2.1等式性质与不等式性质第1课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与比较大小　 【学习目标】 1.掌握等式与不等式的表示； 2.掌握作差法比较实数的大小； 3.形成类比思想，培养良好思维品质。 1.不等关系与不等号 (1)不等关系：数量之间普遍存在不相等关系. (2)不等号： ≠包括 < , >， ≤, ≥. 2.不等式：用不等号表示两个数量关系的式子，叫做不等式。 【思考】(1)不等号“≤,≥”的读法、意义分别是什么? 提示:“≤”读作小于或者等于,表示“不大于”； “≥”读作大于或者等于，表示“不小于”. 【复习回顾】 【探究】(1)2>1是真命题吗？ 2<1是真命题吗？ 2≥1是真命题吗？ (2小于1)假命题 真命题 （2不小于1）真命题 (2)不等式“a≤b”的含义是什么? 提示:不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”, 其含义是指“a<b或者a=b ”,等价于“a不大于b”, 即若a<b 与a=b 之中有一个成立,则a≤b 成立. 【复习回顾】 在数学中，我们用不等号来表示不等关系： 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，超过 小于 ＜ 小于，低于 大于或等于 ≥ 不小于，至少 小于或等于 ≤ 不大于,至多 【问题导学】 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短． 问题1 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0< v <40． 对于（2），由题意，得 ． 对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b > c，a－b < c． 对于（4），设C是直线AB外任意一点，CD垂直于AB，垂足为D， E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE ． 【问题导学】 问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 解：设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： 2.比较两实数a,b大小的依据 【复习回顾】 A B a b x • • 如图，数轴上的点与实数一一对应，左边的数a 小于右边的数b,即a<b，显然a-b<0 ，b-a>0 。 3.关于两个实数a、b的大小关系有几种情形？ a-b的符号有几种情形？ 提示： a>b， a=b ， a<b; a- b>0， a-b=0 ， a-b<0.   3.关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：   如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a=b； 如果a－b是负数，那么a<b．反之成立． 【基础知识】   这个基本事实可以表示为： 作差法比较大小！ 【例题】 分析：通过作差法，考察这两个多项式的差与0的大小关系即可得出大小关系． 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．作差法是解决不等式问题的常用方法． 【变式练习】 解:因为(x+1)(x+2)-(x+1)(x+3)=- (x+1)， 所以当x=-1时，(x+1)(x+2)=(x+1)(x+3)； 当x>-1时，(x+1)(x+2) < (x+1)(x+3)； 当x<-1时，(x+1)(x+2) >(x+1)(x+3). 这里，对变量x进行分类讨论是比较大小的关键． 【问题探究】 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客． 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 中国古代数学家们很早就发现并应用勾股定理， 最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。 大正方形的构成： 4个全等的直角三角形 1个小正方形 等面积法 不等关系 【问题探究】 相等关系 2.赵爽弦图的相等关系（勾股定理）与不等关系（面积关系） 大正方形面积>4个直角三角形面积和 a=b>0 大正方形面积=4个等腰直角三角形面积和 思考：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。 【问题探究】 a > b>0 作差法 2 2.重要不等式:a2+b2≥2ab -2≤ab≤2 【拓展】3.重要不等式:a2+b2≥2∣ab∣ 事实上， a2+b2≥2ab，a2+b2≥-2ab， 所以 a2+b2≥2∣ab∣。 【课堂练习】 1.若对于∀x∈R,则x2+2x+2 （ ） A.大于1 B . 大于2 C.不小于2 D.不小于1 解：由重要不等式(a ± b)2≥0， 得 x2+2x+2=(x+1)2+1≥1, 当且仅当x=-1时，=成立， 所以x2+2x+2不小于1。 D ACD 【课堂练习】 3.已知x<1,比较大小：x2+2______3x.  【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,所以x-2<0,x-1<0, 所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x. 答案: > > 4.若ab=16,则a2+b2的最小值为______.  【解析】a2+b2≥2ab=32,当a=b=4或a=b=-4时， a2+b2的最小值为32. 答案: 32 32 【课堂练习】 作差法： 两个数比较大小通常作差与0比较大小。 【课堂练习】 作商法： 两个正数比较大小，也可以作商与1比较大小。 立方和（差）公式： 2.作差法比较大小的基本步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； （2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)； （3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（与0比较大小）； （4）作出结论． 1.作差法比较大小： 【课堂总结】 4.作商法比较大小的基本步骤： （1）作商：对要比较大小的两个正数(或负数)作商； （2）变形：对商进行变形(因式分解、约分、配方等)； （3）判断：结合变形的结果及题设条件判断商的大小（与1比较大小）； （4）作出结论． 3.作商法比较大小： 【课堂总结】 【课堂总结】 5.重要不等式:a2+b2≥2∣ab∣，a,b∈R, 事实上，a2+b2≥2∣ab∣等价于 1.课本第42页第3,4题. 【布置作业】 2．(多选题)若x<a<0，则下列不等式不一定成立的是（     ） A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax 【解析】∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0， ∴ax>a2，∴x2>ax>a2，故选项B一定成立. 故选ACD． $