精品解析：四川省内江市第六中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题

内江六中2025-2026学年（上）高2027届入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 讲座前问卷答题得分的中位数小于70 B. 讲座后问卷答题得分的众数为90 C. 讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差 D. 讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差 3. 已知，则 A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 7. 如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 10. 如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 是在上的投影向量 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ） A. 正八面体的内切球表面积为 B. 正八面体的外接球体积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 按斜二测画法得到，如图所示，其中，那么的面积为______． 13. 著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______． 14. 中，，点为平面内一点，且，，、分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为__________. 四、解答题（本题5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设，在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的模． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若∠BAC的角平分线交BC于点D，且，求面积的最小值． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． （1）求B； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. （1）已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； （3）已知点，求的费马点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025-2026学年（上）高2027届入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数， 所以复数的虚部为. 故选：B. 2. 为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 讲座前问卷答题得分的中位数小于70 B. 讲座后问卷答题得分的众数为90 C. 讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差 D. 讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合统计知识逐一判断即可. 【详解】对于A：由图可知，讲座前问卷答题得分的中位数为，故A正确； 对于B：由图可知，讲座后问卷答题得分中，95分出现四次，次数最多，故众数为95，即B不正确； 对于C：由图可知，讲座前问卷答题得分比讲座后的较分散，即讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差，故C正确； 对于D：讲座前问卷答题得分的极差大约为，讲座后问卷答题得分的极差小于，故D正确. 故选：B 3. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，求得，再由正切的倍角公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据两角和的正切公式，得，解得， 又由正切的倍角公式，得，故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用两角和的正切和正切的倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4. 已知向量，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，所以，可得，再由平面向量的夹角公式求解. 【详解】根据题意，，则， 因为，所以， 即，所以， 设与的夹角为，则，又， 所以与的夹角为. 故选：A 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再结合三角函数的平移规则判断即可. 【详解】因为， ， 所以将向右平移个单位长度得到，故D正确； 若将向左平移个单位长度得到，故A错误； 若将向右平移个单位长度得到，故B错误； 若将向左平移个单位长度得到，故C错误； 故选：D 6. 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意作出示意图，在中，由正弦定理求出的长，再求出由C处到达B处的时间，根据速度等于路程除以时间计算即可. 【详解】根据题意作出示意图如下， 由题意可知，，海里． 在中，由正弦定理可知， 则 海里． 甲船的行驶时间为小时， 所以乙船的速度为海里/小时． 故选：A 7. 如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由台体的体积公式求出圆台的高，作出图象求出台体的母线长，再根据体积公式求解即可. 【详解】设上下底面的半径分别为，高为， 所以，故， 因为木桶的体积为，所以， 所以，解得：， 设圆台的母线长为，如下图， 所以， 所以该木桶的侧面积为. 故选：D. 8. 定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义运算，利用三角恒等变形化解可得，分析在区间的值域，结合二次函数性质，建立不等式可解. 【详解】由题中所给定义可知， ， 当时，， 所以，所以， 当时，，， 所以，解得； 当时，，，， 所以，解得， 综上，a的取值范围是． 故选：C. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A，根据古典概型的概率计算公式计算与，从而判断B与C，根据相互独立事件的定义判断D. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子， 样本空间为，， 事件“两次掷出的点数之和是5”，， 事件“第一次掷出的点数是奇数”，， 事件“两次掷出的点数相同”，， 对于A，因为，所以事件与事件能同时发生， 即事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以 又因为， 所以， 所以事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 是在上的投影向量 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ） A. 正八面体的内切球表面积为 B. 正八面体的外接球体积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即得；对于B项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，计算即得；对于C项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值；对于D项，通过发现并证明//平面，将的体积进行多次转化成三棱锥的体积，计算即得. 【详解】对于A项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积， 解得，故它的内切球表面积为，故A项正确； 对于B项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，, 在中，,利用对称性知,故点为正八面体外接球的球心，则， 所以正八面体外接球的体积为，故项错误； 对于C项，如图，因与是边长为2的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形. 连接与相交于点，此时,,则取得最小值为，故项正确； 对于D项，易知，因为平面平面，所以//平面， 所以，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 按斜二测画法得到，如图所示，其中，那么的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积. 【详解】由直观图可得平面图形如下所示： 则，，， 所以. 故答案为： 13. 著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得，利用古典概型概率公式计算可得答案. 【详解】根据题意，， 可得， 若从中任选2个数： 共10种， 两个数之和小于10：，有4种， 所以这两个数之和小于10的概率为. 故答案为： 14. 中，，点为平面内一点，且，，、分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由条件分析判断当的值最大时，为等腰直角三角形，求出三边长度，进一步确定即的内切圆半径，再利用等面积法确定的内切圆半径即可. 【详解】如图： 由，，可得，所以在的垂直平分线上. 设为的中点，可得， 所以，从而. 由正弦定理可得， 所以， 当，， 要使值最大时，则为锐角，所以， 从而为等腰直角三角形，所以. 所以、均在斜边的垂直平分线上，即为内切圆的半径， 设内切圆半径为，则，即， 解得，即. 故答案为： 四、解答题（本题5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设，在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算即可求解； （2）利用复数的几何意义和投影向量模的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为为纯虚数， 所以， 解得，， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的模为. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若∠BAC的角平分线交BC于点D，且，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得解. （2）借助等面积法及基本不等式即可得解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可知：， 又，化简得， 即， 所以，， 即，因为，所以，从而； 【小问2详解】 由题意可得：， 且，即， 化简得， 而，解得，等号成立当且仅当， 的面积，等号成立当且仅当， 综上所述，的面积的最小值为. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），86 （2）74，75，75 （3）， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得参数，根据百分数的定义，可得答案； （2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案； （3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合平均数与方差的计算，可得答案. 【小问1详解】 根据题意可得，解得； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25， 所以样本成绩的第80百分位数在内，且为. 【小问2详解】 本成绩的平均数为； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3， 所以样本成绩的中位数在内，且为； 样本成绩的众数为. 【小问3详解】 因为与的频率之比为， 又落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4， 所以两组成绩合并后的平均数； 所以两组成绩合并后的方差. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． （1）求B； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角B； （2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、 （3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． 【小问2详解】 在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 的面积为． 【小问3详解】 由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. （1）已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； （3）已知点，求的费马点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解； （2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解； （3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线求解. 【小问1详解】 ，绕着点顺时针旋转， 即逆时针旋转，代入公式， ， 所以， 则点的坐标为； 【小问2详解】 由费马点的求法知： 绕着点顺时针旋转，与重合，， 所以为等边三角形， 连接，的最小值为，由勾股定理得； 【小问3详解】 通过材料可以知道，内部有一点，连接， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求， 此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角， 即此时点满足， 又由题设，可知为等腰三角形，且， 根据费马点求法知：点在中垂线上， 且是顶角为的等腰三角形，所以， 故，则. 【点睛】关键点点睛：第（3）中，发现中，根据费马点求法知：点在中垂线上，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $