的表达式． 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 1. D　由题意，得x1，x2是方程6x2－x－2＝0的两个实根．由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－，故＋＝＝－. 2. A　二次函数y＝2x2＋x－1的零点就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝或x＝－1. 3. B　由题意知，关于x的方程x2＋2x＋a＝0无解，则Δ＝4－4a<0，即a>1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞). 4. A　由题意，得a(－1)2－b＋c＝0，所以b＝a＋c，所以＝＝1. 5. B　因为x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝. 6. C　由题意，得二次函数y＝x2－2x＋m的图象开口向上，对称轴方程为x＝1，要使二次函数y＝x2－2x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则12－2×1＋m<0，即m<1，所以实数m的取值范围是(－∞，1). 7. AD　因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故A正确；对称轴方程为x＝－1，即－＝－1，则2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，故C错误；由对称轴方程为x＝－1，知b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，故D正确．故选AD. 8. AC　由y＝1－(x－a)(x－b)可知，二次函数的图象开口向下，且当x＝a或x＝b时，y＝1>0.因为m，n是方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，所以当x＝m或x＝n时，y＝0.由二次函数的图象可知，实数a，b，m，n的关系可能是m<a<b<n(如图1)或m<b<a<n(如图2).故选AC. 图1 　图2 9. 　因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0<m<，即实数m的取值范围是. 10. (0，1)　函数y＝ax2－2x＋1(x∈R)有两个零点，则a≠0.因为一个大于1另一个小于1，且当x＝0时，y＝1>0，所以或解得0<a<1，即实数a的取值范围为(0，1). 11. 2　　令y＝0，则－3x2＋6x－3＋k＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4＋＝，解得k＝. 12. (1) 由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－， 所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－. (2) 当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0，得x＝－1，所以函数的零点为－1； 当a≠0时，由ax2－x－1＝0，得Δ＝1＋4a， ①当Δ<0，即a<－时，方程无实数根，则函数无零点； ②当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，则函数有唯一的零点－2； ③当Δ>0，即a>－且a≠0时，由ax2－x－1＝0，得x＝， 则函数有两个零点和. 综上，当a＝0时，函数的零点为－1；当a＝－时，函数的零点为－2；当a>－且a≠0时，函数有两个零点和；当a<－时，函数无零点． (3) 因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1， 所以该函数的零点为－3和1. 13. (1) 由题意，得Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)＝16>0， 所以对任意实数m，该二次函数有两个零点． (2) 因为该二次函数在区间(0，＋∞)上有两个不同的零点，所以 则解得m>3. 因为＋＝，所以＝，解得m＝5， 所以该二次函数的表达式为y＝x2－8x＋12. 学科网（北京）股份有限公司 $