1.4.1第1课时空间中点直线和平面的向量表示学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [课标解读]　1.了解空间中点、直线和平面的向量表示.2.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法． 教材要点 要点一　空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位 置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量__________表示，我们把向量__________称为点P的位置向量． 空间直线 的向量表 示式　　 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝________，也可以表示为＝__________．这两个式子称为空间直线的向量表示式． 空间平面 ABC的向 量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝________．那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝______________，这就是空间平面ABC的向量表示式． 状元随笔　(1)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． (2)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 要点二　直线的方向向量与平面的法向量 1．直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线________的非零向量． 状元随笔　一条直线的方向向量有无数个． 2．平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的__________a，则向量a叫做平面α的法向量． 状元随笔　一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) (3)直线的方向向量是唯一的．(　　) (4)若都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.(　　) 2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 3．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　) A．(－1，－2，5) B．(－1，1，－1) C．(1，1，1) D．(1，－1，－1) 4．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 5．在如图所示的坐标系中，ABCD ­ A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论： ①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)． 其中正确的是________．(填序号) 题型 1　直线的方向向量 例1　已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C． D．3 方法归纳 利用向量共线定理可求解． 巩固训练1　(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) 题型 2　求平面的法向量 例2　如图，在四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 方法归纳 利用待定系数法求法向量的步骤 巩固训练2　如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量． 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 新知初探·课前预习 要点一 　 ＋ta　 ＋t　xa＋yb　 ＋x＋y 要点二 1．平行或共线　2.方向向量 [基础自测] 1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．故选A. 答案：A 3．解析：∵(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0， (－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0， ∴向量(－1，1，－1)是此平面的法向量． 答案：B 4．解析：由l1∥l2得＝＝，解得x＝6，y＝.