精品解析：四川省内江市第六中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题

初三上数学试卷 满分100分　　时间：70分钟 一、单选题（3*12=36分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠9 B. x＞9 C. x≤9 D. x≥9 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：x-9≥0， 解得：x≥9， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可． 【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6， ∴中位数为：9.4， 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和性质； 根据二次根式的运算法则和性质逐项判断即可． 【详解】解：A.不能继续运算，错误； B.，正确； C.，错误； D.，错误； 故选：B． 4. 已知实数是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了应用二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据题意得到，代入计算即可． 【详解】解： 实数是关于的一元二次方程的根， ， ， ， 故选：D． 5. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立． 【详解】A. 由图象可知： ，故A错误； B. 由图象可知：，故B正确； C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误； D. 由图象可知：，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键． 6. 点关于原点中心对称的点的坐标是（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值确定出M坐标，找出关于原点中心对称的点坐标即可． 【详解】解：点化简得：， 所以关于原点对称的点的坐标是（，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，原点对称，熟练掌握特殊角的三角函数值，原点对称是解题的关键． 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填 不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在矩形中，对角线 ， 相交于点 ，，垂足为 ，，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含 角的直角三角形的性质．由在矩形中，于E，，易证得 是等边三角形，继而求得的度数，由 是等边三角形，求出的度数，又由，求得的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 是等边三角形， ∴ ，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在直角三角形纸片中裁剪出一个正方形纸片 ，其中D，E两点在边上，F，G两点分别在 和 边上，已知，则正方形纸片 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，过点 作 ，交 于点 ，勾股定理结合等积法，求出 的长，证明，求出正方形的边长，进而求出正方形的面积即可． 【详解】解：过点 作 ，交 于点 ， ∵， ∴， ∵ ， ∴，即：， ∴， ∵正方形 ， ∴，，， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴正方形纸片 的面积为； 故选D． 10. 如图，在边长为的正方形中，分别是边 的中点：连接分别是的中点，连接，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接并延长交 于 ，连接 ，如图所示，根据正方形的性质得到， ，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交 于 ，连接 ，如图所示： 四边形是正方形， ， ，， ， 分别是边， 的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点 ， 分别是， 的中点， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、中点定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质及三角形中位线的判定与性质． 11. 如图，在 中， 相交于点O，．过点A作的垂线交 于点E，记长为x， 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交 的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交 的延长线于点F， ∵的垂线交 于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 12. 如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出四边形CNPM是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN＝NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8−x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴PM∥CN， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵∠MNC＝∠PNM（折叠的性质）， ∴∠PMN＝∠PNM， ∴PM＝PN， ∵NC＝NP（折叠的性质）， ∴PM＝CN， ∴四边形CNPM是平行四边形， ∵CN＝NP， ∴四边形CNPM是菱形，故②正确； ∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP， ∴∠MQC＝∠D＝90°， ∵CM＝CM， 若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL）， ∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误； 点P与点A重合时，如图2所示： 设BN＝x，则AN＝NC＝8−x， 在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2， 即42＋x2＝（8−x）2， 解得x＝3， ∴CN＝8−3＝5，AC＝＝＝， ∴CQ＝AC＝， ∴QN＝＝， ∴MN＝2QN＝．故③正确； 当MN过点D时，如图3所示： 此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小（四边形CNPM的边CN上的高固定为AB的长），此时四边形CNPM是正方形，则S最小＝S菱形CMPN＝×4×4＝4， 当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大＝×5×4＝5， ∴4≤S≤5，故④错误． 故选：B． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． 二、填空题（3*6=18分） 13. 若最简二次根式与可以合并，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类二次根式、最简二次根式的定义解决此题． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键． 14. 如图，在 中，是 的平分线， ，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据四边形是平行四边形得到 ， ，得到，根据角平分线得到，即可得到，得到，即可得到答案 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∴， ∵是 的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， 故答案为：． 15. 若关于的分式方程无解，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程无解，即有增根，此时，解分式方程得，令得解． 【详解】解：将变形为： 即： 方程两边同时乘以得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 解得： ∵分式方程无解 ∴，即 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式方程的求解以及增根问题，根据相关知识点化解求值即可． 16. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，，连接AE交BD于点F，若，则四边形ABCD的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】由平行四边形的定义可知DE//AB，从而△DEF∽△BAF，可知△DEF∽△BAF的相似比为1：3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可求得S△AFB=9，由△ADF和△DEF的高相等可得S△ADE=3，从而求得△ABD的面积，然后可求平行四边形的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD ∵DE：EC=1：2 ∴DE：DC=1：3 ∴DE：AB=1：3 ∵AB//CD ∴△DEF∽△BAF ∴ ∴ ∵ ∴ ∵△ADF与△DEF高相等，且AF：EF=3：1， ∴ ∴ ∴ 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解答此题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形、、、 、的顶点、、、 、在直线 上，顶点、、 、在轴上．已知点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，正方形的性质，求出一次函数的解析式是解题的关键． 根据正方形的性质可得、，再用待定系数法求出直线 ，从而得到、、、的横纵坐标，由此发现规律，即可求解． 即可求解． 【详解】解： 点的坐标为，点的坐标为， ∴， 正方形的边长为1，正方形的边长为2． 点的坐标为，点的坐标为． 把、代入 ，得∶ ，解得， 直线 对应的函数表达式为． 根据题意得：点的纵坐标为，点的横坐标为； 点的纵坐标为，点的横坐标为； 点的纵坐标为，点的横坐标为； 点的纵坐标为，点的横坐标为， 由此得到点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为： 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，正确化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题关键． （1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）用配方法求解一元二次方程即可； （2）化为一般形式，用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） 移项得： 左右两边同时加1得： ∴ ∴方程的解为：， （2） 将方程化为一般形式为：，即 ∴方程的解为：， 【点睛】此题考查了求解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（ ）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为 ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3）D或D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数图像可得的自变量x的取值范围即为一次函数图像在双曲线上方所对应的自变量x的取值范围； （3）对于一次函数，令，可得 ，则，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（ ）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为 ， ∴， ∴，把，代入（）， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或． 【小问3详解】 解：对于一次函数，令，可得 ， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴ ， ∴或． 22. 如图，菱形的对角线 相交于点 ，过点作 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 为矩形： （2）连接．若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴四边形 为矩形； （2） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先根据菱形的性质得 ， ，再结合已知条件，得 ，结合 ，可知四边形 是平行四边形，进而得出结论； （2）由（1）可知， ， ，根据勾股定理可求得 ，由菱形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ， ， ， 菱形的面积 ． 23. 某商场从生产厂家购进A、B两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示： A B 进价（元/件） m 售价（元/件） 110 145 已知该商场用2400元从生产厂家购进A玩具的数量与用3000元购进B玩具的数量相同． （1）求m的值； （2）该商场计划同时购进A、B两种玩具共200件，其中A玩具最多购进120件，最少购进100件．实际进货时，所有每件A玩具的进价下调10元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润． 【答案】（1）的值为80； （2）该商场销售这些玩具能获得的最大利润为8500元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出 关于的函数关系式． （1）利用数量 总价 单价，结合该商场用2400元从生产厂家购进 玩具的数量与用3000元购进 玩具的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设购进件 玩具，该商场销售完这些玩具获得的总利润为 元，则购进件 玩具，利用总利润 每件 玩具的销售利润 购进 玩具的数量 每件 玩具的销售利润 购进 玩具的数量，可找出 关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 根据题意得：， 解得： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意． 答：的值为80； 【小问2详解】 设购进件 玩具，该商场销售完这些玩具获得的总利润为 元，则购进件 玩具， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而减小， 又， 当时， 取得最大值，最大值（元． 答：该商场销售这些玩具能获得的最大利润为8500元． 24. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_______，_______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到 是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得： ， ∴， ∴， ∴ ； 综上：或 ； 【小问3详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴ 是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上数学试卷 满分100分　　时间：70分钟 一、单选题（3*12=36分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠9 B. x＞9 C. x≤9 D. x≥9 2. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数 是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 点关于原点中心对称的点的坐标是（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 8. 如图，在矩形中，对角线 ， 相交于点，，垂足为 ，，，则 的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 9. 如图，在直角三角形纸片中裁剪出一个正方形纸片 ，其中D，E两点在 边上，F，G两点分别在 和 边上，已知，则正方形纸片 的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为的正方形中，分别是边 的中点：连接分别是的中点，连接，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 11. 如图，在中， 相交于点O，．过点A作的垂线交 于点E，记长为x， 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（3*6=18分） 13. 若最简二次根式与可以合并，则 ______． 14. 如图，在中，是 的平分线， ，，则_________． 15. 若关于的分式方程无解，则的值是________． 16. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，，连接AE交BD于点F，若，则四边形ABCD的面积为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形、、、 、的顶点、、、 、在直线 上，顶点、、 、在轴上．已知点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（ ）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为 ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 22. 如图，菱形的对角线 相交于点，过点作 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 为矩形： （2）连接．若，求菱形的面积． 23. 某商场从生产厂家购进A、B两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示： A B 进价（元/件） m 售价（元/件） 110 145 已知该商场用2400元从生产厂家购进A玩具的数量与用3000元购进B玩具的数量相同． （1）求m的值； （2）该商场计划同时购进A、B两种玩具共200件，其中A玩具最多购进120件，最少购进100件．实际进货时，所有每件A玩具的进价下调10元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润． 24. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_______，_______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $