第8节 专题：夹角的范围与探索性问题大题专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第八节 专题:夹角的范围与探索性问题大题专练 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 学科网（北京）股份有限公司 ▍练题型 空间夹角的探索性问题 1 【练习▪1】如图,梯形中,, ,,四边形为矩形,平面平面,. （1）求证:平面; （2）线段上是否存在点,使平面与平面所成锐二面角的平面角满足？若不存在,请说明理由;若存在,求出的长度. 【练习▪2】如图,多面体中,为正方形, 平面. （1）求证: （2）在线段上是否存在点,使得直线与所成角的余弦值为？若存在,求出点到平面的距离,若不存在,请说明理由. 【练习▪3】（2024·广西模拟预测）如图,在四棱锥中,,,四边形是菱形,,是棱上的动点,且. （1）证明:平面. （2）是否存在实数,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【练习▪4】如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,, 底面ABCD, ,点E为棱PC的中点. （1）证明:平面PAD; （2）在棱PC上是否存在点F,使二面角的余弦值为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由. 【练习▪5】（2024·山东高三练习）如图,已知四边形和都是直角梯形,,, ,,,,且二面角的大小为. （1）证明:平面平面; （2）棱上是否存在点,使二面角的大小为,若存在,请求出点的位置;若不存在,请说明理由. 【练习▪6】（2023·辽宁三模）如图,三棱锥中,,,,,点D为BC中点. （1）求二面角的余弦值; （2）在直线AB上是否存在点M,使得PM与平面PAD所成角的正弦值为,若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 【练习▪7】如图2,在中,,, .将沿翻折,使点D到达点P位置（如图3）,且平面平面. （1）求证:平面平面; （2）设Q是线段上一点,满足,试问:是否存在一个实数,使得平面与平面的夹角的余弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【练习▪8】（2024·宁夏）在直三棱柱中,,,分别是,的中点,,为棱上的点. （1）证明:; （2）是否存在一点,使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在,说明点的位置,若不存在,说明理由. 【练习▪9】（2024·四川成都）四棱锥中,已知,, ,,,是线段上的点. （1）求证:底面; （2）是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【练习▪10】如图所示,在三棱柱中, ,侧面是正方形,二面角的大小是. （1）求到平面的距离. （2）线段上是否存在一个点D,使直线与平面所成角为？若存在,求出的长;若不存在说明理由. ▍练题型 求空间夹角的取值范围问题 2 【练习▪11】（2012·浙江高二）如图,在梯形中,,,,四边形为矩形,平面,. （1）证明:平面; （2）设点在线段上运动,平面与平面的夹角为,求的取值范围. 【练习▪12】（2023·江西）如图,在四棱锥中,平面 是棱的中点. （1）证明:平面. （2）若,点在棱上,求平面与平面夹角的余弦值的最小值. 【练习▪13】（2023·宁夏银川模拟）如图,在四棱锥中,已知,. （1）求证:; （2）若平面平面,,且,,二面角大小为45°,点E是线段AP上的动点,求直线EB与平面PAD所成角的正弦值的最小值,并说明此时点E的位置. 【练习▪14】（2024·河北）如图,四棱锥的底面为正方形,底面.设平面与平面的交线为l.   （1）证明:l⊥平面; （2）已知,Q为l上的点,求PB与平面所成角的正弦值的最大值. 【练习▪15】（2024·海南海口）已知四棱锥的底面为矩形,,过作平面,分别交侧棱于两点,且. （1）求证:; （2）若是等边三角形,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【练习▪16】（23-24高三·天津南开期末）如图,在正方体中,为棱上一点（不含端点）,为棱的中点. （1）若为棱的中点, （i）求直线与平面所成角的正弦值; （ii）求平面和平面的夹角的余弦值; （2）求直线与所成角余弦值的取值范围. 【练习▪17】（24·青岛）如图,在三棱柱中,与的距离为,, . （1）证明:平面平面ABC; （2）若点N在棱上,求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值. 【练习▪18】如图,三棱柱中,棱的中点分别为在平面内的射影为D, 是边长为2的等边三角形,且,点F在棱上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系,解答下列问题:   （1）若点为棱的中点,求点到平面的距离; （2）求锐二面角的余弦值的取值范围. 【练习▪19】如图,在长方体中, ,点在棱上移动. （1）当点在棱的中点时,求平面与平面所成的夹角的余弦值; （2）当为何值时,直线与平面所成角的正弦值最小,并求出最小值. 【练习▪20】如图,在多面体中,四边形是正方形,,,M是的中点. （1）求证:平面平面; （2）若平面,,,点P为线段上一点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【练习▪21】（2024·四川）如图,在多面体中,四边形为菱形,平面平面,平面平面是等腰直角三角形,且. （1）证明:平面平面; （2）若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围. 【练习▪22】（2024·四川达州二模）如图,在直角梯形中,,,,把梯形绕旋转至,,分别为,中点. （1）证明:平面; （2）若,求二面角余弦的最小值. $第八节 专题：夹角的范围与探索性问题大题专练 重点题型专练 【1】(1)证明见解析(2)存在，√5 解析：(1)因为ABIICD,AD=DC=CB=2,∠DAC=30°， 所以∠DCA=30°，∠ADC=120°，故 ∠DCB=120°，∴.∠ACB=∠DCB-∠DCA=120°-30°=90， 所以BC⊥AC,又因为平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE平面 ABCD=AC,BCC平面ABCD: 所以BC⊥平面ACFE: (2)以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设FM=m,0≤m≤2√5，则 A25,0,0,B(0,2,0),M(m,0,1),AE=(-2√5,2,0，AM=（m-2√5,0,1 设平面ABM的法向量为=(x,y,=), 2,AB=0 -2√5x+2y=0 ,证=o可得： (m-2W5x+s=0' 令x=1,则=(5,2W5-m),取平面8CF的法向量为m=1,0,0) 1 osm-丽4+2N5-m 7,解得：m=√5或m=35 由于0≤m≤2W5,故m=5,即：M的长度为√5 A B 【2】(1)证明见解析(2)√2 解析：(1)因为四边形ABCD为正方形，DE1平面ABCD 如图以D为原点，分别以DA,DC,DE的方向为x,八，二轴的正方向，建立 空间直角坐标系， 则4eaoa4〔eo0)20cQ2oQa222时 所以4c-(←2o0,亚-22） 所以AC.EF=-2×2+2×2+0=0, 所以AC⊥EF,所以AC⊥EF (2)设线段DE上存在一点G(0,0,h),0≤h≤2，使得BG与AD所成角的 余弦位为子 则BG=(-2,-2,h),又AD=(-2,0,0) 所以os8G,A可 4 2 V8+炉×2亏，解得=1（负值舍去）， 所以存在G(0,0,)满足条件 所以4石=(20，依题意可得C=(2.20),亚-02 设n=(x,,）为平面ACF的法向量， [AC,i=-2x+2y=0 下.后=2y+片=0，设xL,可得元=1,4)。 2 所以点G到平面ACF的距离为 同3万 =√2 【3】(1)证明见解析(2)存在实数2=子，理由见解析 解析：(1) 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC 因为BD⊥PC,AC,PCC平面PAC,且AC∩PC=C,所以BD⊥平面 PAC. 因为PAC平面PAC,所以BD⊥PA. 因为PB=√2AB=√2PA,所以PB2=AB2+PA2,即AB⊥PA 因为AB,BDc平面ABCD,且AB∩BD=B,所以PAL平面ABCD, (2) 取棱CD的中点F,连接AF,因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， 所以△ACD为等边三角形，故AF⊥CD, 又PA⊥平面ABCD,AB,AFC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AF,故AB,AF,AP两两垂直， 故以A为原点，分别以A五，A下，A下的方向为x,y,=轴的正方向，建 立空间直角坐标系 ZA p D f 设AB=2,则A(00,0),c15,0,D(-15,0,P(0,0,2), 故AC=(（1V3,0,PD=（-1,√3，-2，AP=(0,0,2), 所以A正=AP+P亟=AP+P而=(，51,2-22， 设平面ACB的法向量为万=(x,y,), 员.AC=x+V5y=0 则 反.A巫=-x+V5y+(2-2):=0 令=6，得=5-152 1-2 平面PAB的一个法向量为m=(0,L,0),设面PAB与面ACE所成的锐二 面角为 则cos6-osi, 反，刷 219 园 322 19 4+-22+1 整理得3+22-10，解得4=写或=-1（舍去）。 故存在实数=片，使得面2A8与面4Cg所成锐二面角的余弦值是 2W19 1 【1证期见解行a)体，器号 解析：(1)在PD上找中点G,连接AG,EC,如图： >C ,G和E分别为PD和PC的中点 :8G11cD,且8G=cD, 又，底面ABCD是直角梯形，CD=2AB,AB/1CD ,∴，AB//GE且AB=GE.即四边形ABEC为平行四边形 .AG//BE, :AGC平面AD,BE∠平面PAD, .BE//平面PAD: (2)因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD, 以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线 为二轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2,PC=(2,2,-2 由F为棱PC上一点，设PF=2PC=(22,22,-22),0≤2≤1 AF=AP+PF=(21,22,2-22),AD=(0,2,0） 设平面4D的法向量为n=(a,b,c), 由/正0 a·AD=0 可得 2a+25+2-22=0,解得：b=0, 12b=0 令c=2,则a=1-1,则万=(2-1,0,2)， 取平面ADC的法向量为m=(0,0,1), 则二面角F-AD-C的平面角&满 足：lcos4= _V10 同同2-+2 10 解得：8+2-1=0，解得：A=或=-（合去）， 2 故行在满足条件的点只此时瓷-号 【5】(1)证明见解析(2)存在点M,使得二面角M-BC-F的大小 为45°，AM=7AE 解析：(1)因为四边形ABCD和EFCD都是直角梯形， 所以DC⊥CF,DC⊥CB,且CF∩CB=C,CF,CBc平面BCF 所以，DC⊥平面BCF 因为DCC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面BCF (2)过点E、D分别作直线DC、AB的垂线EG、DH垂足为G、H 由已知和平面几何知识易 知，DG=AH=2,∠EFC=∠DCF=∠DCB=∠ABC=90°， 则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，所以在Rt△EGD和Rt△DHA 中，EG=DH=2V3 假设在AE上存在点M,使得二面角M-BC-F的大小为45° 由(1)知DC⊥平面BCF,则∠BCF是二面角F-DC-B的平面角 所以∠BCF=60°，所以△BCF是正三角形. 取BC的中点N,则FW⊥BC,又FWC平面BCF 所以W⊥平面ABCD,过点N作AB平行线WK 则以点N为原点，K,B、F所在直线分别为x轴、y轴、=轴建 立空间直角坐标系N-x 设AM=2AE(0≤2≤1)，则 A5,5,0),B(05,0）,C(0,-V5,0),1,0,3), 则M5-4,5-5,3,则BM=5-4元-5,32，C=(0,-25,0) 设平面BC4的法向量为元，=(x,y,=), 由ac=0 由民-0得{6-453无0取-ag -2W3y=0 又平面BCF的法向量=(L,0,0),所以 c0s450=」 回 1 (42-5)2 1+32 整理化简的7以-402+25=0，解得A=号或2=5（舍去） 所以存在点M,使得二面角M-BC-F的大小为45°，且AM=证 L'G 【6】(1)_5(2)存在，M是AB的中点或A是MB的中点。 6 解析：(1)，PC⊥AC∴.∠PCA-90, .'AC=BC,PA=PB,PC=PC, ∴，△PCA≌△PCB ∴.∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥BC 又AC∩BC=C,AC、BCC平面ACB ∴，PC⊥平面ACB,∴.PC,CA,CB两两垂直 故以C点为坐标原点， 分别以CB,CA,CP所在直线为x轴，y轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图， B 则C(0,0,0),A(0,2,0),D(10,0),P(0,0,2), AD=(1-2,0),PD=(1,0,-2), 设平面PAD的一个法向量n=(x,y,), 则在而=-2=0 取x=2,得=(2,1,1) 7.PD=x-2==0 易知平面PDB的一个法向量为CA=(0,2,0) ∴(a网语 设二面角A-PD-B的平面角为6， ”8是钝角，“c0s0=-5 6 (2)存在，M是AB的中点或A是MB的中点 由(1)知，设AM=AB,则M(22,2-22,0), PM=(22,2-22,-2),i=(21,1, (@e-4g3 2 解得2=号或2=-1， ,M是AB的中点或A是MB的中点. 【7】(1)证明见解析(2)存在，m=2 解折：(1)在△4BC中，由余弦定理得AC=52+P-2x5×1x51, 2 AC2+BC2=12+V5=4=AB2, .CB⊥CA 过点A作AM⊥PC交PC于点M,如图所示 又平面PAC⊥平面PBC,且平面PAC∩平面PBC=P℃ 由AMC平面PAC, 所以AML平面PBC,又BCC平面PBC 所以AM⊥BC,又BC⊥AC,ACOAM=A 所以BCL平面PAC,又BCc平面ABC, 所以平面PAC⊥平面ABC. (2)由题知DA⊥AC,即PA⊥AC, 由(1)知PA⊥BC,且AC∩BC=C PA1平面ABC,所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， .)n2o.c Ag=Ap+P0=P+mP西=(0.0，)+m0,2,V5)=(0,2m,V51-m 设，=(，y,)为平面QAC的法向量， 由1CC=0N5+y=0 n1Ag n.AO=02my+3(1-m)=0 令=5得可-16) 又易得平面PAB的法向量为24,0,0)， 由9 上 ，（2m 4 m=月 V+I) 故存在实数m=使得平面Q4C与平面PAB的夹角的余弦值为互 【8】(1)证明见解析(2)存在一点D,且D为4B中点，理由见解析 解析：(1)因为AE⊥AB,4B,/1AB,所以AE⊥AB, 又因为直三棱柱ABC-A,B,C中，AA⊥AB 又A4∩AE=A,A4,AEC平面AACC1,所以AB⊥平面AACC, 又ACC平面AACC,所以AB⊥AC 所以AB、AC、A4两两垂直， 故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题知，AA1=AB=AC=2, 所以A(0,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),4(0,0,2,B(2,0,2) 设D(xoyo,),且AD=4码且AE[0,1], 即(。-2)=2(2,0,0)，则D(22,0,2）, 所以DF=1-22,1-2),又AE=(0,2,1)， 所以DF.AE=2-2=0,所以DF⊥AE (2)存在一点D,且D为AB中点，理由如下： 由(1)易知，平面ABC的一个法向量m=(0,0,1) 设平面D驱F的法向量为=(y),丽=(-11)，D丽=1-221-2)， 则丽=0 「-x+y+5=0 4日丽=0即{-2+y-2:=0 令x=3,则y=1+21,==2-21,所以n=(3,1+22,2-22), 因为平面D驱F与平面A8C的夹角的余弦值为 14 所以成 同4，即7 2-2月 14 9+(1+22)°+(2-22)3 14, 解得人=或4=子（金去）， 所以当D为A,B,中点时，符合题意 【9】1)证明见解折2)存在多二-号 解析：(1)在△ADC中，AD=DC=1,∠ADC=90°， 所以AC=√AD2+DC2=V1+I=√2 在△ABC中，AC=√2，AB=2,∠BAC=45°， 由余弦定理 有：8C2=AB2+AC2-2AB4 4C.co45°=4+2-2x2x2×5 =2, 2 所以，AB2=AC2+BC2,所以∠ACB=90°， 所以BC⊥AC, 又因为BC LPA,PA∩AC=A,PA、ACC平面PAC,所以，BC⊥平面 PAC, 因为PCC平面PAC,所以，BC⊥P℃， 在△PAC中：AC=√2，PC=2,PA=V6,则PA2=AC2+PC2, 所以，PC⊥AC, 因为AC∩BC=C,AC、BCC平面ABCD 所以PC⊥面ABCD. (2)因为PC⊥平面ABCD,AB⊥AD,以点A为坐标原点， AD、AB、CP的方向分别为x、y、=轴的正方向建立如下图所示 的空间直角坐标系 则有A0,0,0)、B(0,2,0)、C11,0)、DL,0,0)、P(112) 设BE=2BP=20,-1,2)=(2,-2,22),其中0≤≤1， 则A正=AB+BE=(2,2-1,22AC=L,L,0)AP=4,1,2) 7.A正=2x+(2-A)y+2=0 设万=(：，y,)为面4C的法向量，则有 AC=x+y=0 取x=-1,则y=2,二=1-1， 所以，平面E4C的一个法向量为n=(-2,2,1-1), 设2A与平面AC所成的角为ae0,7/ cosa=5 A,才 由题意可得cosA卫， |22-2 a同6×√+2+(2-)3' 可得3+2-1-0，因为0≤2≤1，所以4=号 因此，存在点8使得2A与平面AC所成角的余弦值为5，且 器 【10】(1)5:(2)存在，AD= 解析：(1)记8C,BC的中点分别为F,E, 由BB,C,C是正方形可知EF LBC, 又AB=AC=√5，所以AF⊥BC, 因为二面角4-80-马的大小是行，所以∠APE= 由三棱柱性质可知，EF∥AA,EF=AA,所以四边形A4EF为平行四边 形， 所以A4r=号 因为EF⌒AF=A,EF,AFC平面AAEF,所以BC⊥平面AAEF, 又BCC平面ABC,所以平面ABC⊥平面AA,EF, 作AG⊥AF于点G, 因为，平面ABCO平面A4,EF=AF,AGC平面AA,EF 所以AG⊥平面ABC,所以AG即为所求， 所以4G=Am-2×5=5. 2 (2)以风，F丽的方向分别为x,y轴的正方向，过点F作垂直于平面ABC 的直线为轴，建立空间直角坐标系， 易知，AF=√AB2-BF2=2, 则A(2,00),A(10,V5,C(0,-1,0),B(0,10),8(-11V5 则AA=（10,5Ac=（2,-1,0),函=(2-10)，A=（-3,15 设AD=AB 则8D=函+AD=BA+A,=(2,-1,0)+-3,15=(2-3,2-1,52, 设n=(x,,)为平面ACC4的法向量， 则ci=-2-y=0 +。取=6，得-52，到 记直线8D与平面4CCA所成角为90s0≤到 则s血0=kos而， D.才 - 同Vi32-142+5 5 12 V-列-列+13 4 己即时，疗为3取得最办值4。 4 12 故sme≤5 2 所以，当A=号时，直线BD与平面4004所成角为号 ,13 所以AD=,1 13 【11】(1)证明见解析(2) 「1 72 解析：(1)在梯形ABCD中，因为 AB//CD,AD DC=CB=1,ZABC=60 所以AB=(1×cos60°)×2+1=2，所以 AC2=AB2+BC2-2AB,BC.c0s60°=3， 所以AB2=AC2+BC2,所以BC⊥AC 因为平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE平面ABCD=AC 因为BCC平面ABCD,所以BC⊥平面ACFE (2)由(1)可建立分别以直线C4A,CB,CF为x轴，y轴，=轴的如 图所示的空间直角坐标系， 令FM=20≤2≤5)，则C(00,0)4(V5,0,0,B0,10),M(20,1) .AB=(-√3,10)，BM=(2,-1,1). 设万=(x,y,=）为平面MAB的一个法向量， 迪任20取1周66-小 :m=(L,0,0)是平面FCB的一个法向量 1 cos8=丽+3+(5-x12-V6,】 :0≤2三5，当=0时，o0有最小值5 当A=5时，co0有最大值子 【12】(1)证明见解析(2) 6 解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,且BCC平面ABCD,所以 PA⊥BC 因为AD11BC,且AD LAB,所以BC⊥AB. 因为PA,ABC平面PAB,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB. 因为AEC平面PAB,所以BC⊥AE. 因为PA=AB,E是棱PB的中点，所以AE⊥PB, 因为PB,BCc平面PBC,且PBO BC=B,所以AB⊥平面PBC （2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP的方向为x,”,二轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系 B支 因为AD=1,所以A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,10)P(0,0,2),则 AD=(0,1,0),PC=(2,2,-2),PD=(0,L,-2), 因为点F在棱PC上，所以PF=2PC=(22,22,-22), 则F(22,22,-21+2),故AF=(22,22,-21+2) 设平面ADF的法向量为m=(1,) m4D=y,=0 aA=2+2+(22+25=0令=-1，得m=(-10). 则 设平面PCD的法向量为n=(y,), a.PD=y2-2=2=0 则2+22=0令51，得万=-2). 设平面ADF与平面PCD的夹角为O, 则 动 1 同园丽√2-2+2×+4+五 因为0≤21，所以上< 2 -6 3 所以6 6 3 故平面ADF与平面PCD夹角的余弦值的最小值为 6 【13】1)证明见解析：(2)5，g与P重合 2 解析：(1)证明：取AC的中点O,连接OB,OP, ,在△PAC中，PA=PC,QA=OC, ∴.QP⊥AC, 同理可在△ABC中，AB=BC,QA=OC， ∴，OB⊥AC,,QP∩QB=O,OP,OBC平面OPB, ,∴，AC⊥平面POB,,PBC平面POB ∴，PB⊥AC: (2)因为平面P℃D⊥平面ABCD,交线为CD,又∠ABC=90°，ABIICD, 所以BC⊥CD,BCC平面ABCD, 所以BC⊥面PCD,PCC面PCD, 所以BC⊥PC,故∠PCD为二面角P-BC-D的平面角，∠PCD=45° 以C为原点，以CD为x轴，以CB为y轴，建立如图所示的坐标系， B 则P(2,0,2)4(2,2,0),B(0,2,0),D(1,0,0), 设E(x,,=）,PA=(0,2,-2）,PE=(x-2,y,-2) 设P亚=PA,2e[0,], 则(x-2,y,=-2)=2(0,2,-2）,所以E(2,22,2-22) 所以BE=(2,22-2,2-22), 设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,=) A=(0,2,-2,PD=(-L,0,-2),则 [2y-2==0 -x-2==0 令y=1,可得n=(-2,11), 所以直线EB与平面PAD所成角6的正弦值为 n6=csE,y-4+21-2+2-2 √6.V4+82-1 V6.V4+8(2-)2 因为2[0，，所以，当A=0时，血日取得最小值互 3 即直线B与平面AD所成角的正弦值的最小值为互，此时1=0，E 3 与P重合 【14】(1)证明见解析：(2)y6 3 解析：(1)在平面PAD内过P作直线111AD,由AD11BC,得l/1BC 即！为平面PAD和平面PBC的交线， 因为PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,则PD⊥BC 又BC⊥CD,CD∩PD=D,于是BC⊥平面PDC, 所以I⊥平面PDC ZA (2)显然直线DA,DC,DP两两垂直，以D为原点，直线DA,DC,DP分别 为x,,二轴建立空间直角坐标系D- 则D(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0) 设Q(m,0,2)(m>0),D9=(,0,2),PB=(2,2,-2),DC=(0,2,0) DC=26=0 设平面QCD的法向量为n=(a,b,c),则 a.D0=ma+2e=0' 令a=-2 得n=(←2,0，m), 令PB与平面QCD所成的角为6，则 sim8cos,PB)=n·P题」 2m+4 1n‖PB12√5，√m2+4 m+2 √5m2+4+4m_V5 4 3,46 √5.Vm2+4 3Vm2+4 3 3V43 当且仅当m=2时取等号， PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为5 3 【15】(1)证明见解析(2)0.正 解析：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD 又ABC平面PAB,CDT平面PAB,且AB∥CD 所以CD∥平面PAB. 因为CDc,平面PAB a=MN,且CD∥平面PAB 所以CD∥MN,且MN⊥PA,所以CD⊥PA 因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD 又PAC平面PAD,ADC平面AD,且 PAO AD=A,CD⊥PA,CD⊥AD, 所以CD⊥平面PAD,且PDC平面PAD 所以CD⊥PD. (2)设AD,BC中点分别为O,E, 因为△PAD是等边三角形，所以PO⊥AD 因为四边形ABCD是矩形，点O,E分别为AD,BC的中点， 所以OE⊥OD,且OE∥CD. 由(1)可知，CD⊥平面PAD, 又POC平面PAD,所以CD⊥PO,所以OE⊥PO 以O为原点，OE,OD,OP的方向分别为x轴，y轴，=轴的正方向建立 空间直角坐标系O-二， 则P0,0,V3,B,-1,0),c1,L,0),D(0,10) 设PM=P0<2≤1)，则pw=(2--5,所以M(2,-,5-√5： 设平面4的一个法向量为7=(xy,z), 又c⑦=(-10,0)，c☑=(2-1-1-1，V5-5,PG=11-5, -x=0 由 C西i=0,得： CM.=0, (2-1)x-(2+)y+V30-)==0 不妨取=1+1，可得平面a的一个法向量为i=(0V5-√5元，2+1) 设直线P℃与平面u所成的角为日 则sim0=cosPC,月 PC. 2W3 Pc同 2√5，√22-+1 设f() √22-月+1 则()= 1 22-1+1 22-2+1 因为0<≤1，所以21，所以0<()1， 所以0<sim6≤西 所以直线P℃与平面口所成角的正弦值的取值范围为o,5 【16】(1)(i) 9:m9e- 3 3 解析：(1)在正方体ABCD-A,B,C,D中以DA,DC,DD,分别为x,,=轴 建立空间直角坐标系，如图所示 设正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为2， 若E为棱AB,的中点，则 E(2,1,2)F(L2,0),B(22,0),4(2,0,2),C(0,2,2) 所以AC=(-2,2,0)）,BA=(0,-2,2),F厘=(1-1,2) (i)设平面A,BC,的一个法向量为7=(x,y,z), 则厅0即+=0令，则后. n.BA=0,-2x+2==0, 设EF与平面A,BC,所成角为a,则有 sima=kos元，F 2√ 园3 31 故直线F与平面43C所成角的正弦值为巨 (i)易知平面AC的一个法向量为m=(0,0,1), 设平面ABC,和平面AC的夹角为P,则有 cosp-cos(杭，非历：=1=VE 1m1√33 故平面48℃，和平面4C的夹角的余弦值为5 3 (2)设直线EF与AC所成角为日，E(2,m,2)(0<m<2),则 F距=(（1，m-2,2) 所以 AG.FE 2m-6 cos0=cosAC FE= 4C可F@22Vm-2y+5 m2-6m+9 2 √2Vm2-4m+92 m+2-4 m 9、5 2 因为0<m<2,所以m+ m,即5 <1 m+9-4 ,于是有 2 <】 5 4 m+9-4 10 1 所以10√互 -2< 2,即0 m+ 10 2 m 故直线歌与4G所成角余弦值的取值范围为D, 102 【17】(1)证明见解析(2)2 7 解析：(1)取棱AA中点D,连接BD,因为AB=A,B,所以BD⊥A4 因为三棱柱ABC-A,B,C1,所以A4,11BB, 所以BD⊥BB,所以BD=√3 因为AB=2,所以AD=1,A4=2: 因为AC=2,AC=2V2,所以AC2+A4=A,C2,所以AC⊥AA1 同理AC⊥AB, 因为AA门AB=A,且A4,ABC平面A,ABB,所以AC⊥平面AABB, 因为ACc平面ABC, 所以平面AABB⊥平面ABC: (2) B 取AB中点O,连接A,O,取BC中点P,连接OP,则OP11AC 由(1)知AC⊥平面A,ABB,所以OP⊥平面AABB, 因为A,O平面AABB,ABC平面AABB, 所以OP⊥AO,OP⊥AB, 因为AB=AA=A,B,则AO⊥AB 以O为坐标原点，OP,OB,Q4所在的直线为x轴、y轴、二轴，建立如 图所示的空间直角坐标系O-x, 则A(0,-1,0),4(0,0,V5),B,0,2,V3),C(2,-10), 可设点N=(a,0,5),(0≤a≤2)， A=(0,20),4C-(2,-1-5),A=a,15 设面49的法向量为=，得。0,5 取x=√3，则y=0,二=2，所以n=(W3,0,2) 设直线AW与平面A,B,C所成角为日， 则血0=ko<元aw AN 3 a+2 同园V万a2+4 3 (a+2}_52+4a+4 V万^Ya+4万*a2+4 若a=0,则sin0= 7 若a0,则m4点，4 V分 a+方×+4 7 当且仅当a= 4,即a=2时，等号成立， 所以直线AV与平面48C所成角的正弦值的最大值厘 7 【18】(1) 3W5 157 (2)22J 解析：(1)连接DC,依题意可知DC,⊥平面ABC, 由于AC,BDC平面ABC,所以DC⊥AC,DC,⊥BD, 由于三角形ABC是等边三角形，所以BD⊥AC,BD=√22-P=√，又 DG=VF= 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， C A 则caaj.cao69a5. 02 又函-西-(1v0放a15同.}9 则医传9}，西-v叭， 设平面BD驱的法向量为m=(,y),， 则顶宁+要=0故可设丽a】 m-D8=5y=0 又丽=传5，所以点P到平面s的距离为 221 厨的 同2 4 (2)设CF=C8(0≤2≤1)，Cq8=（1,V5,0). 则D-DG+CF-DG+C8=(0,05)+2-15,0)=(,55), 设平面BDF的法向量为n=(乃) 低i心a-a小 设锐二面角F-BD-E为6， m.n 则cos0 -3+=上.3-元-1B- 同2x+23+元=2V+3 令3-=tte[2,3] 所以0s6 2 2V12-6+2 112 _6+1 ，则cos=1 2V1252-63+1 次函数y=122-6s+1=123-4+4的开口向上，对称轴为3= 4 所以当：}时，该二次函数单调递增， 32 所以当9=号时，该二次函数有最小值12× 1 -6×1号 3 当：=宁时，该二次函数有最大值12× 1） -6 1+1=1 2 1 所以 ∈L√3，即cos [13 V122-6s+1 22 所以锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围 1V3 22 【19】(1) 6 (2)当AB=2时，直线A,D与平面DEC所成角的正 弦值最小，最小值为0 解析：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线为坐标轴建立如图所 示的空间直角坐标系， Z D E B 当点E在棱AB的中点时，则 D(0,0,1),E(1,10),C(0,2,0),D(0,0,0),A(L0,0) 则ED=(-1,-1,),EC=(-1,1,0),DA=4,0,0) 设平面DEC的一个法向量为n=(,y,), ED=-x-y+5=0 则 ,令x=1,则y=1,==2 厅8C=-x+y=0 所以平面DEC的一个法向量为n=(L,12), 又平面DCD的一个法向量为DA=L0,0), DA 所以cos DA,n 1V6 D网同1+1+4×16 所以平面AC与平面DCD,所成的夹角的余弦值为5 6 (2)设AE=m, 则D(0,0,1),E1m,0),C0,2,0),D(0,0,0),A,(L,0,1), 则ED=(-1,-m,1),EC=(-12-m,0),(0≤m≤2)，DA=0,0,1) 2 D C D E B 设平面DC的一个法向量为n=(c,y,=) ED=-x-y+==0 =-x+2-m=0令y=1,则x=2-m=2, 所以平面DC的一个法向量为n=(2-m,L,2) 设直线AD与平面D,EC所成的角为6， 则sin0= InDAI 12-m+2 4-m n州DAV2-mj2+1+4×1+i√2(2-m)2+10 令4-m=te[2,4], 则 1 sin6= V2t-2)2+10√22-8t+18 81 当t=2时，sm6取得最小值，最小值为 5 【20】(1)证明见解析(2)2巨 3 解析：(1)因为BF=DE,BF1/DE,所以四边形BDEF为平行四边形， 故BD/IEF, 又BD口平面CEF,EFC平面CEF,所以BD/I平面CEF: 连接AC交BD于W连接MN,因为四边形ABCD是正方形，故N为 AC中点， M是AE的中点，在△ACE中，有N//EC,MW工平面CEF,ECC平 面CEF, 所以W/I平面CEF,且BDc平面BDM,MWC平面 BDM,BD∩N=N, 所以平面BDM/平面CEF E (2)如图，建立空间直角坐标系，设DE=a,AB=2, 则B(2,2,0),C(0,2,0),F(2,2,a)A(2,0,0),E(0,0,a）,又M是AE的中点 故a引，丽-(1-2}=(a),因为aw1cr, 2 所议亚.G正=-+号=0，解得a=2,设Pk小因点P为线段c四 上一点， 则CP=mCE,m∈[0,1，即CP=(x,y-2,=）=mcE=m(0,-2,2) 故x=0,y=2-2m,5=21,所以MP=（-L,2-2m,2m-1）, 又AF=(0,2,2),AE=(-2,0,2,设平面AEF的一个法向量为 万=（年 则1示.即反正-2%+2与，=0 ,即 a⊥A迈 1AE=-2x+2=0 ,令=1，则x,=1y,=-1, 即n=(1-1,),设直线PM与平面AEF所成角为0、 则sin6=cos7,M= nMP 4m-4 同√5.+(2-2mj+(2m-明 2W6m-2w5 (m-1)2 3V4m2-6m+3 3V4(m-1+2(m-1)+1 (m-1 1 当m1时4(m-+2(m-)+1 12 +21 （m-+2m-+4 m,me[te(m,-1门，所以 设t= 1 1 (m-*2 1) t2+2t+4 1*4 1 当t=-1时2+2t+4) )台所以o59 当m=1时，sin0=0,所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大 值为22 3 【21】(1)证明见解析(2)月力 解析：（1)如图，取AB,CD的中点M,V,连接ME,EN,MF,FM 因为△AEB是等腰直角三角形，故W⊥DC,平面FCD⊥平面ABCD 平面FCDO平面ABCD=CD,FNc平面FCD, 所以FN⊥平面ABCD」 同理，EM⊥平面ABCD 所以FN∥ME. 又△AEB和△CFD是等腰直角三角形，四边形ABCD为菱形，所以 四边形MENF为平行四边形，所以MF∥EV ENC平面CDE,MF丈平面CDE,所以MF//平面CDE, 又因为AB∥CD,CDC平面CDE,ABt平面CDE,所以AB∥平面 CDE, 又AB∩MF=M,AB,MFC平面ABF, 所以平面ABF/平面CDE (2)如图，以A点为原点，AB所在直线为y轴，过A平行于E的直线 为x轴， 在平面ABCD内垂直于AB的直线为：轴，建立空间直角坐标系。 设4a=2<a0=a0e0引 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2+2cos6,2sm0),D(0,2cos82sin0)E1,1,0) 所以AE=(1,1,0),AD=BC=(0,2cos0,2sim0),BE=(1-1,0) 设平面AD驱的一个法向量为元=(y一)， 叫 AE21=x1+y,=0 ADn,2cos0.y,+2sin0.=0 令x=1,得片=-15= cos 号所以可-19》 设平面BCE的一个法向量为n,=(x22,,), 则 BE-n,=x:-y,=0 BC7=2cos0y2+2sm0.2=0 令x2=-1,得2=-L2 sine ,所以=-1-os ”sin0 、sne sin 所以cos(,) sine (sin 设0e引则r-0 (sine) s0， 所以。在月上单运减所以 ,十0 3 所以平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值的取值范围是 【22】(1)证明见解析(2)互 2 解析：(1)证明：设D,C中点为G,连接FG,EG, C ·FC为△CC,D,中位线，FGCD 又CD,C平面CD,A,FGd平面CD,A FG平面CDA, EC为梯形ABC,D中位线，EGMD, 又AD,C平面CD,A,EG立平面CDA, ∴EC∥平面CD,A, :EG∩FG=G,FGC平面EFG,EGC平面EFG, ·.平面EFG∥平面CDA, :EFC平面EFG, EF∥平面CDA (2)以B为原点，以BC,BA所在直线为x,F轴，以垂直于平面ABCD的 直线为二轴，建立如图空间直角坐标系， ∠DAD=∠CBC=0(0<6<π)，不妨设AB=BC=2AD=2, B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,0,2）, 2 ∴.C,(2cos0,2sim8,0),D,(cos0,sin0,2）, 则BA=(0,0,2),BD=(cos0,sim6,2),CA=(-2,0,2),CD=(cos0-2,sim8,2) 设平面AD,C,的法向量为元=(6，一)， BA2=0 25,=0 ·顾瓜=0 即c0s0+ysim6+2,=0 不妨取x=-sim6,.2=(-in6,cos0,0）, 设平面AD,C的法向量为m=(), CA.n=0 即 -2x2+2=2=0 CDn=0 x2(cos6-2)+%2sim0+2s2=0 不妨取=1，则%=1-os） sin sim0、cos20 c0s<1,2>= sine v1+sin20 +1 设二面角C-AD,-C,平面角为a,由图可知&为锐角 ∴cosd= v1+sin0 :0=三时，二面角C-A0~G的余弦最小值为三