2.3.1乘方（基础练+提升练+拓展练+达标检测）讲义2025－2026学年人教版七年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2.3.1乘方（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 ： 乘方的定义 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 要点诠释： 乘方是一种数学运算，表示将一个数连乘若干次。 乘方的结果称为幂 题型1有理数的乘方的概念 例1．已知：，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【变式1-3】．把写成乘方的形式为 ，把写成乘方的形式为 ． ． 知识点2 : 乘方的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）零的正整数次幂都是零。 【注意】（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 （2） 与乘方有关的探求规律问题是一类重要类型题。 要点诠释： 1.符号法则核心规则 负数的偶次幂为正 ：例如（-2）4 = 16，指数4为偶数，结果为正数。 负数的奇次幂为负 ：例如（-3）3 = -27，指数3为奇数，结果为负数。 正数和0的幂次 ：正数的任何次幂都是正数，0的正整数次幂为0，1的任何次幂为1 2.底数与指数的区别 在表达式（-a）n中，底数是-a，例如（-2）3 = -8；而在-an中，底数是a，例如-23 = -8。两者结果通常不同，需注意区分。 题型2 乘方运算的符号规律 例2．计算： 【变式2-1】．当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【变式2-2】．填一填： （1） ， ， ， ； （2） ， ， ， ． 【变式2-3】．计算：－（－3）3= ． 知识点3 :乘方的运算 利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 要点诠释： 乘方通过简化重复乘法提升计算效率，需掌握符号规则、运算顺序及法则，并结合实际问题灵活运用 题型3 有理数乘方的运算 例3．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3-2】．计算： (1)． (2)． 【变式3-3】．如果n是正整数，计算：． 题型4 有理数乘方运算的逆运算 例4．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【变式4-1】．计算： ． 【变式4-2】．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【变式4-3】．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 题型5 乘方的实际应用 例5．一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-1】．某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有 克铋发生了衰变． 【变式5-2】．在我国古代著名哲学著作《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取一半，万世不竭．”这句话的大意是：“一尺长的木棒，第一天取一半，第二天取走剩下的一半，以后每天取走前一天所剩下的一半．这样下去，永远也取不尽．”按上面的取法，从星期一算起，到星期五，这根木棒还剩下 尺． 【变式5-3】．某种细菌每1分钟由1个分裂成2个，经过3分钟，1个细菌分裂成23个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成 个． 题型6乘方中的规律探究 例6．这组数字的第7个数是 ． 【变式6-1】．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【变式6-2】．阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【变式6-3】．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 题型7乘方中的新定义问题 例7．中考新考法·新定义现规定一种新的运算“★”．例如，．计算下列各式： (1)； (2)． 【变式7-1】．定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【变式7-2】．阅读理解： (1)定义一种新运算：． ①那么 ， ； ②当时，求的结果； (2)定义表示不超过a的最大整数，如，，计算 ； (3)根据乘方的意义，可得：，类似还有：，请用以上知识完成以下空格．（注：中的“.”号表示乘号“×”） ① （直接写出结果）； ②归纳、概括： ； ③如果，，运用以上的结论计算的值． 【变式例7-3】．用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值． 题型8 乘方中的程序流程问题 例8．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为 ． 【变式8-1】．定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为 ． 【变式8-2】．定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 【变式8-3】．任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 例9．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【变式9-1】．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 2．“”可以写成（    ） A． B． C． D． 3．下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．和 4．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 6．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ）天 A．84 B．336 C．448 D．510 7．观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 8．如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 二、填空题 9．将写成幂的形式 ． 10．如果n是正整数，则 ． 11．已知有理数a，b满足，则 ． 12．在日常生活中，我们最熟悉最常用的是十进制，逢十进一，计算技术中广泛采用的是二进制，是用0和1两个数字计数是逢二进一，十进制和二进制可以相互转化，如将二进制1101换算成十进制数应为，按此方式，把二进制数转化为十进制数结果是 ． 13．24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 三、解答题(每小题8分，共56发) 14．你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 17．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 18．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　　 ，　　 ； (2)你认为当输入数等于　　 时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出　　 数； (4)有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　　 （用含自然数n的代数式表示）． 19．阅读下列材料，并解决下面的问题: 我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若则叫做以为底的对数，记为，且具有性质： 其中且 根据上面的规定，请解决下面问题: (1) _______ ；(请直接写出结果) 已知，则______；（用含y的代数式来表示） (2)已知请你用含m的代数式来表示n，其中(请写出必要的过程). 20．综合与实践 古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天、一年个月、一小时分钟的记时方法。某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 规定当时，． 如：； . 【解决问题】 任务一、将表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。 ________． 任务二、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）： ； ________． 任务三、已知年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到本年6月日的天数，并判断6月日是星期几．（天数算法举例：年1月1日至本年1月6日的天数为6天） B 抓核心 三大题型提升练 C 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 四大题型提分练 试卷第2页，共41页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2.3.1乘方（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 ： 乘方的定义 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 要点诠释： 乘方是一种数学运算，表示将一个数连乘若干次。 乘方的结果称为幂 题型1有理数的乘方的概念 例1．已知：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数指数幂的定义，根据题意，得到，进行计算即可．熟练掌握有理数指数幂的定义，是解题的关键： 【详解】解：由题意，得：； 故选C． 【变式1-1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，熟练掌握乘法和乘方的意义是解题的关键．根据乘法和乘方的意义求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式1-2】．的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 4 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的相关概念：底数、指数、乘方的结果等，乘方的运算；根据乘方的相关概念及运算法则即可解答． 【详解】解：的底数是，指数是4，结果是； 故答案为：，4，． 【变式1-3】．把写成乘方的形式为 ，把写成乘方的形式为 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方的定义，个相同因数相乘可表示为，分别分析两个式子中相同因数及个数来转化为乘方形式．本题主要考查了乘方的定义，熟练掌握乘方是个相同因数相乘的简便表示形式是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：， ． 知识点2 : 乘方的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）零的正整数次幂都是零。 【注意】（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 （2） 与乘方有关的探求规律问题是一类重要类型题。 要点诠释： 1.符号法则核心规则 负数的偶次幂为正 ：例如（-2）4 = 16，指数4为偶数，结果为正数。 负数的奇次幂为负 ：例如（-3）3 = -27，指数3为奇数，结果为负数。 正数和0的幂次 ：正数的任何次幂都是正数，0的正整数次幂为0，1的任何次幂为1 2.底数与指数的区别 在表达式（-a）n中，底数是-a，例如（-2）3 = -8；而在-an中，底数是a，例如-23 = -8。两者结果通常不同，需注意区分。 题型2 乘方运算的符号规律 例2．计算： 【答案】0 【知识点】有理数加法运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式2-1】．当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 【变式2-2】．填一填： （1） ， ， ， ； （2） ， ， ， ． 【答案】 100 1000 10000 100000 100 -1000 10000 -100000 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】（1）根据正数的任何次幂都是正数计算即可； （2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数计算可得结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：100；1000；10000；100000； （2）， ， ， ， 故答案为：100；-1000；10000；-100000． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，正确计算各乘方的结果是解题的关键． 【变式2-3】．计算：－（－3）3= ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的乘方计算，注意符号规律是解题的关键． 知识点3 :乘方的运算 利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 要点诠释： 乘方通过简化重复乘法提升计算效率，需掌握符号规则、运算顺序及法则，并结合实际问题灵活运用 题型3 有理数乘方的运算 例3．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查的知识点是有理数的乘方运算，解题关键是熟练掌握有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算逐题进行计算即可． 【详解】解：（1）， （2）， （3）， （4）． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 【变式3-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （2）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案； （4）原式将分子进行立方运算即可得到答案； （5）根据的偶次方等于1可得结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式3-2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则. （1）先乘方，再乘法. （2）先乘方，再加减. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式3-3】．如果n是正整数，计算：． 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，指数奇偶的性质等知识，解题的关键在于正确处理负号与指数的奇偶性关系．先进行幂的乘方运算，再同底数幂运算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型4 有理数乘方运算的逆运算 例4．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 【变式4-1】．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】把原式化为，再逆用积的乘方运算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【变式4-2】．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 【变式4-3】．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 题型5 乘方的实际应用 例5．一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方；根据题意列出相对应的算式并计算是解题的关键．根据每剪一次，绳子剩下一半列算式求解． 【详解】解：一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃去一半，还剩米； 第二次吃去剩下的一半，还剩米， 第三次吃去剩下的一半，还剩米， 如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为米， 故选：B． 【变式5-1】．某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有 克铋发生了衰变． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是理解题意，列出算式． 将每个小时的衰变量相加，计算可得结果． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 【变式5-2】．在我国古代著名哲学著作《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取一半，万世不竭．”这句话的大意是：“一尺长的木棒，第一天取一半，第二天取走剩下的一半，以后每天取走前一天所剩下的一半．这样下去，永远也取不尽．”按上面的取法，从星期一算起，到星期五，这根木棒还剩下 尺． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查分数乘法的应用及乘方的意义，找出题中变化规律是解题的关键，根据变化利用分数乘法的意义求得剩下的长度即可． 【详解】解：第一天截取后剩余的长度为：（尺）； 第二天截取后剩余的长度为：（尺）； 第三天截取后剩余的长度为：（尺）； …… 第五天截取后剩余的长度为：（尺）． 故答案为： 【变式5-3】．某种细菌每1分钟由1个分裂成2个，经过3分钟，1个细菌分裂成23个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成 个． 【答案】/ 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了乘方的意义．掌握乘方的意义是解决本题的关键．根据乘方的意义得结论． 【详解】解：∵每1分钟由1个分裂成2个， ∴经过3分，一个细菌分裂成个， ∴这些细菌再继续分裂t分后共分裂成个； 故答案为：． 题型6乘方中的规律探究 例6．这组数字的第7个数是 ． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据题意，先确定数的符号：根据数的属性与序号的关系确定，再确定分子是常数1，确定分母的规律，解答即可． 本题考查了有理数乘方的规律探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第1个数为：，第2个数为：， 第3个数为：，第4个数为：， 故第n个数为， 当时，第7个数是． 故答案为：． 【变式6-1】．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【答案】 82 45 88 【知识点】乘方运算的符号规律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 【变式6-2】．阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 【变式6-3】．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 题型7乘方中的新定义问题 例7．中考新考法·新定义现规定一种新的运算“★”．例如，．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)9 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据新定义列出算式，进行计算即可； （2）根据有理数混合运算法则和新定义运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式7-1】．定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)8 【知识点】有理数的减法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 【变式7-2】．阅读理解： (1)定义一种新运算：． ①那么 ， ； ②当时，求的结果； (2)定义表示不超过a的最大整数，如，，计算 ； (3)根据乘方的意义，可得：，类似还有：，请用以上知识完成以下空格．（注：中的“.”号表示乘号“×”） ① （直接写出结果）； ②归纳、概括： ； ③如果，，运用以上的结论计算的值． 【答案】(1)①15；4；②6 (2)4 (3)①②③36 【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查用新定义解题,理解新定义，将新定义中的计算转化为常规运算是求解本题的基础． （1）根据新定义运算法则进行计算即可； （2）根据定义求出算式中每个数的最大整数，再进行加减运算即可； （3）根据乘方的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：15；4； ②当时， ∴ （2）解：∵， ∴， 故答案为：4； （3）解：① 故答案为：； ②， 故答案为：； ③∵，， ∴ 【变式例7-3】．用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】根据新定义，先计算再计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键． 题型8 乘方中的程序流程问题 例8．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数与程序运算问题，从程序中找到规律是解题的关键．根据流程图以及整式的运算即可求出答案． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为 ， 第三次输出的结果为 ， 第四次输出的结果为 ， 第五次输出的结果为， …… ∴从第三次开始，第奇数次输出的结果是，第偶数次输出的结果是， ∵2025是奇数， ∴第2025次输出的结果为， 故答案为：． 【变式8-1】．定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为 ． 【答案】8 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由程序框图将，代入计算可得答案． 【详解】解：，，， 输出结果为． 故答案为：． 【变式8-2】．定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】8 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，据此可得． 【详解】解：前8次的“F”运算结果如下： 依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1， ∴第2025次“F”运算的结果为8． 故答案为：8． 【变式8-3】．任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【答案】 答案不唯一 961 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查对题意的理解，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是答案不唯一，还可能是169等 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 例9．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-1】．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． (2)49 (3)169 (4)1，169 【知识点】有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据题意直接补全流程图即可； （2）按照流程图进行列式计算即可； （3）根据流程图进行列式计算即可； （4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． 故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． （2）解：第1次：123是3的倍数，； 第2次：41不是3的倍数，； 第 3 次：25不是3的倍数，， 所以操作第3次后得到的数是49． （3）解：第4次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，， ∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169， 故答案为：，． （4）解：当输入111时， 第1次：111是3的倍数，； 第2次：37不是3的倍数，； 第3次：100不是3的倍数，； 第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1． 当输入222时， 第1次：222是3的倍数，； 第2次：74不是3的倍数，； 第3次：121不是3的倍数，； 第4次：25不是3的倍数，； 第5次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169． 故答案为：1，169． 23．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 【答案】（1）  （2）见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键. （1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得，第四行代表二进制的数字是， 二进制的数字，转化成进制为： ， ∴转化成进制后可得他的考场号是， 故答案为：； （2）准考证号， 分别将， ， ， ， 转化为二进制， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为：， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， 如图所示： 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【知识点】相反数的定义、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查乘方的定义，掌握定义是解决问题的关键．利用乘方的定义判断即可． 【详解】解：是5个2相乘的相反数． 故选：B ． 2．“”可以写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的定义，利用乘方的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．和 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题考查了有理数的乘方运算和含乘方的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．根据有理数的乘方运算法则和混合运算进行计算即可做出判断． 【详解】解：A．，，数值不相等，故选项不符合题意； B．，，数值相等，故选项符合题意； C．，，数值不相等，故选项不符合题意； D．，，数值不相等，故选项不符合题意． 故选：B． 4．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 5．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算，然后和10比较逐步求解即可． 【详解】当输入x的值为时，， ∴， ∴ ∴输出的值为63． 故选：A． 6．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ）天 A．84 B．336 C．448 D．510 【答案】D 【知识点】乘方的应用 【分析】根据“满七进一”，可知这是七进制数，需将其转化为十进制数来计算孩子出生后的天数．本题主要考查了进制的转化，熟练掌握七进制数转化为十进制数的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 7．观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、数字类规律探索 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第16个数与第17个数，然后将它们相加即可． 【详解】∵，… ∴这列数的第偶数个数都是1，第奇数个数是， ∴当n=16时，这个数为1， 当n=17时，这个数为， ∴第16个数与第17个数的和为：， 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化特点，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求数字的和． 8．如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【答案】B 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，乘方的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 根据1个标准篮球场的周长为86米，列式为再计算即可求解． 【详解】解：∵1个标准篮球场的周长为86米， ∴（个）， ∴在第10秒时的长度大概相当于100个标准篮球场的周长． 故选：B． 二、填空题 9．将写成幂的形式 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘法的意义，以及乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数． 【详解】解：． 故答案为：． 10．如果n是正整数，则 ． 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 11．已知有理数a，b满足，则 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查绝对值的非负性及完全平方的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 12．在日常生活中，我们最熟悉最常用的是十进制，逢十进一，计算技术中广泛采用的是二进制，是用0和1两个数字计数是逢二进一，十进制和二进制可以相互转化，如将二进制1101换算成十进制数应为，按此方式，把二进制数转化为十进制数结果是 ． 【答案】19 【知识点】有理数的乘方运算、乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，由题意知可表示为，然后根据含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 即转化为十进制数结果是19， 故答案为：19． 13．24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 【详解】解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题(每小题8分，共56发) 14．你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)正，正，负，正，负，正 (2)正，正，既不为正也不为负，正，正 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】（1）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解，0既不是正数，也不是负数． 【详解】（1）解：根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数，则：16为正，故为正； 25为正，故为正； 为负，且9为奇数，故为负； 为负，6为偶数，故为正； -1为负，101为奇数，故为负； 为负，50为偶数，故为正． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数， 0.01为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正； ，0既不是正数也不是负数； 为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正． 【点睛】本题考查了乘方运算符号的规律，熟练掌握正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数且0既不是正数也不是负数是解题的关键． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0.027 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行立方运算即可得到答案； （2）原式先将变形为，然后再进行平方运算即可； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】乘方运算的符号规律、数字类规律探索 【分析】（1）不难看出奇数项是正数，偶数项是负数，其数字部分是，据此进行作答即可； （2）第②行的数是第一行对应的数减去2，第③行的数是第①行对应的数除以，据此即可求解； （3）根据（1）（2）的规律，写出每行的第10个数再相加即可． 【详解】（1）解：∵∴第①行的第8个数是， 第n个数是； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴第②行的第n个数是； ∵， ∴第③行的第n个数是； 故答案为：；； （3）解：根据题意得：第①行的第10个数是，第②行的10个数是，第③行的第10个数是， ∴这三个数的和为 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的乘方，解答的关键是分析清楚所存在的规律． 17．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 18．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　　 ，　　 ； (2)你认为当输入数等于　　 时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出　　 数； (4)有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　　 （用含自然数n的代数式表示）． 【答案】(1)1，2； (2)0（5、10、15…，5的倍数均可）； (3)负； (4)． 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了数值转换，倒数、相反数、绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得到输出结果； （2）当输入数字为0得到结果为0； （3）数值转换机不可能输出负数； （4）根据数值转换机的规律表示出结果即可． 【详解】（1）解：若输入的数字为4时， ∵，则， ∵，则的相反数为1， ∵为正数，则倒数为1，输出结果为1， 若输入数字为7时， ∵，则， ∴相反数为， ∴的绝对值为2，输出结果为2， 故答案为：； （2）解：根据题意得：输入数字为（，5的倍数均可），结果为0， 故答案为：（，5的倍数均可）； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负； （4）解：归纳总结得：小明输入的正整数是， 故答案为：． 19．阅读下列材料，并解决下面的问题: 我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若则叫做以为底的对数，记为，且具有性质： 其中且 根据上面的规定，请解决下面问题: (1) _______ ；(请直接写出结果) 已知，则______；（用含y的代数式来表示） (2)已知请你用含m的代数式来表示n，其中(请写出必要的过程). 【答案】(1)1；2； (2) 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】（1）根据乘方逆运算的法则解答即可； （2）先将所求的式子变形为，再根据乘方逆运算的法则求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：1；2；； （2）∵， ∴ . 【点睛】本题考查了有理数的乘方，正确理解乘方逆运算法则是关键. 20．综合与实践 古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天、一年个月、一小时分钟的记时方法。某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 规定当时，． 如：； . 【解决问题】 任务一、将表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。 ________． 任务二、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）： ； ________． 任务三、已知年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到本年6月日的天数，并判断6月日是星期几．（天数算法举例：年1月1日至本年1月6日的天数为6天） 【答案】任务一、；任务二、；任务三、见解析，星期三 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的运算，掌握进制之间的转换方法，是解题的关键； 任务一：根据二进制的表示方法，进行作答，即可求解； 任务二：仿照十进制的加减法转化为二进制的加减方法，进行求解即可； 任务三：先算出总天数天，再将十进制转化为二进制，再把天减去1月1日到1月5日共5天，还剩天，再根据一星期7天，进行作答，即可求解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）1月：天，2月：天，3月：天，4月：天，5月：天，6月：天， 总天数：天（十进制）， ∴1月1日到6月日总天数为天， 七进制：， ∵1月1日是星期三， ∴1月1日到1月5日是星期三到星期日， ∴（天）， ∵， ∴可得年6月日仍为星期三． B 抓核心 三大题型提升练 A 夯基础 四大题型提分练 C 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 试卷第20页，共41页 试卷第1页，共41页 学科网（北京）股份有限公司 $