第6节 向量法求空间距离 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第六节 向量法求空间距离

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▍知识点1:向量法求空间距离方法总结

 

向量法求空间距离	点到直线的距离	设为直线上一点,为直线的方向向量, 在向量方向的投影向量模长为,点到直线的距离.
	两平行直线,之间的距离	平行直线,之间距离可看成直线上一点到直线的距离,则, 其中是直线的方向向量.
	点到平面的距离	设为平面的法向量,是平面的一条斜线,,则点到平面的距离等价于向量在方向上投影向量的模长,即.
	直线到平面的距离	直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离,即直线到平面的距离
	两平行平面的距离	与平面平行的平面到平面的距离等价于平面上一点到平面的距离,即
	异面直线,之间的距离	设,直线,的公共法向量为（公共法向量的求法与平面的法向量求法相同）,则异面直线,之间的距离为向量在方向上投影向量的模长,即,其中,.

 

▍练题型  求空间两点间距离           1

【典例▪1】在空间直角坐标系中,点到点的距离为（    ）

A.5 B.6 C.7 D.8

 

 

【练习▪2】空间两点,间的距离等于（    ）

A.2 B.3 C.4 D.9

 

 

【练习▪3】空间两点,,点关于平面对称的点为,则两点间的距离为（    ）

A.6 B. C. D.

 

 

【练习▪4】在空间直角坐标系中,点与两点间的距离为,则（    ）

A.2或4 B.2 C.4 D.

 

 

▍练题型 点到直线（平行直线）的距离   2

【典例▪5】已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为（    ）

A. B. C. D.

 

 

【变式▪6】（2024·江苏南通高二）在空间直角坐标系中,已知点,则点到直线的距离为（    ）

A. B.2 C. D.3

 

 

【练习▪7】（2024·黑龙江）AD为三角形ABC边BC上的高,在空间直角坐标系中,, ,_________.

【练习▪8】（2024·郑州高二期中）已知点, ,则点到直线的距离是（    ）

A. B. C. D.

 

 

【练习▪9】在三棱锥中,,,两两垂直,且,,,三角形重心为G,则点P到直线的距离为_________.

 

 

【练习▪10】已知正方体的棱长为是棱的中点,若点在线段上运动,则点到直线的距离的最小值为________.

 

 

【练习▪11】（2023·江苏高二课后作业）如图,已知正方体的棱长为1,分别是和的中点,求直线和之间的距离.

 

 

 

 

▍练题型  点到平面的距离            3

 

【典例▪12】在棱长为1的正方体中, 为线段的中点,则点到平面距离为（    ）

A. B. C. D.1

 

 

【变式▪13】（2024·北京高二期中）在棱长为1的正方体中,是线段上一点,则点到平面的距离是（    ）

A. B. C. D.

 

【练习▪14】（2024·浙江宁波高二期中）如图,棱长为1的正方体,中M,N点,分别是线段,的中点,记E是线段的中点,则点E到面的距离为（    ）

A. B. C. D.

 

 

【练习▪15】如图,四棱锥中,底面BCDE为正方形,,,,两两垂直且相等,点为棱的中点,点在棱上,且,则点到平面的距离为        .

 

【练习▪16】已知点,,, ,则点到平面的距离为        .

 

 

【练习▪17】在如图的直四棱柱中,底面是正方形,是的中点,点N是棱上的一个动点,求点到平面的距离的最小值.

  

 

 

▍练题型  直线到平面的距离           4

 

【典例▪18】（2024·湖南高二阶段练习）在棱长为1的正方体中,分别是的中点,则直线到平面的距离为（    ）

A. B. C. D.

 

 

【练习▪19】（2024·上海高二课后作业）如图,在长方体中,.则直线到平面的距离为_________.

  

 

 

【练习▪20】（2024·河南高三阶段练习）如图,在棱长为1的正方体中,直线到平面的距离等于            .

 

 

【练习▪21】如图,棱长为1的正方体中,E为线段的中点,F为线段AB的中点.则直线FC到平面的距离为_________.

 

 

 

▍练题型  平面到平面的距离          5

 

【典例▪22】（2024·全国）正方体的棱长为1,则平面与平面的距离为________.

 

 

【练习▪23】（2022·全国高二课后）已知点, ,,,则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为        .

【练习▪24】（2022·全国）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点,且两平面的一个法向量为,则两平面间的距离是       .

 

 

【练习▪25】（2022·湖南高二）在棱长为的正方体中,、分别是、中点,则平面与平面之间的距离为________.

 

 

▍练题型  异面直线间的距离          6

 

【典例▪26】（2024·高三专题）正方体的棱长为分别为的中点,则异面直线与的距离为_________.

 

 

【练习▪27】在四棱锥中,底面是边长为3的正方形,底面,点在侧棱上,且满足,则异面直线和的距离为_________.

 

 

【练习▪28】如图,正四棱柱中, ,点E和F分别是线段与上的动点,则间最小距离为_______.

 

 

【练习▪29】（2024·全国高三专题练习）已知棱长为2的正四面体中,的一条高为,则与间的距离为________.

 

 

【练习▪30】（2024·江苏高二练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC,则异面直线AD与BC的距离为      .

 

 

【练习▪31】已知正方体的棱长为2,M为棱的中点, P,Q分别为线段,上的动点,则的最小值为         .