微专题集训15 导数的概念、几何意义及运算-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

第三单元　导数 微专题集训15　导数的概念、几何意义及运算 一、单项选择题 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(4)′＝2 B．(3x)′＝x·3x-1 C．(ln x)′＝ D．(x5)′＝5x4 2．已知f(x)＝x2＋，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　) 3．已知函数f(x)＝aex＋x的图象在点(0，a)处的切线过点(2，5)，则a＝(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 4．(2024·江苏淮安高中校协作体期中)已知函数f(x)＝3f′(1)x－x2＋ln x＋，f′(x)是f(x)的导函数，则f′(1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．－ 5．(2025·江苏南京模拟)已知直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，直线l与曲线y＝(x＋3)2也相切，切点为N(x2，y2)，则x2－2x1的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 6．若直线y＝4x＋m是曲线y＝x3－nx＋13与曲线y＝x2＋2ln x的公切线，则n－m＝(　　) A．11 B．12 C．－8 D．－7 7．已知点P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为(　　) A． B． C． D． 8．已知f(x)＝mex－2x3，曲线y＝f(x)在不同的三点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x3，f(x3))处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．曲线y＝在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标可能为(　　) A．(3，3) B．(－3，－3) C．(9，1) D．(1，9) 10．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A．f′(3)>f′(2) B．f′(3)<f′(2) C．f(3)－f(2)>f′(3) D．f(3)－f(2)<f′(2) 11．若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝－x3＋3x＋4 B．f(x)＝ln x＋2x C．f(x)＝sin x＋cos x D．f(x)＝xex 12．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得f(x)的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sin2x B．y＝tanx C．y＝，x∈(－2，＋∞) D．y＝ex－ln x 三、填空题 13．设曲线y＝x2在点的切线与曲线y＝x ln x在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为________． 14．(2024·江西省五校联考)已知函数f(x)＝x3－ax2同时满足下列两个条件：①在[1，＋∞)上单调递增；②曲线y＝f(x)在(1，＋∞)上存在斜率为1的切线．则实数a可以为________．(写出符合要求的一个值即可) 15．已知直线l既是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝e2x2的切线，则直线l的方程为________． 16．已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f(－2023)＋f′(－2023)＋f(2023)－f′(2023)＝________． 四、解答题 17．已知函数f(x)＝x2－ln x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由． 18．(2025·北京东城区模拟)已知函数f(x)＝ax2－x ln x. (1)当a＝0时，求f(x)的单调递增区间； (2)设直线l为曲线y＝f(x)的切线，当a≥时，记直线l的斜率的最小值为g(a)，求g(a)的最小值； (3)当a＞0时，设M＝{y|y＝f′(x)，x∈}，N＝{y|y＝f′(x)，x∈}，求证：MN. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元　导数 微专题集训15　导数的概念、几何意义及运算 1．D　(4)′＝0，(3x)′＝3x·ln 3，(ln x)′＝，(x5)′＝5x4，只有D正确．故选D. 2．A 3．C　依题意，f′(x)＝aex＋1，则f′(0)＝a＋1，因为函数f(x)＝aex＋x的图象在点(0，a)处的切线过点(2，5)，所以a＋1＝，解得a＝1.故选C. 4．C　对f(x)＝3f′(1)x－x2＋ln x＋求导可得f′(x)＝3f′(1)－2x＋，所以f′(1)＝3f′(1)－2＋1，所以f′(1)＝.故选C. 5．D　因为直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，可知直线l的方程为y＝，又直线l与曲线y＝(x＋3)2也相切，切点为N(x2，y2)， 可知直线l的方程为y＝2(x2＋3)(x－x2)＋(x2＋3)2＝2(x2＋3)x－＋9，所以两式相除，可得2(1－x1)＝3－x2，所以x2－2x1＝1. 6．A　由y＝x2＋2ln x，得y′＝2x＋(x＞0)，令2x＋＝4，得x＝1，则直线y＝4x＋m与曲线y＝x2＋2ln x相切于点(1，4＋m)，所以4＋m＝1＋2ln 1＝1，得m＝－3.所以直线y＝4x－3是曲线y＝x3－nx＋13的切线，由y＝x3－nx＋13，得y′＝3x2－n，设切点为(t，t3－nt＋13)，则3t2－n＝4，且t3－nt＋13＝4t－3，联立消去n，并整理可得t3＝8，得t＝2，所以n＝8，所以n－m＝8－(－3)＝11.故选A. 7．C　如图所示，若使|PQ|取得最小值，则曲线y＝－sin x(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sin x求导得y′＝－cos x，令y′＝，可得cos x＝－，∵0xπ，解得x＝.故选C. 8．D　由f′(x)＝mex－6x2＝0，得m＝，令g(x)＝，则g′(x)＝，当x＜0或x＞2时，g′(x)＜0；当0＜x＜2时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增，且g(0)＝0，g(2)＝处的切线均平行于x轴，所以m＝有三个不同的解，故m∈. 9．AB　因为y′＝－，若设P(x0，y0)，则由导数的几何意义得－＝tan ＝－1，解得x0＝±3，从而y0＝±3，即点P的坐标为(3，3)或(－3，－3)． 10．BCD　f ′(x0)的几何意义是f(x)在x＝x0处的切线的斜率．由题图知f ′(2)＞f ′(3)＞0，故A错误，B正确，设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则f(3)－f(2)＝＝kAB，由题图知f′(3)＜kAB＜f′(2)，即f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故C，D正确． 11．ABC　对于A，f(x)＝－x3＋3x＋4，f′(x)＝－3x2＋3，f′′(x)＝－6x，当x∈时，f′′(x)＜0，故A为凸函数； 对于B，f(x)＝ln x＋2x，f′(x)＝＋2，f′′(x)＝－，当x∈时，f′′(x)＜0，故B为凸函数； 对于C，f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)＝cos x－sin x，f′′(x)＝－sin x－cos x＝－sin ，当x∈时，f′′(x)＜0，故C为凸函数； 对于D，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，f′′(x)＝(x＋2)ex， 当x∈时，f′′(x)＞0，故D不是凸函数． 12．ACD　对于A，y＝sin2x＝，y′＝sin 2x∈[－1，1]，存在x1＝满足题意；对于B，y＝tan x，y′＝＞0恒成立，不满足题意；对于C，y＝，x∈(－2，＋∞)，y′＝存在x1＝，x2＝2满足题意；对于D，y＝ex－ln x，y′＝ex－，函数y′＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，且＝e－1＞1，所以存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得＝1满足题意．故选ACD. 13．解析：由y＝x2得y′＝x，所以曲线y＝x2在点的切线的斜率为1.设P(x0，y0)，由y＝x ln x得y′＝1＋ln x，所以曲线y＝x ln x在点P处的切线斜率为，所以1＋ln x0＝1，解得x0＝1，代入y＝x ln x，可得y0＝0，故P(1，0)． 答案：(1，0) 14．解析：根据题意，得f′(x)＝3x2－2ax.若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以3x2－2ax≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以a在[1，＋∞)上恒成立，则a.令g(x)＝，易知g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝，所以a.由曲线y＝f(x)在(1，＋∞)上存在斜率为1的切线，可得3x2－2ax＝1在(1，＋∞)上有解，即3x－＝2a在(1，＋∞)上有解．令h(x)＝3x－，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝3＋＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)＞3×1－＝2，所以2a＞2，所以a＞1.综上可知，1＜a. 答案：(答案不唯一) 15．解析：设直线l与曲线C1相切于点(t，et)，对函数y＝ex求导得y′＝ex，则直线l的斜率为k＝et，所以直线l的方程为y－et＝et(x－t)，即y＝etx＋(1－t)et，联立消去y得e2x2－4etx＋4(t－1)et＝0，则由Δ＝16e2t－16(t－1)et+2＝0，可得et-2－t＋1＝0， 令f(t)＝et-2－t＋1，则f′(t)＝et-2－1， 令f′(t)＝0，可得t＝2. 当t＜2时，f′(t)＜0，此时函数y＝f(t)单调递减； 当t＞2时，f′(t)＞0，此时函数y＝f(t)单调递增． 所以f(t)min＝f(2)＝0，则t＝2. 所以直线l的方程为y＝e2x－e2. 答案：y＝e2x－e2 16．解析：函数f(x)＝，其定义域为R，令g(x)＝，显然g(－x)＝＝－g(x)，即函数g(x)是R上的奇函数，又f(x)＝g(x)＋，因此f(－x)＋f(x)＝g(－x)＋＋g(x)＋＝1， 则f(－2023)＋f(2023)＝1. 由g(－x)＝－g(x)两边求导得－g′(－x)＝－g′(x)， 即g′(－x)＝g′(x)，而f′(x)＝g′(x)， 于是得f′(x)－f′(－x)＝g′(x)－g′(－x)＝0， 则f′(－2023)－f′(2023)＝0， 所以f(－2023)＋f′(－2023)＋f(2023)－f′(2023)＝1. 答案：1 17．解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x. (2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1，x2∈，不妨设x1＜x2， 结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得·＝－1， 又函数f′(x)＝2x－在区间上单调递增，函数的值域为[－1，1]， 故－12x1－＜2x2－1，据此有 解得x1＝， 故存在两点(，ln 2＋)，(1，1)满足题意． 18．解：(1)当a＝0时，f(x)＝－x ln x，定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝－ln x－1，令f′(x)＝0，得x＝， 当x∈时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增； 当x∈时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减． 所以f(x)的单调递增区间为. (2)令h(x)＝f′(x)＝2ax－ln x－1， 则h′(x)＝2a－. 当a≥时，令h′(x)＝0，得x＝. 当x∈时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x∈时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以当x＝时，h(x)取得最小值， 故g(a)＝h＝ln (2a)． 当a≥时，ln (2a)的最小值为1，所以g(a)的最小值为1. (3)证明：由(2)知f′(x)在上单调递减， 在上单调递增， 又f′＝－ln ，f′＝－－ln ， 所以M＝(ln (2a)，－ln )， N＝(ln (2a)，－－ln )， 因为(－ln )－(－ln )＝ln －ln －1 ＝ln 3－1＞0，所以MN. 学科网（北京）股份有限公司 $