第4节 向量法研究直线、平面的位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第四节 向量法研究直线、平面的位置关系 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:直线的向量表示 点A是直线l上的一个点,是直线l的方向向量,在直线l上取,取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t, 使或,这就是空间直线的向量表达式. 注意: 在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方向向量. ［对应练习:基础1］ ▍知识点2:平面的向量表示 如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得. 进一步地,如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面内的充要条件是存在实数,使.我们把该式称为空间平面的向量表示式,由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. ▍知识点3:平面的法向量定义 直线l⊥α,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合. 注意:一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量. ▍知识点4:平面的法向量确定通常有两种方法 （1）几何体中有具体的直线与平面垂直,只需证明线面垂直,取该垂线的方向向量即得平面的法向量; （2）几何体中没有具体的直线,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解, 一般步骤如下: ①设平面法向量为; ②找出平面内的两个不共线向量 ③根据法向量的定义建立方程组; ④解方程组,取其中一个解,得到（因为有无数个,常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量,一般令,,） ［对应练习:基础2］ ▍知识点5:向量法判定线面关系 设直线,的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则有: 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 ［对应练习:题型1—题型3］ ▶练基础 求直线的方向向量 1 求直线的方向向量,首先是找到直线上两点,然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量该向量就是直线的一个方向向量. 【典例▪1】若,在直线上,则直线的一个方向向量为（     ） A. B. C. D. 【变式▪2】已知直线的方向向量为,直线的方向向量为,且,则（    ） A. B.1 C.0 D.无法确定 【练习▪3】已知直线的一个方向向量,且直线过点和两点,则（　　） A.0 B.1 C. D.3 【练习▪4】（2024·全国高二课后作业）设直线的方向向量分别为,若,则实数等于（     ） A.1 B.2 C.3 D.4 【练习▪5】（2024·北京高二期中）直线的方向向量分别为,则（    ） A. B.∥ C.与相交不平行 D.与重合 【练习▪6】已知直线和不重合,分别是的方向向量,则是的（    ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ▶练基础 求平面的法向量 2 【典例▪7】已知是平面内的两个不共线的向量,,求平面的一个法向量. 【典例▪8】已知正方体,分别写出对角面和平面的一个法向量. 【典例▪9】如图,棱长为3的正方体中,点在棱上,且满足.以为原点, ,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面的一个法向量; （2）求平面的一个法向量. 【练习▪10】如图,长方体中,, ,,建立适当的空间直角坐标系,求下列平面的一个法向量: （1）平面ABCD; （2）平面; （3）平面. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 利用空间向量证明平行关系 1 ▷角度1:证明线线平行 【典例▪11】长方体中,,, ,点S、P在棱、上,且, ,点R、Q分别为AB、的中点.用空间向量求证:直线直线. 【练习▪12】如图,在四棱锥中,为矩形, 平面,为的中点,为的中点,且,,用空间向量求证:.    ▷角度2:证明线面平行 【典例▪13】如图,已知正方体中, M,N分别是与的中点.用空间向量法求证:面. 【练习▪14】（2024·吉林）如图,平面, ,,,,.证明:平面.    【练习▪15】（2024·长春）如图,在几何体中,四边形和均为边长为2的正方形, ,底面,M、N分别为、的中点,.求证:平面. 【练习▪16】如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证:C1F∥平面ABE. ▷角度3:证明面面平行 【典例▪17】（2024·广东高二）如图,棱长为2的正方体中,分别是的中点,用空间向量求证:平面平面.    【练习▪18】如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1中, M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,证明:平面MNP∥平面CC1D1D. ▍练题型 利用空间向量证明垂直关系 2 ▷角度1:证明线线垂直 【典例▪19】如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,且, ,点是的中点,点分别是线段上的点,且.求证:. 【练习▪20】如图,在三棱锥 中,平面,,E,F,M分别为AP,AC,PB的中点,求证: . ▷角度2:证明线面垂直 【典例▪21】（2023·北京朝阳高二）如图,在棱长为1的正方体中,点E、F分别为棱、中点.用空间向量法证明:平面. 【练习▪22】如图,已知平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA＝AD＝AB＝2, M,N分别为AB,PC的中点.用空间向量法证明: 平面PCD. 【练习▪23】（2023·全国高三专题）如图,在三棱台中,,平面, ,,,且D为中点.用空间向量法证明:平面. 【练习▪24】如图,直四棱柱的底面是边长为2的菱形,且,E为棱AD的中点, .用空间向量法证明:平面. ▷角度3:证明面面垂直 【典例▪25】（2024·四川成都高二期中）已知在四棱锥中,底面为正方形,侧棱平面,点M为PD中点,.求证:平面平面. 【练习▪26】（2024·全国高三专题练习）已知单位正方体中,为的中点.求证:平面平面. 【练习▪27】如图,在直三棱柱中,侧面是正方形,分别为棱的中点,且. （1）求的值; （2）用向量法证明:平面平面. ▍练题型 平行垂直关系中的探索性问题 3 ▷角度1:设点坐标求位置关系 【典例▪28】在棱长为2的正方体中,点是的中点,点是上的动点.试确定点的位置,使得平面. 【练习▪29】如图,平面四边形中,为的中点,,,且.将此四边形沿折成直二面角,连接,设中点为.在线段上是否存在一点,使得平面？若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由. 【练习▪30】（2023·广东高二）如图所示,在四棱锥中,底面,底面为正方形,,,分别是,的中点. （1）求证:. （2）已知点在平面内,且平面,试确定点的位置. 【练习▪31】（2023·全国）如图,在四棱锥中,底面ABCD,PB与底面ABCD所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,, ,问在棱PD上是否存在一点E,使得∥平面PAB？若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.（用空间向量方法） ▷角度2:设向量比例求位置关系 直线（线段）上的点,可设为,表示出点的坐标,或直接利用向量运算. 【典例▪32】（2024·湖北黄冈高二练习）如图,在长方体中,E,M分别是,的中点,,.若在线段上存在一点,使∥平面,试确定N的位置.    【练习▪33】如图,在三棱锥中,侧棱底面,且,,,过棱的中点,作交于点,连接, .试确定点的位置.    【练习▪34】已知斜三棱柱的各棱长都为2,且,点在下底面ABC的投影为AB的中点O.   （1）在棱上是否存在一点D使？若存在,求出BD的长;若不存在,请说明理由; （2）求点到平面的距离. 【练习▪35】（21-22·浙江）如图,在四棱锥中,侧棱底面,底面为矩形,其中,,其中为棱中点, .若为棱上的点使得面,试确定的位置并说明理由. 【练习▪36】如图,三棱锥的底面为等腰直角三角形,,.,分别为,的中点,平面,,点在线段上.试确定的位置使得平面平面.    ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知平面平面,是平面的一个法向量,则下列向量是平面的法向量的是（    ） A. B. C. D. 2.直线的方向向量,平面α的法向量为,若直线平面,则实数的值为（    ） A. B. C. D. 3.如图,正方体的棱长为,、分别是棱、上的点,若平面,则与的长度之和为（    ）. A. B. C. D. 4.棱长为1的正方体中,点P在棱CD上运动,点Q在侧面上运动,满足平面,则线段PQ的最小值为（    ）    A. B.1 C. D. 二、多选题 5.（2024·长春）已知点是平行四边形所在的平面外一点,如果,, ,下列结论正确的有（    ） A. B. C.是平面的一个法向量 D.∥ 三、填空题 6.（19-20高二下·北京海淀·期中）已知为坐标原点,,,,直线,且与坐标平面相交于点,则点的坐标为 . 7.已知长方体中, ,E是棱的中点,P是平面内一点,且AP⊥平面,则EP长度为________. 四、解答题 8.（2023·海南海口·二模）如图,四棱锥中,底面,底面为矩形,,,,分别为,的中点.    （1）求证:面; （2）求到平面的距离. $第四节法向法研究直线、平面的位置关系 核心基础导学 【1】C 解析：依题意，直线1的一个方向向量为PQ=(3,11)-4,0,-2)=(21,3), 其他三个均不合要求.故选：C. 【2】A 解析：因为1⊥12，即a⊥B,则ab=2×2+4y+4x=0,所以x+y=-1. 故选：A 【3】D 解析：直线1过点A(0,a,3)和B(-12,b)两点，故AB=(-1,2-a,b-3) 又直线1的一个方向向量m=(2,-1,3),所以A正m 所以AB=,所以(-12-a,b-3)=(22,-2,32), 1 「22=-1 所以2解特a-号 ,所以a+b=3.故选：D 32=b-3 2 【4】B 解析：因为4112，则其方向向量a⊥B,ab=1×(-2)+2×3+(←2)m=0 解得m=2.故选：B 【5】A 解析：因为直线，4，的方向向量分别为a=(L-3,-1),b=(82,2), a3=1,-3,-1)(8,2,2)=8-6-2=0,所以ā⊥五，即1，⊥4.故选：A 【6】A 解析：因为直线和l2不重合，所以d,=,可以推出1/儿2，而，/儿只 能推出石与五，共线，不一定相等，所以石，=孟，是1化，的充分非必要条 件.故选：A 【7】(-5,7,-3) 解析：设万=(x,y,)是平面α的一个法向量， [7a=0, 由直线与平面垂直的判定定理知 1a.b=0, 即+2y+3=0 2x+y-==0. 5 x+2y=-3 3 不妨设==1，得 解得 2x+y=1 7 y=- :平面口的一个法向量店 【8】详见解析 解析：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0) C(0,10)、C(0,1,1、B(1,1,1、A(L,0,,所以 AC=(-110),AB=(0,1,1),A4=(0,0,1),设面4AC℃，的法向量为 m=6.,所以同C+y=0,令=1，则y1,:=0,所以 m,AA===0 m=(L1,0),即平面A4C℃，的一个法向量为m=(L1,0),设平面AC8的 法屋为6Ad小，期售20令1，周，a1 以n=(1,1-1),所以平面ACB,的一个法向量为n=(1,山，-1)： 【9】详见解析 解析：(1)因为x轴垂直于平面ABB,A,所以月，=(1,0,0)是平面ABBA1的 一个法向量 (2)因为正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为3，CM=2C,, 所以M,B,D的坐标分别为(0,3,2)，(3,3,0)，(0,0,3)， 因此MB=(3,0-2）,MD=(0,-3,1， 设=(x,y,=)是平面BD的法向量，则 ⊥，1M西， 所以区西=3-2上=0 m·MD=-3y+==0 取==3，则x=2,y=1.于是2=(2，L,3)是平面MBD,的一个法向量， 【10】详见解析 解析：(1)以D为原点，DA,DC,DD所在的直线分别为x,,二轴，建立 空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(60,0),C(0,20),D,(0,0,3,A,(6,0,3),C1(0,2,3)， 所以DD=(0,0,3) 因为DD⊥平面ABCD,所以DD为平面ABCD的一个法向量， 所以平面ABCD的一个法向量为DD=(0,0,3), (2)设平面ACCA的法向量为m=(x,y,), 因为AC=(-6,2,0,A41=(0,0,3) 信令1a 所以平面ACCA,的一个法向量为m=L,3,0) (3)设平面ACD的法向量为n=a,b,c), 因为AC=(-6,2,0),AD,=(-6,0,3), 所以a4C-+25=0,令a1,则i=03,2) `n,AD=-6a+3c=0 所以平面ACD,的一个法向量为n=L,3,2) 42 B. 重点题型专练 【11】证明见解析 解析：以点D为原点，分别以DA、DC与DD,的方向为x、y与=轴的 正方向，建立空间直角坐标系 则D(0,0,0）、A(3,0,0)、C(0,4,0)、B(3,4,0)、D(0,0,3)、4(3,0,3)、 C(0,4,3、B(3,4,3, 由题意知P(3,0,2)、Q(0,2,3、S(0,4,1)、R(3,2,0), ∴.P0=(-3,2,1,Rs=(-3,2,) ∴.P0=西，又PQ,RS不共线 ,PQ∥Rs 【12】证明见解析 解析：由题意知，直线DA,DC,DP两两垂直， 以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、=轴建立空 间直角坐标系，如图所示， 则aaoj4 oo)(, 所以丽=F,又MEAP,故MWAP 【13】证明见解析. 解析：在正方体ABCD-A,B,C,D,中，以A为原点，AB,AD,AA,的方向分 别为x,”,二轴正方向，建立空间直角坐标系 A(O) 令正方体的棱长为1，则B(1,0,0),4,(0,0,1,C411), 钱段4中的中点合0时线段4的中点则 题.( 因为AB上平面ADD,A,则AB是平面ADD,A,的一个法向量，而且 AB=L,0,0) 显然0.丽=0x1+×0+子×0=0，因此01，又Aw女平面 ADDA,所以MNI1面ADD,A 【14】证明见解析 解析：证明：因为AE⊥平面ABCD,AD⊥AB,所以AB,AD,AE两两垂 直. 如图，以A为坐标原点，分别以AB,AD,A正的方向为x轴、y轴、二轴 的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(L,0,0),C1,2,0)D(0,10),E(0,0,2) 设F1,2,a),因为平面AD驱的一个法向量为A丽=(10,0)，BF=(02,a), 所以BF.4B=0.因为BF文平面ADE,所以BF/1平面ADE B 【15】证明见解析 解析：因为四边形ABCD为正方形，AE⊥底面ABCD,所以 AB,AD,AE两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以AB,AD,A正方向为x轴、y轴、二轴正方向 建立空间直角坐标系A-, 2米 D 由题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0）,C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,0,2）,F(2,0,2), 则-0-22.c0-2-12.-- 设平面CFG的一个法向量为n=(x1y1,21),则 n LCF ,⊥CG 故0 「-2y,+25,=0 y=5 25-y+2,=0则 2 令=2，得=(12,2)， 所以云画-22-w1+2(引21=0， 3 所以⊥2，又MWc平面CFG,所以W11平面CFG 【16】证明见解析 解析：如图，以B为坐标原点，分别以BC,BA,BB,所在直线为x轴、y轴、 二轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=a,AB=b,BB1=C, 4 则8ao0,Aa6o),ca0e),后a0g(层台 所烈布=0-60)，店=台号小 设平面ABE的一个法向量为n=(x,只二)， 则在0 反·AE=0 [-by=0 甲后+。令20-后即后-(20-月 又乐-（号0-小所以云平0，又Ge平面4B,所以CP/平面 ABE. 【17】证明见解析 解析：在ABCD-A,B,C,D为正方体中，AB,AD,AA两两互相垂直， A 所以以A为原点，以AB,AD,AA,所在直线分别为x,y,二轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 因为正方体的棱长为2，所以A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C1(2,2,2),E1,2,2)F10,2), 所以CE=(-1,0,2), AE=(1,2,0),BC=(0,2,2),BF=(-1,0,2）,CF=(-1,-2,2) 设平面4EC的一个法向量为n=(,y,), 所以 iC西=0，，(10,20， n…4E=0,(x,y,=）12,0)=0, 即/=2 {=-2,令x=2,得=-1：=1， 所以万=(2，-1,1) 因为7.BC=(2-1,1)(0,2,2)=0, 所以n⊥BC, .BF=(2,-1,(-10,2)=0, 所以⊥BF, 又因为BFBC,=B,所以n⊥平面BFC, 所以平面BFC∥平面AEC, 【18】证明见解析 解析：以D为坐标原点，DA,DC,DD的方向 分别为x,少，二轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则A(2,0,0),C(0,2,0), D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1)· D 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D 所以DA=(2,0,0)为平面CCD1D的一个法向量. 由于MP=(0,2,0),W=(0,1,-1) 则/p=0 MN-DA=0 即DA=(2,0,0)也是平面MWP的一个法向量， 所以平面MWP∥平面CC,DD 【19】证明见解析 解析：因为PD⊥平面ABCD,AD,CDC平面ABCD,且四边形ABCD 是矩形， 所以DA,DC,DP两两垂直， 以点D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，=轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 根据题意，因为PD=AB=3,AD=2,且=BE=1 NC EA .oa(200)F(.z0)c0.zL-(.0)oe.x)ao.)w(J.z) 所西-2oa-（u 因为-=2x(-l+2x1+0x0,所以D1,即DE LMN。 【20】证明见解析 解析：以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP 为=轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得A(0,0,0),P(0,0,1),C1,L,0),B(1,0,0), 时 厨亚传时 .∴.EF⊥AM 【21】证明见解析 解析：以A为坐标原点，AB,AD,A4所在直线为坐标轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 则8o.o,1号0，F10,A@0.o),o.,o.1l, 则F-合10，a=o,正-1号 设平面AB,F的一个法向量为n=(x,y,) 则 ,令x1,则= ,=-1， a,AB=x+5=0 所以平面A8F的一个法向量为云-分) 所以DE=i,所以D,E⊥平面AB,F: 【22】证明见解析 解析： 如图，因PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，故可以AB,AD,AP分别 为x,,二的正方向建立空间直角坐标系 又PA=AD=AB=2,MN分别为AB,PC的中点， 则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),ML,0,0),WL11)， 于是，=(0,1,1)，D2=(0,-2,2),DC=(2,0,0),不妨设平面PCD的法向量 为n=(x,y,), 三2y+2左=0，令y=1,故可取元=(0,1，因而1，则 则有iD=2x=0 N⊥平面PCD 【23】证明见解析 解析：由题意，以点A为坐标原点，AB,AC,A4,分别为x,y,=轴， 建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),A(0,0,V5B(2,0,0)C(02,0),D(11,0) 则BC=(-2,2,0),A4=(0,0,5AD=(11,0), 故BC,AA=-2×0+2×0+V5×0=0,.BC⊥A4 BC.AD=-2×1+2×1+0×0=0,.BC⊥AD, 即BC⊥A4,BC⊥AD, 又A4,∩AD=A,A41,ADC平面AAD， 故BC⊥平面A,AD 【24】证明见解析 解析：过点E作底面ABCD的垂线交A,D,于R, 以E为坐标原点，EA、EB、EF所在直线分别为x、y、二轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， D 则4,0，V5),C(-2V5,V5),B0,5,0,D(-1,0,0),8(0,5V2) 所以4C=（-3,5,0),48=(-15,-),D8=山，V5,2), 因为A,C·DB=-3+3+0=0,AB.DB=-1+3-2=0, 所以A1C1⊥DB1,AB⊥DB1, 又A1B∩A1C=A1,A1B、A1C1C平面BA1C, 所以DB1⊥平面BA1C. 【25】证明见解析 解析：证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥平 面ABCD, 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线为x,,二轴，建立空间直角坐标 系， D pA=AD=1,则4@00.P0.aD0.L,0c0L0,M0分3 故PD=(0,1-1),CD=(-1,0,0) 设平面PCD的法向量为m=(6,y,=),则 m,PD=y-5=0 m.CD=-x=0 令y=1,则m=(0,1,1), 亚-o时行c-au0, 设平面C的法向量为=a5,则反西=+分=0 AC=a+b=0 令b=1,则n=(11-1) 则mn=(0,11(-11-1)=1-1=0, 故平面MAC⊥平面PCD. 【26】证明见解析 解析：建立如图的空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(L,0,1)、B(1,10)、 于是正- ,D8=(1,10）,D4=(1,0,1), D 设平面EBD的法向量为=(：，，，) 由万1丽，月1丽，得%+=0,4+%=0 令x=1,则y=-1,5=2,.2=(1-12) 设平面4BD的法向量为元，=() 由m,1D4,1D8,得x+,=0,5+为=0 令x2=1,则2=5=-1，.2=(1，-1，-1 故21n2=(（L,-12)(1,-1,-1)=0, 因此元⊥乃，故面4BD1面EBD 【27】(1)EF.BD=-1;(2)证明见解析 解析：(1)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，BB,⊥A,B 又BE⊥AB,BB,∩BE=B,BB,BEC平面BCC,B, 所以A,B,⊥平面BCC,B,因此BA,B,B,B,C两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系B,一x, 则B(0,0,2),E(0,2,1),DL,L,2),FL,0,0) 所以EF=(1-2,-1),BD=(1,1,0), 所以EF.BD=-1. (2)由(1)知A(2,0,2),4,(2,0,0)BE=(0,2,-1), AE=（-2,2,-1,4B=(-2,0,0),4D=(-1,1,2), 设平面BEA的法向量为n=(x,y,三，)，平面AB,D的法向量为 m=(2252), BE.= 则 ,即 2y-51=0 A证.i= 2+2,-=0,令%=1，则元=(0,1,2)： 4码=0，即上20 4D,m=0' -x2+y2+2=2=0, 令52=1，则m=(0,-2,1),所以m,元=0 所以平面BEA⊥平面AB,D, 【28】F为CD中点 解析：由于ABCD-AB,C,D,为正方体，以A为坐标原点，分别以AB、 AD、AA所在直线为x轴、y轴、三轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， ZA E 所以D0,2,2),E(2,10),A(0,0,0),B,(2,0,2),设Ft,2,0),所以 DE=(2,-1,-2),AF=t,2,0),AB,=(20,2), 设平面AB,F的法向量为n=(x,y,),则 厘=0，即+0 ABn=0' (2r+2=0,令 -2.则Y2即=(25,2)。 因为DE⊥平面AB,F,则n/D,E,即n=D,E,解得t=1,即F为CD 中点时，DE⊥平面AB,F 【29】点F存在，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点，即 DF:FB=1:3: 解析：由题知，平面ABCD⊥平面PDC,平面ABCDO平面PDC=CD, 因为PD⊥DC,PDC平面PDC,所以PD⊥平面ABCD, 又因为DAC平面ABCD,所以PD⊥DA, 则PD⊥DA,PD⊥DC,DC⊥DA,则以D为原点建立空间直角坐标系如图 所示 y 结合已知可得A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P0,0,2) 则PB中点E(L1).·F∈平面DB,DB=(2,2,0),故可设F(a,A0), 则EF=(2-1,2-1,-1),:EF⊥平面PBC,.EF.PB=0,EF.PC=0, 又西=22-2=04-2，所以2-+2-+2=0 4(2-1)+2=0 解得=，即分50)， 故点F存在，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点，即 DF:B=1:3 【30】(1)证明见解析：(2)点G为AD的中点 解析：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DP的方向分别为x轴、y轴、 二轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=a,则 000,8aa0,c0ao,号0,0aa,-号 所以丽-0，号，Dc=0a.0, 所以亚.元-（0}0a,0=0 所以EF⊥CD. (2)因为G∈平面PAD,设G(x,0,-) 所以西--) 由(1)，知C8=(a,0,0),CP=(0,-a,a) 因为GF⊥平面PCB, 所以西西-（-受号：-}aa0=at-=o, 】 所以x=子=0， 所以点G的坐标为号0,0，即点G为AD的中点 【31】存在，E为PD中点时，CE∥平面AB,理由见解析. 解析：由已知得以AB,AD,AP两两垂直， 分别以A8,AD,AP为，八二轴建立空间直角坐标系，如图， D方 :2A=AB=BC=4D=1, .P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0) 设E(0,y,=),则PE=(0,y5-1),PD=(0,2,一1)， ,E是棱PD上的点， 丽少而六学即=2-0 :AD=(0,2,0)是平面24B的法向量，C厘=(-1，y-1,=)， .由CE∥平面AB,可得CE⊥AD, ∴.(-1，y-1,=)·(0,2,0)=2(y-1)=0 y=1,代入①式得=2 .E是PD的中点， 此时，由于CEt平面PAB ∴.CE∥平面PAB. 故存在满足题意的点E,使得CE∥平面PAB,且点E为棱PD的中点 【32】W为CD的中点 解析：如图，分别以DA,DC,DD所在直线为x,,s轴建立空间直角坐 标系， 所以Dc-o20.丽-是10，西-Q-2) 设Cm=CD=(0,-2,1)=(0,-22,2)(0<2<), 则DW=DC+CV=(0,2,0)+(0,-22,2)=(0,2-22,2) am--(2-a 由题意知DC=(0,2,0)是平面ADD,A的一个法向量，所以W⊥DC,即 0-2训=0，解得号 因为Nc平面ADD,A,所以当W为CD,的中点时，N∥平面 ADDA. 1 【33】F为PB上靠近P点的四等分点 解析：如下图，以A为原点，建立空间直角坐标系。 因为PA=AC=2,BC=2N2, 则A0,0,0),P(00,2),822,2,0）,c(0,2,0),E(01,), .AE=(0,1,1),P8=(2√2,2，-2)，P℃=(0,2，-2)， 又因为PF∥PB,可设PF=2PB=(2V22,22,-22)0≤1≤1) 因为E为P℃的中点，PE=(0,L,-1),所以EF=PF-PE =(2√22,22-1，-21+1)， 因为EF⊥PB,所以2√2×2√22+2(22-1)-2(-22+1)=0， 解得=子 故F为PB上靠近P点的四等分点. 【34】1)存在，8D=号：(2)2国 解析：(1)连接OC,因为AC=BC,O为AB的中点，所以OC⊥AB, 由题意知A,O⊥平面ABC 又A4,=2,∠A,A0=60°，所以A,Q=√5 以O点为原点，如图建立空间直角坐标系， A C方 则A(0,0,5),410,0),B(1,00),C0,5,0 由4=A=（2,0,0),得8(2,0V5, 由4g=4c=(-lV5,0),得C(15) 设BD=B=t(-10,v5)=（t0,v5te[o,1],得D(1-t0,v5t)）, 又AC=(2,V5,V5),AD=(1-t,0,N5-5 由4D1AC,即AC4D=0,得-2(1-t)+55-5)=0, 解得1=，又8盟=2，所以8D=子 故存在点D且BD=满足条件： 【35】G为PD上靠近D的三等分点，理由见解析 解析：PA1平面ABCD,四边形ABCD为矩形，“PA,AB,AD两两互相 垂直，则以A为坐标原点，AB,AD,A正正方向为x,共，二轴可建立空间直 角坐标系， A(0,0,0),B(2,0,0）,D(0,10),P(00,2,C(2,1,0),ML,0,1, (1)设G(xy,=）,且PG=2PD(0≤1≤1， 「x=0 又PG=(x,y,=-2）,PD=(0,1-2),{y=1,.G(0,,2-22), -2=-22 AG=(0,2,2-22: 设平面BDH的法向量元=（在，），又 8D=(←21,0)，D=31,1） 242 [4·BD=-2x+y=0 丽+片=0令1则 另=2,9=-2,2=(12，-2)： AG∥平面BDH,AG⊥元，即AG.2=22-2(2-22)=0,解 得：2=号 :石=子玩，即G为PD上靠近D的三等分点，此时4G/平面BDH 【36】M为PE上靠近E的三等分点 解析：由题意， 在三棱锥P-ABC中，DB⊥DC, PD⊥平面ABC,DBC平面ABC,DCC平面ABC .PD⊥DB,PD⊥DC 建立空间直角坐标系如下图所示， ÷85o0,2aa0,c0N50.590,M0.5.. 22 P(0,0V2) 设PM=APE(0<1<1) D8=(5,0,0,P8=(W2,0-√2)，PG=0,2,-√2) 正9丽- 圆--+质=994-同 设平面MBD法向量为=（区1y,5）, DB.n=2x=0 则 亚盟+9标+-小0令可得 元=(0,22-1,2)， 设平面PBC法向量为2=（区2乃252）， 则西：-50 可令x2=%=1,可得2=(11,1)， PG.m,=V2y2-√2=，=0 要使平面MBD⊥平面PBC,则元=0， 瓦可-0+2-+=0，解得号 ∴即丽=号E时平面BD1平面P8C， ∴.M为PE上靠近E的三等分点时平面MBD⊥平面PBC 综合巩固提升 1.【答案】B 解析：因为平面α//平面P,即两个平面的法向量平行， B选项，由(11，-)=-1-1，所以向量(11-1)与向量n平行 故向量(-1，山-1)是平面B的一个法向量，故B正确： 显然ACD选项中的向量均不与向量z平行，所以不能作为平面B的一 个法向量，故ACD均错误.故选：B. 2.【答案】D 解析：因为直线1的方向向量3=(-11,1)，平面a的法向量为 n=(2,x2+x,-x),直线1W平面a, 所以n=-2+x2+x-x=0,即2=2，解得：x=2故选：D, 3.【答案】D 解析：以D,为坐标原点，DA、D,C、D,D为x、y、=轴建立空间直 角坐标系， B所 设CE=x。,DF=。, 则E(xl1),BQ10),F(0,0,1-y),B(11), ∴BE=(6。-10山，丽=(L,),由于B,E上平面ABF .BE.F丽=6。-1,0山，y%)=x。-1+0+y%=0,即。+%=1， 故CE与DF的长度之和为1.故选：D. 4.【答案】A 解析：以D为坐标原点，DA,DC,DD,分别为x,,二轴，建立空间直角坐 标系， 则A(L,0,0),D(0,0,1)BL,1,1),设P(0,m,0),0≤m≤1，Q(n,0,t), 所以 ,2=(n,0,t)-(（1,1,1)=(n-1,-1,t-1), AD=(-L,0,),AP=(0,m,0)-(1,0,0)=(-1,m,0), 因为B,Q⊥平面ADP, 所以B,0·AD=(n-1,-1,t-1)(-1,0,1)=1-n+t-1=t-n=0,故t=n, B,0·AP=(n-1,-l,t-1)(-1m,0)=1-n-m=0,故m=1-n, 其中P=(n,0,t)-(0,m,0)=(n,-m,t), 故到同=+m+产=x+0-=-+1=形-号 故当a=号时可=子，此时m=1n=子满足要求 所以线段PQ的最小值为居=车放选：A 42 0 4 B 5.【答案】ABC 解析：由题意，向量AB=(2,-1-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1) 对于A中，由平行四边形法则加法可得 AC=AB+AD=(2,-1,-4)+(4,2,0)=(6,L,-4),所以A正确： 对于B中，由AP.AB=2×(←1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0， 可得AP⊥B,所以B正确： 对于C中，又因AF.AD=(-)×4+2×2+(1)×0=0, 由AP⊥AB且AP⊥AD,ADOAB=A,ADC平面ABCD,ABC平面 ABCD 可得向量AP是平面ABCD的一个法向量，所以C正确： 对于D中，由AP是平面ABCD的一个法向量，可得AP⊥BD,所以D 错误.故选：ABC 6.【答案】(2,0,5) 解析：已知，直线BDIICA,且BD与坐标平面xO:相交于点D, 则有BD川C4,可设D(x,0,) 而A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0, 则8D=24,即：(-2-2=）=20，-2,5) 「x-2=0 [x=2 即：仁222，解得：=5，所以点D的坐标为(20,5).故答案 ==52 为：(2,0,5) 7【答案】6 2 解析：如图，以点D为原点，分别以直线DA,DC,DD,为x轴，y轴，二轴， 建立空间直角坐标系， 则A(10,0),4(（10,2),D(0,0,0),E(111,设P(0,y,=), 所以D4=10,2),DE=11,),P=(1,,), 段45法时为-6：厥8为{2。 取n=（-2,L,1) 因为AP1平面40，所以正1，则号子片解得y=:行 所以则西 8.【答案】(1)证明见解析；(2)5 解析：(1)证明：PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形， 易知DA,DC,DP两两垂直. .分别以DA,DC,DP所在的直线为x,y,=轴，建系如图，则根据题 意可得： M D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0 Po0,).82.0,M行 ,w(0,10) -（分0网=-a-0,丽-02o) 而叶(》0，西西0 MN⊥PA,MN⊥AB,又PA∩AB=A,都在面PAB内， .N⊥面PAB: (2)解：设C到平面AW的距离为h, 由(1)可知W⊥AM. :PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=2,AD=PD=1, M,V分别为PB,CD的中点， AM=1 6 2 ,Aw=万，w=2-4之 -16E5 :Samao=7x2 2 4 SANE= x1x1= 2 2 由。-Am=-Am -h A=5,即c到平面A的距离为5 3 3