第7节 向量法求空间夹角 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第七节 向量法求空间夹角 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:向量法求异面直线所成角 若异面直线所成的角为,其方向向量分别为,则 （两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角关系是相等或者互补） 步骤: （1）选好基底或建立空间直角坐标系; （2）求出两直线的方向向量; （3）代入公式 求解. （4）两异面直线所成角的范围是,两向量的夹角的范围是, 当异面直线方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成角. ［对应练习:题型1］ ▍知识点2:向量法求直线与平面所成角 如图所示,设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,两向量与的夹角为,则有或,所以 ［对应练习:题型2］ ▍知识点3:向量法求平面与平面所成角 （1）在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量,求出其夹角.如图所示,即为所求二面角的平面角. （2）对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以用这两个平面的法向量的夹角来求. 如图所示,二面角,平面的法向量为,平面的法向量为,, 则二面角的大小为或.则二面角大小为. 注意:在利用向量法求二面角时,一定要结合图形判断出二面角是锐二面角还是钝二面角. ▍知识点4:面面角与二面角的区别 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 面面角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 两者的区别主要是取值范围的不同,平面与平面的夹角的取值范围为,二面角的取值范围为.若求得的二面角为锐角,则面面角即为二面角;若二面角为钝角,则面面角为其补角. ［对应练习:题型3］ ▍练题型 求空间线线夹角 1 【典例▪1】三棱柱中,平面平面,,, ,求异面直线与所成角的余弦值. 【练习▪2】（2023·全国高三专题练习）如图所示,在三棱锥中,三条棱两两互相垂直, ,点满足.若,求异面直线与所成角的余弦值. 【练习▪3】（2024·全国模拟）如图,四面体中, 是以为斜边的等腰直角三角形,为等边三角形,且.求AD与BC所成角的余弦值.    【练习▪4】（2024·江西鹰潭一模）如图1,已知正三角形边长为6,其中,,现沿着翻折,将点翻折到点处,使得平面平面,为中点,如图2.求异面直线与所成角的余弦值. 【练习▪5】（2023·南京二模）正三棱柱中,,,为的中点,线段上的点满足,若向量与的夹角小于,求实数的取值范围. 【练习▪6】（2024·广东高二练习）如图,在直四棱柱中,底面是正方形,, ,线段AC上有一动点E.求直线与所成角的余弦值的取值范围. 【练习▪7】如图,在四棱锥P-ABCD中,AP,AB,AD两两垂直,AD＝AP＝4, AB＝BC＝2,AD∥BC,M为线段PC上一点（端点除外）.若异面直线BM,AP所成角的余弦值为,求PM的长.    【练习▪8】（2024·天津南开高三期末）如图,在正方体中,为棱上一点（不含端点）,为棱的中点,求直线与所成角余弦值的取值范围. ▍练题型 求空间线面夹角 2 【典例▪9】如图,四棱锥中,底面为矩形,是等边三角形,平面底面, ,四棱锥体积为,为的中点.求直线与平面所成角的正弦值. 【练习▪10】（2023·高三专题）如图,四棱锥中,底面为矩形,,, 点为棱上的点,且.若,求直线与平面所成角的正弦值. 【练习▪11】（2023·江苏高二专题）如图,已知正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,为的中点,求与平面所成角的正弦值. 【练习▪12】（2023·全国高三专题）如图,在直棱柱中,,, 分别是,,的中点.求AE与平面DEF所成角的正弦值. 【练习▪13】（2023·青岛高二期末）如图,在边长为2的正方体中,为的中点. （1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【练习▪14】（2024·重庆高三阶段练习）如图,斜三棱柱中,底面是边长为的正三角形,侧面为菱形,且. （1）求证:; （2）若,三棱柱的体积为24,求直线与平面所成角的正弦值. 【练习▪15】（2024·河北高二期中）如图,在四棱锥中,底面,,底面ABCD为直角梯形,,, ,点E在棱PA上,且. （1）证明:平面EBD; （2）求直线PD与平面EBD所成角的余弦值. 【练习▪16】（2023·成都高二期末）如图所示,在四棱锥中,底面是矩形,若, ,. （1）证明:平面平面; （2）若分别是的中点,动点P在线段EF上移动,设为直线BP与平面ABCD所成角,求的取值范围. 【练习▪17】（2024·山东高二）如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,底面为菱形, ,,. （1）设平面与的交线为,求证:; （2）若点在棱上,且直线与平面所成角的正弦值为,求. 【练习▪18】（2024·辽宁）如图,棱长均为2的斜三棱柱中,在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处,P为棱（包含端点）上的动点. （1）求点P到平面的距离; （2）若平面,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. ▍练题型 求空间面面夹角 3 【典例▪19】如图,平行六面体的所有棱长均为2,底面是正方形,侧面是矩形,点为的中点,且.求平面与平面的夹角的余弦值.    【练习▪20】（2024·吉林）如图,在四棱锥中,平面平面,, .且. （1）求证:平面; （2）求二面角的余弦值. 【练习▪21】（2023·广东高三上阶段练习）如图,在直三棱柱中,,E为的中点, . （1）证明:. （2）求二面角的余弦值. 【练习▪22】（2024·湖北荆州高二上期末）如图,四棱锥中,为等腰直角三角形,四边形为菱形,,,E,F分别为CD,PD的中点,平面平面. （1）求证:; （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【练习▪23】（2024·衡水高二）如图,几何体中,,,,四边形为矩形,平面平面,. （1）求证:平面平面; （2）点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为,试求的取值范围. 【练习▪24】（2024·黑龙江齐齐哈尔三模）如图,在三棱柱中,平面平面, ,. （1）证明:; （2）求二面角的正弦值. 【练习▪25】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图,现有三棱锥和,其中三棱锥的棱长均为2,三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形,一个面是等边三角形,现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体. （1）求这个组合体的体积; （2）若点F为AC的中点,求二面角的余弦值. 【练习▪26】（24-25高三·河北邯郸考试）如图,已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合. （1）求证:; （2）求二面角的余弦值. 【练习▪27】（2024·全国模拟）在四棱锥中,底面为矩形,点为的中点,且, . （1）求证:. （2）若,点为棱上一点,平面与所成锐二面角的余弦值为,求的值. 【练习▪28】（2023·辽宁高三）如图所示,在五面体ABCDE中,AC⊥平面BCD,ED∥AC,且, . （1）求证:平面ABE⊥平面ABC; （2）求二面角A-BE-C的平面角的取值范围. $第七节向量法求空间夹角 重点题型专练 【1)月 解析：以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所 示的空间直角坐标系 B 则A(W5,0,0),B(0,2,0),A,(N5,15),Q,(0,L5) 所以AB=(-√3,1，-V3),O4=(N3,-1,-V3) 设所求的角为a, 则cosa=4EO4-3-1+3.1 44√7×√57 即异面直线49与Q4所成角的余弦值为月 【2】 14 解析 三棱锥P-ABC中的三条棱AP,AB,AC两两互相垂直， ·以A为原点，分别以AB,AC,AP所在的直线为x轴，y轴，=轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 设AP=AC=a,因为∠PaA=若，则AB=5a c(0,a,0),P(00,a),N5a,0,0,P8=(N3a,0,-a）,AP=(0,0,a), AD=AP+PD=AP+ 4 4 A0.00),4 ,03a 4 3】 4a,-a,4 AB=（V3a,0,0 设异面直线CD与AB所成角为日 CD.AB 则cos6cos(⑦，AB归 √21 园国 d5a 141 Y16 故异面直线CD与AB所成角的余弦值为 14 3】 4 解析：由△ABC为以BC为斜边的等腰直角三角形，得AC⊥AB 又AC⊥BD,且BDOAB=B,BD,ABC平面ABD,则AC⊥平面ABD, 又ACC平面ABC,于是平面ABCL平面ABD,取AB的中点O,连接 DO,由△ABD是等边三角形，得DO⊥AB,而DOC平面ABD,平面 ABDO平面ABC=AB,则DO⊥平面ABC, 以O为坐标原点，直线CA,OD分别为x,=轴，过点O且垂直于平面 ABD的垂线为y轴，建立空间直角坐标系. .B 令AB=2,则 A(1,0,0),B(-1,0,0),C,2,0)bD0,0,5),AD=(←1,0，√3)，BC=(2,2,0), AD.BC 因此cos(AD,BC)= -2 |ADI‖BC2×2W24 所以AD与8C所成角的余弦值为巨 4 【4】13V22 88 解析：取BC的中点为Q,DE的中点为O,连接Ao,Ao,O0, 因为正三角形A8C中，AD=2D店，AE=2BC 所以D18C,DE=号aC,则四边形D8C8为等腰梯形， 故O0'⊥DE,O0⊥BC: :由翻折性质可得A'E=A'D,∠A'EC=∠A'DB,EC=DB, 则△A'EC三△A'DB,A'C=A'B,O是BC的中点，A'O⊥BC 平面A'BC⊥平面DBC,平面A'BC∩平面DBC=BC,A'OC平面A'BC, A'O⊥平面DBC,又OO'C平面DBC,A'O⊥OO 以点O为坐标原点以OC,OO',OA'所在直线为x,y,二轴，建立空间直角 坐标系， 0 因为正△4BC的边长为6，DE11BC,DE-子8C, 则aA'DE为正三角形，边长为4，则A'O⊥DE A'0=2√5,0C=QB=3,00'=5 在△4'o0中，由勾股定理得Q4'=V2√-（列=3， A0a26 o)=(.J5.o)cw.on[到 则而-(2列-（行》 1-3-9 ∴.cos(AD,EM)= A'D.EM 13V22 4·aa 9 88 1 4 :异菌直线所成角的取值范因为引 ·异面直线A'D与M所成角的余弦值为1322 88 【6到 解析：以AC的中点O为坐标原点，OB为x轴建立如下图所示的空间 直角坐标系O-， 则A(0-1,0)、(N5,0,0、C(0,10)、D(0,0,1)、8(W5,0,1, 所以AD=(0,1),8=(0,0,,8C=(5,1- 所以8M=弧+8M=BA+8,C=（52,2,1-2 因为向量与亚的夹角小于45，所以5<os(而，丽)1， 2 V2×V42+1-2 1，解得0<<号 所以实数的取值范是号。 【6】 1311 解析： 以A为坐标原点，以AB,AD,AA1所在直线分别为x,八，二轴，建立空间直 角坐标系， 因为底面ABCD是正方形，AB=2,AA=3 所以B(2,0,3),C(2,2,0),C,(2,2,3),E(m,m,0),0≤m≤1 BE=(m-2,m,-3),c可=(0,0,3)， 故，=V2m2-4m+13， 设直线B,E与C℃，所成角大小为6 故 BE.c可《m-2m,-3)(00,3 co8ko.c网国同 3V2m2-4m+13 3V2m2-4m+13 3 V2(m-}'+11 3 333w1 因为0≤m≤1，所以cos8= V2(m-1+111311 【7】√6 解析：因为AP,AB,AD两两垂直， 所以以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、二轴，建 立如图所示的空间直角坐标系A-, 则由AD=AP=4,AB=BC=2, 得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4) 则PC=(2,2,4),BP=(2,0,4),AP=(0,0,4) 设PM=PC=(22,22,-42),其中2e(0,1), 所以8=B2+PM=(2,0,4）+(22,22-42)=(22-2,22,-42+4). 因为直线4AP所成角的余弦值为 3 BM-AP 所以osBM,A 4×(4-42 6 同4×22-2y+2a对+4-4 3 解得2= ,所以PM=(1,L,-2),故PM的长为V6 (-9 解析：在正方体ABCD-A,B,C,D,中以DA,DC,DD,分别为x,y,5轴建立 空间直角坐标系，如图所示 ZA 设正方体ABCD-AB,CD的棱长为2， 若E为棱A,B1的中点，则F(L,2,0),A(2,0,2),C(0,2,2) 所以4C=(-2,2,0) 设直线EF与AC所成角为6，E(2,m,2)0<m<2),则FE=(1m-2,2). 所以 4G, cos0=cosACFE l2m-6 4CF@22m-2r+5 m2-61+91 2 √2Vm2-4m+9 m 9-4 m m+941,于是有 因为0m<2,所以m+95即2 m 2 m 1 2 <1- -<1 √5 m+ 9-4 m 101 2 V2 所以10 m+ 9-4 2,即 10 <cos0< 2 故直线EF与A,C所成角余弦值的取值范围为 102 102 【9】号 解析：取CD中点为O,AB中点为M,连接OP,OM,因为△PCD是等 边三角形，O为CD中点，所以OP⊥CD, 因为平面PCD⊥底面ABCD,平面PCD∩底面ABCD=CD,QPC平面 PCD,所以OP⊥平面ABCD,又OM,OCC平面ABCD, 则OP⊥OM,OP⊥OC,如图，以O为原点，OM,OC,OP分别为x,y,=轴 建立空间直角坐标系， 又m=4D.c0P=3DC5D0=185,所以bc6 2 周4g-a0ea0oa0,e-0-oav6号 ,所以 设平面PAD的法向量为n=(y,=),又DA=(3,0,0),D严=(0,3,35) D4=03x=0 x=0 6后=06y+5=0之=-：令=1，则=.5， 则 95,35 所以cosi,DE= DE 2 2= 上，则直线DE与平面PAD 刨 2×3V3 所成角的正弦值是； 【10】30 10 解析：由ABCD为矩形可知：BC⊥CD,又因为 BC⊥DE,DE OCD=D, CD,DEC平面PCD,所以BC⊥平面PCD,可知 BC⊥PC,BC=AD=2, PB=3,所以PC=√5，在△PCD中， PC2=PD2+CD2,所以PD⊥CD: 又PD⊥AD,CD∩AD=D,CD,ADC面ABCD,所以PD⊥面ABCD: 故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-(如图)· P头 则C(0,0,0),B(0,2,0),A(12,0),D(10,0）,P10,2), 又在0D中，器=2，则 后》正-(》，-a,西-20. 设面3C的法向量=(，以)，则而=0 CB= 即「2少=0， x+2=0, 故元=(-2,0,1) 设直线DE与面PBC所成角为6， 则血0-lkoD正，25×5 10 3 故直线DE与平面P8C所成角的正弦值为：3y而 10 【11】26 9 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则40a0,M号，c点-i.50a0, 故码=(5号.亚=号，=(9号回， 设平面AMC的一个法向量为n=(x,y,), AC=0 多 AM.=0 之a++vae=0 层+5xe0 令y=2,则：=- ,x=0 2 ·i=02,-5 2 BC,·n -a-a=-2W6 13C,-n a /9 9 设BC,与平面AMC,所成的角为0， 则m0cos<8Ca米25 9 即8℃，与平面AC,所成角的正弦值为26 【1 解析：因为三棱柱ABC-4B,C是直三棱柱， 所以A4⊥面ABC,又AB,ACC面ABC,故A4⊥AB,A4,⊥AC, 因为∠BAC=子，所以AB LAC,则MA.C.A两两垂直 故以A为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,0),E(0,21),F(110),D(10,2), 故AE=(02,1),DF=(0,1-2）,DE=(12,-1), 设平面DEF的一个法向量为m=(x,y,),则 DF.m=y-2==0 DE,m=-x+2y-==0 令=1，则y=2,x=3,故m=(3,2,) 设AE与平面DEF所成角为6，则 正.网4+_√7而 A园V5x4 14 所以AE与平面DEF所成角的正弦值为 14 【13】(1)证明见解析(2) 3 解析：(1)如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),D(2,0,2,E(0,2,1,B(0,2,0),C(2,2,2),4(0,0,2, 所以AD=(2,0,2),AE=(0,2,1),C=(2,0,2), 设平面A0s的法向最为i=(）,则日正=2+=0 a,AD=2x+2==0 取n=(2,1,-2）, 所以7，BC,=2×2+1×0+(-2)×2=0, 所以n⊥BC,又BC立平面AD,E,所以BC,∥平面ADE (2)由(1)可知A4=(0,0,2) 设直线A4与平面AD,E所成角为6，则sim0= A。4=2 网同2x33 所以co0=-m0=5,即直线4与平面AD,E所成角的余弦值 3 为 3 【14】(1)证明见解析(2) 5 解析：(1)取AB中点O,连接A,O,CO,由题知△AAB为正三角形，而 △ABC也是正三角形，A,O⊥AB,CO⊥AB,又AO,COc平面ACO, AO∩C0=O,∴AB⊥平面AC0, A,CC平面ACO,∴.AB⊥AC (244=A8=AC=ao∠44c= 由余弦定理符AC=+AC2-2 Co∠AAC=子 4c-1 2 a,又4o=co=5。 2 AO2+C02=AC2,A0⊥C0 又：AB,COC平面ABC,AO⊥AB,AB∩C0=O, ∴AO⊥平面ABC4,O.COAB两两垂直 以O为原点，以CO,OB,Q4的方向分别为x,y,二轴的正方向建立空间直 角坐标系如图. 因为三棱柱ABC-A,B,C,的体积为 840-944 4 则40，-2,0)，8(0,2,0C(-25,0,0400,25)4F=（25,0-25 cC=A4=(02,2,C西=(25,2,0.设平面C88,C的法向量为 i=(x,y,2） 由西=0 2y+25==0 ,可取元=山，-5，)，设向量i与4C的 n.CB'=02√3x+2y=0 夹角为6 i-4不=-5，小(25,0，-25）-45=525cos0=cos-@ 5 直线4C与平面c8,G所成角的正弦值为面 5 【15】(1)证明见解析(2) 2 解析：(1)，PB⊥底面ABCD,CDC底面ABCD,.PB⊥CD, ,PD⊥CD,PB∩PD=P,PB,PDC平面PBD,.CD⊥平面PBD, .BDC平面PBD,.BD⊥CD, ,底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AB L BC,AB=AD=1, 在直角三角形ABD中，BD=+D=点，A8D=号 在直角三角形c3D中，∠C3D::,8C=BD=2 4 设ACOBD=G,连接AC,EG,则△CBGn△ADG GC BCPPC//EG 又EGC平面EBD,PCt平面EBD,.PC∥平面EBD: (2),PB⊥底面ABCD,BC,BAC底面ABCD,∴，PB⊥BC,PB⊥BA ,底面ABCD为直角梯形，∴，AB⊥BC 以B为坐标原点，BC,BA,BP所在直线分别为x轴，y轴，=轴建立如图所 示的空间直角坐标系B-x, 2 则P(0,0,1),A(0,10),D11,0), .BP=(0,0,1,PA=(0,1-1),BD=1,l0) 正丽+顶丽+额-》 2 设平面EBD的一个法向量为n=(x,y,=),∴， 丽-子y+宁=0 BD=x+y=0 取==2，则x=1,y=-1 则平面EBD的一个法向量为n=1,-1,2), 设直线PD与平面EBD所成角大小为A0∈[0，] 2 西 :P而=(11，-l),∴sim0=co8<PD,n 上斗= 得cos0=m'9= 3 故直线PD与平面EBD所成角的余弦值为万 3 【16】(1)证明见解析：(2) V3V39 413 解析：(1)在0CD中，gc=V5,CD=1,QD=2,∴QC2=QD2+CD2, aQCD为直角三角形且CD⊥QD, 又底面ABCD是矩形，则CD上AD, PD∩AD=D,且均含于面QAD内∴CD⊥平面QAD 又CDC平面ABCD,∴平面QAD⊥平面ABCD: (2)在平面ABCD内，取AD中点为O,过点O作OT∥CD,交BC于 点T,CD⊥AD,OT⊥AD, 由题意可得QO⊥平面ABCD,且OT,ADC平面ABCD, 则OQ⊥AD,OQ1OT,∴直线OQ,OT,OD两两互相垂直， 以O为坐标原点，OT,OD,OQ所在直线分别为x,y,:轴建如图所 示的空间直角坐标系， 则24010.e00.90-10.ca10,a哈号 而=(10,0，亚=35 222) 设EP=1EF(0≤2≤1)， 则亚知（子00，即西+丽-（分识 2222 又O0=(0,03), 则sim0=1.0Q1 √5 18P0@I√2+12+12 ×Aeo.,5≤sm0s5 4 Γ13 BP与平面A8CD所成角的正弦值的取值范围为5巴] 413 【17】1)证明见解析(2)DF=号 解析：(1)因为底面BCDE是菱形， 所以BC∥DE, 因为BCE平面ADE,DEC平面ADE 所以BCI‖平面ADE, 因为平面ABC与平面ADE的交线为1，且BCc平面ABC, 所以I11BC (2)取BC中点O,连接AO,DO,则AO=DO=√3， 所以AO2+D02=AD2 所以AO⊥DO 因为侧面ABC为等边三角形， 所以AO⊥BC 因为BCnOD=O,且BCC平面BCDE,ODC平面BCDE, 所以AO⊥平面BCDE 以点O为坐标原点，OC,OD,QA所在直线分别为x轴、y轴、=轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ZA 4 D方 则4(0,0,5)，B(-l0,0),D0,5,0),E(-2,V5,0, 则AB=(-1,0,-√3)，AD=(0,√5，-V5),DE=(-2,0,0) 设平面ABD的法向量为n=(x,y,),则 万，AB=0-x-V3==0 a,AD=0V5y-V5-=0 令=1，x=-5y=1,所以i=(5,1, 设DF=D匝(0≤≤I),其中F(oy), 则(。-5，)=2(-20,0)=（←220,0). 所以F(-22,5,0),所以AF=(225,-5, 因为直线AF与平面4A8D所成角的正弦值为 25 所以os<A, 2√52 V5V422+6 25 ,解得=} 所以网p片，即F=片 【18】12:(2)层 13 4 解析：(1)依题意，AO⊥平面ABC,OB⊥AC(底面为正三角形)，且 AO=0B=3 以O为原点，OB,OC,QA,的方向分别为x,y,三轴的正方向，建立空间直 角坐标系，如图 则0(0,0,0)，A(0,-1,0),B(V5,0,0),C(0,L,0),4(0,0,V5),C(0,2,V3) AG=(0,3V5),BC=(5,25,A4=(0,1V5), 由AB,/1AB,4B,文平面ABC,ABc平面ABC,则AB,/平面 ABC,, 即点P到平面ABC的距离等于点A到平面ABC的距离 设n=K,y,=)为平面ABC,的一个法向量，由 n,AC=3y+V5==0 取==3，得n=4,-√3,3)， a.8C=-V3x+2y+5=0 因此点4到平面48C,的距离d=4园_25_2W39 11313 所以点P到平面A8C的距离为 (2)设4P=24瓦，e0,则， 则AP=AA+AP=A4+2AB=(0,1√5)+2(5，L,0)=(52,1+2,5) 由AP⊥a,得AP为平面a的一个法向量，设直线BC,与平面a所成角 为0， 则m8cos(8 AP)13C 15-2 18CAP10√322+1+分+3 5-1 2√5.V222+1+2 令t=5-2,则2=5-t,te[4,5], 则sim6= 2√5V26-t)2+(5-t)+225.V2-21t+57 1 252-24+7 t中2 由41，符，于是 5 则血0e 所以直线8℃与平面α所成角的正弦值的取值范围是2，i0 【19】5 解析 ,四边形CDD,C是平行四边形，又点P为D,C,的中点，且PD=PC, ∴.△DD,PEACCP,∴.∠DD,P=∠CCP 又∠DDP+∠CCP=180,∴.∠DD,P=∠CCP=90°， .DD⊥DC,DD⊥DC, ,侧面ADD,A,是矩形，∴.DD⊥AD, 又四边形ABCD是正方形，可知AD,CD,DD,两两相互垂直， 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， D(0,0,0),P0,l,2),B(2,2,0),C(0,2,0), DP=(0,12)nDB=(2,2,0),C8=(2,0,0),CP=0,-1,2）, 设平面DPB的法向量为m=(x,y,), 「mi.DP=y+2==0 则你丽-2x+2y=0故可设(22刘 设平面CPB的法向量为n=(a,b,c) .CB=2a=0 则 a.Cp=-b+2x=0 故可设n=(0,2,1. 设平面CPB与平面DPB的夹角为O, m.n 35 则cos0= 4 【20】(1)证明见解析(2)-巨 解析：(1)因为ABIICD,∠ADC=90°，所以AB⊥AD, 又因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADO平面ABCD=AD ABC平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD: P (2) D: 、C 因为DP,DA,DC两两垂直， 以D为原点，DA,DC,DP为x,y,=轴正方向建系，如图所示： 所以A(2,0,0),B(21,0)C(0,2,0),P(0,0,2), 所以AP=(-2,0,2),P8=(2,1,-2),PC=(0,2,-2) .AP=0 设平面PAB的法向量m=(,=),则 -2x1+2=1=0 mPB= ,即{2x+x-2=0 令x=1,则法向量可取m=4,0,) 同理设平面PBC法向量n=(红，，)， 则 a.P℃=0∫22-252=0 7.P西=0'2x+y-2,=0 令么1，则法向量可取云一行 mn 所以cos<m,n> 支a1 2 又<m,ne[0,四，且观察可得二面角A-PB-C所成的平面角为钝角， 所以二面角A-PB-C的余弦值为-互 2 【21】(1)见解析(2)i0 5 解析：(1)在直三棱柱ABC-48,C中，CC上平面ABC,ACc平面 ABC, 所以CC,⊥AC, 又由题可知，AC⊥BC CC,BCC平面BCCE 且CC,OBC=C, 所以AC⊥平面BCC,B, 又因为CE平面BCCB,所以ACIC,E. (2)以C为坐标原点，C4,CB,CC,分别为x=轴建系如图， D 由AC LBC,AB=2BC=2,可得AC=V5, 则有A(5,0,0),E(0,1,1),C,(0,0,2) 设平面AEC,的一个方向量为m=(x,y,=)为 AE=(-V3,1,1)AC-(-5,0,2), 所以 证m-0,即 -5x+y+-=0 ACm=0 -V5x+2=0 令==V3,则x=2,y=V3 所以m=(2,√5，V5)为 因为AC1平面BCC,B,所以CA=(√5,0,0)为平面EC,B的一个法向 金 所以，c0si,CA> 2W3。V0 同网o55 由图可知，二面角A-EC,-B为锐角，故二面角A-EC,-B的余弦值等 于0 5 【22】1)证明见解析(2)4@ 19 解析：(1)取AB的中点O,连接OP,OC,AC △PAB为等腰直角三角形，PO⊥AB. 由PA=PB=V2,得AB=+(=2 ·平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB, POC平面PAB,PO⊥AB,则PO⊥平面ABCD :ABCD为菱形，∠ABC=60°，△ABC为等边三角形，O为AB的中点，则 OC⊥AB, 则有QA=OB=1,OC=√5， 如图，分别以OB,OC,OP所在直线为x轴、y轴、：轴建立空间直角坐 标系O-. -A(-Lo0).a@.0.0)c(o.5.o)D(-2.Vo)-@o1)sG1V.o)- 设平面BEF的一个法向量为万=(x,”,二) 厘-点2+子=0令y=2,则e26 2 8证元=-2x+V5y=0, i=(V5,2,25) 又cD=(-2,0,0),C乎=(0，-V3,1 设平面PCD的一个法向量为m=(一)， CD.m=-2x,=0, 1乎.m=-5y,+=0, 令%=1，则x=0,=5,得m=(0,1V5) w销后9 故平面8EF与平面PCD夹角的余弦值为4W四 19 【23】(1)证明见解析：(2)cos0∈ 72 解析：(1)证明：在四边形ABCD中， 因为AB11CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60, 所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°， 所以∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，AC⊥BC: 又因为平面ACFE⊥平面ABCD,交线为AC, 所以BC⊥平面ACFE. 又因为BC上平面ACFE,所以平面FBC⊥平面ACFE. (2)分别以直线CA,CB,CF为x,y,=轴建立如图所示的空间直角 坐标系. 设d=0≤2≤5)， 则c(0,0,0),AV5,00,B(0,10),M(20,1) 所以A西=（√5,10,8M=(a,-11), 设平面ABM的法向量为u=(x,y,=), 则五=0，即5x+y=0 aBM=0'12x-y+s=0 令x=1,则a=(15,5-2, 因为V=(（L,0,0)是平面FCB的一个法向量 所以c0s6= u.v 1 +3+5-a-5+4 因为0≤A≤5，所以当=0时，c0s0有最小值，最小值为 当A=5时，co0有最大值，最小值为片，故cos0e5】 72 【24】(1)证明见解析(2)四 5 解析：(1)取AC的中点O,则BO⊥AC,且BO=√3， 因为平面AAC,C⊥平面ABC,且平面AA,CC∩平面ABC=AC,BOC平 面ABC, 所以BO⊥平面A4CC 因为A,OC平面A4CC.B0⊥4O 所以A,B=V6,B0=V3.A0=V3 因为AO=1A4=2,∴.AO⊥A,0, 又因为AO⊥B0,AO⌒B0=O,AO,BOC平面A,OB,∴AC⊥平面AOB 又ABC平面AOB,..AC⊥AB: (2)如图所示，以O为原点，QA,OB,QA,所在直线分别为x轴，y轴，三 轴建立空间直角坐标系O-, 可得A1,0,0,C(-1,0,0,B(0,5,0),B,(-1V3,V3), 因为AC=2,0,0).CB=(0,V5,5),CB=L5,0), 设平面AC8的法向量为1=(x,y,), -2x=0, 则由在eA得5+E0 2·cE=0, 令y=1,则==-12，=(0,1，-1)， 设平面B,BC的法向量为n,=(m,n,p), s m+√3n=0, 令m=5,则n=-l,p=1m=(5,-1,) 记二面角A-CB,-B的平面角为L, 因为cosd= 22 2 10 5 显然血a>0,所以sma=cosa=-) 所以二面角A-C吗-8的正弦值为5 【25】(1)反(2)-5 3 解析：(1)因为三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角 形，△BCD是等边三角形， 折以BE=DE=CE=2=√2 因为三棱锥A-BCD的棱长均为2， 所以正三棱锥A-BCD体积为一个棱长为√互的正方体减去四个三棱 即w-可-4x任5xE水E=E 3(2 =o+w号E+9 3 (2)如图所示，以E为坐标原点，EC,ED,EB分别为x,片二轴建立空间 直角坐标系E- (@o.o,lao).c5.a.52 ,Bc=(2,0,-V5) 22 丽9 设平面EBC的法向量为2，易得2，=(0，L,0), 设平面BCF的法向量为，=(xy,), ∫8C.m=0 2x-√2==0 因为丽m=0 a+5,-5=0 得 2 取x=1,可得元，=(1，-1,1) 设二面角E-BC-F的平面角大小为8，由图易知，二面角E-BC-F 为钝角， 则cos6 √33 故二面角8-8C-F的余弦值为-5 3 【26】 (1)证明见解析(2)-⑤ 3 解析：(1)如图，分别取棱BC,DE的中点G,H连接FG,GH,AH, 因为已知正四面体F-ABC的底面与正四棱锥A-BCDE的一个侧面重 合 所以所有棱长均相等，所以FG⊥BC,AH⊥DE, 又A-BCDE为正四棱锥，所以底面BCDE为正方形，所以GH⊥DE, 由AH GH=H,AH,GHC平面AHG, 所以DE⊥平面AHG,因为BC/DE,所以BC⊥平面AHC 由BC⊥GH,BC⊥FG,且FG∩GH=G,FG,GHC平面FGH, 故BC⊥平面FGH,所以平面FGH与平面AHG重合， 即BC⊥平面AFGH,而AF C AFGH,所以BC⊥AF,所以AF⊥DE. B E H (2)由(1)可知，在平面AFGH中，AF=BE=GH,FG=AH, 所以四边形AFG丑为平行四边形，所以AF∥GH· 取棱AF的中点M,连接GMAG,可得FG=AG 因为GM在平面AFGH中，所以GM⊥AF,可得GM⊥GH 由BC⊥平面AFGH,而GMC平面AFGH 得BC⊥GM,则CH,BC,CM两两垂直. 设校长为a,则阳=A0=,GM=VFo-Ra_E 2 2 以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， .-E D 2 ,Bc=(0,-a,0) 设平面BCF的一个法向量为元=(xy,2), (,=)=0, 则 即{2 + ==0 2 BC.n=(0,-a,0）(ey,=）=0 y=0 令x=1,则y=0,=巨，即平面CP的一个法向量为元15 2 又平面BCD的一个法向量为 cosGM,n=- 3 2 16,a 3 2 2 因为二面角F-BC-D为钝角， 所以二面角F-BC-D的余弦值为-5 3 【10证明见解新：a)器-片 解析：(1)取DC的中点M,连接E,B,如图(1). 图(1) 因为点E,M分别为PC,DC的中点，所以PDME 图为急-品-，AsC=B0Mw, 所以△ABC-△BCM,得∠CAB=∠IBC, 所以∠CAB+∠MBA=∠MBC+∠MBA=90°，所以MB⊥AC. 又BE⊥AC,MB∩BE=B,MB,BEC平面MBE,所以AC⊥平面MBE. 因为MEc平面MBE,所以AC⊥ME. 又ME∥PD,所以PD⊥AC (2)因为PD⊥DC,PD⊥AC,DC∩AC=C,DC,ACC平面ABCD 所以PD⊥平面ABCD.因为DAC平面ABCD,所以PD⊥DA. 如图(2)，以点D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、 =轴，建立空间直角坐标系 图(2) 令AD=2,则D(0,0,0),4(2,0,0),82,25,0P(00,2)E(05,1) 所以 DA=(20,0),Da=(225,0}DE=(0,5,1P8=,25,-2)}Dp=0,0,2). 设器-1，则取西-26-2刘，所以 DF=DP+PF=(2x,22,2-x） DE,m=√2y+==0, 设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,),则有 DB.m=2x+2√2y=0, 令y=-1,得x=反，=2，则m=(N2,-1,) 设平面ADF的一个法向量为=(a,b,c),则有 DA.n=2a=0, DF.n=ta+2b+(2-2=0 令b=t-1,得a=0,c=√5t,则元=(0，t-lV2) 因为平面ADF与平面BDE所成锐二面角的余弦值为西 所以 雨 1-t+2t V15 E++(j-旷+(j 5 解得t=马 1 PB 2 【28】(D证明见解折2)（匠引 解析：(1)证明：取BC中点M,AB中点N,连接DM,MW,EW ∴MW/AC且w=4C,又DE=4C,DE∥AC, ,DE∥MW,且DE=N所以四边形MWED是平行四边形， ∴，EW∥DM且EN=DM,又AC⊥平面BCD,ACC平面ABC, ∴.平面ABC⊥平面BCD, DC=DB, ∴.DM⊥BC,又平面ABCA平面BCD=BC,DMC平面BCD, .DM⊥平面ABC, ∴，EW⊥平面ABC,又ENC平面ABE,所以平面ABE⊥平面ABC (2)由(1)知，AC⊥BC,EW∥DM且EW=DM, EW⊥平面ABC,平面ABE⊥平面ABC 以C为原点，CA,CB所在直线为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 则A(2,0,0),B(0,2,0),V(1,L1,0),E(11,t),t>0 则C8=(0,2,0),C=1,L,0）,C厘=(1，L,t) 设平面BC亚的一个法向量为n=(,y,), 则e80-016 2y=0 .n=(-t,0,1 又AC=BC,则CW⊥AB 又平面ABCO平面ABE=AB,CWC平面ABC, 所以CW⊥平面ABE,即CV为平面ABE的一个法向量 cos，C .c上 ∴二面角A-BEC的取值范围是