第3节 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三节 空间向量及其运算的坐标表示 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:空间直角坐标系及空间向量的坐标表示 （1）空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底（如图）,以点为原点,分别以,,的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分. （2）空间向量的坐标表示 ①在空间直角坐标系中,,,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使. 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标. ②在空间直角坐标系中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作. ［对应练习:基础1、题型1］ ▍知识点2:空间向量运算的坐标表示 设,则 （1）两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和,即. （2）两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差,即. （3）数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标,即. （4）两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和,即. ［对应练习:基础2—基础4］ ▍知识点3:空间向量的平行或垂直的坐标表示 （1）空间向量平行（共线）的充要条件 设, 则. （2）空间向量垂直的充要条件 设非零向量, 则 ［对应练习:题型2、题型3］ ▍知识点4:空间向量的模长公式及夹角的坐标表示 （1）空间向量长度公式的坐标表示: 若,则. （2）空间两点的距离公式: 若,则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. ②或. 注意:两点间距离公式是模长公式的推广,首先根据向量的减法推出向量的坐标表示,然后再用模长公式推出. （3）向量的夹角坐标公式 设非零向量,则.夹角公式是根据向量数量积的定义推出的.注意的范围是,当时,两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线. ［对应练习:题型4—题型6］ ▍知识点5:中点坐标公式及三角形重心坐标公式 （1）中点坐标公式 空间中有两点,则线段的中点C的坐标为 （2）重心坐标公式 已知的三个顶点, ,则的重心的坐标为. ▶练基础 空间向量的坐标表示 1 【典例▪1】已知是空间的一个单位正交基底,向量用坐标形式可表示为 . 【变式▪2】已知是单位正交基底,则空间向量的坐标是_______. 【练习▪3】设是空间中的一个单位正交基底,已知向量,其中,, ,则向量在基底下的坐标是（    ） A. B. C. D. 【练习▪4】（2024·高二专题）直三棱柱中,,,D为的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,的坐标分别为 . ▶练基础 空间向量的坐标运算 2 【典例▪5】已知,求. 【练习▪6】已知向量,,则_________. 【练习▪7】已知,,,则__________. 【练习▪8】（2024·上海高二期中）已知, ,则 . 【练习▪9】向量,,,若,则实数 . ▶练基础 点坐标与向量坐标的关系 3 若,则 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【典例▪10】在空间直角坐标系中,若, ,则点的坐标为_________. 【变式▪11】（2023·高二课时练习）已知平行四边形,且,,,则顶点的坐标为__________. 【练习▪12】（2024·全国高二专题）空间直角坐标系中,已知,,点满足,则点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【练习▪13】已知点,点,若点C满足,则点C的坐标为__________. ▶练基础 找坐标系下点的坐标 4 【典例▪14】建立合适的空间直角坐标系,在所建立的坐标系中: （1）写出棱长为1的正四面体各顶点的坐标; （2）写出底面边长为1,高为2的正三棱柱各顶点的坐标. 【练习▪15】如图,△ABC是一个正三角形,平面ABC,,且CE＝CA＝2BD=2,M为AE的中点.请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标. 【练习▪16】如图,点,四面体中,平面,,,, ,分别是,的中点,求点的坐标. 【练习▪17】如图,四棱锥的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=,E是CD的中点, PA⊥底面ABCD,PA=2.试建立适当的空间直角坐标系,求出的坐标. 【练习▪18】如图所示,在三棱柱中,平面平面,,且,,请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标. 【练习▪19】平行六面体中,底面是矩形,,,平行六面体高为,顶点在底面的射影是中点,建立适当空间直角坐标系并写出的坐标. 【练习▪20】三棱柱中,侧面是边长为的菱形,,交于点, 侧面,且为等腰直角三角形,若建立如图所示的空间直角坐标系,求点的坐标. 【练习▪21】如图,四棱锥中,底面, ,,,为的中点.请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标. 【练习▪22】已知点,求: （1）点关于各坐标平面对称的点的坐标; （2）点关于各坐标轴对称的点的坐标; （3）点关于坐标原点对称的点的坐标. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 坐标系变换下的坐标变化 1 【典例▪23】若向量在空间的的一组基底下的坐标是,则在基底下的坐标是（    ） A. B. C. D. 【典例▪24】已知向量在基底下的坐标为,则在基底下的坐标为___________. 【典例▪25】已知是空间向量的单位正交基底, 是空间向量的另一个基底,若向量在基底下的坐标是,则向量在基底下的坐标是 . 【典例▪26】（2024·江苏连云港高二）已知是空间的一个基底,是空间的另一个基底,一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标是________. ▍练题型 向量平行与垂直的坐标表示 2 ▷角度1:已知平行垂直关系求参数 【典例▪27】已知,,若向量与平行,则 . 【典例▪28】空间向量,且,则实数 . 【练习▪29】已知空间向量,且与垂直,则等于 . 【练习▪30】已知向量,,且与互相垂直,则的值是 . 【练习▪31】已知,. （1）求; （2）当时,求实数的值. ▷角度2:证明平行垂直关系 【典例▪32】（2024·全国）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面, ,是的中点,作交于点. （1）证明:平面; （2）证明:平面; 【练习▪33】在正方体中,已知、、、分别是、、和的中点. （1）证明:,; （2）证明:平面. 【练习▪34】如图,在四棱锥,底面为菱形,底面, ,,是上的一点,.证明平面. ▍练题型 向量共线与共面的坐标表示 3 【典例▪35】已知向量,,若与共线,则实数的值为 . 【典例▪36】向量,,,若共面,则 . 【变式▪37】（2024·上海高二）若空间中三点、 、共线,则 . 【练习▪38】已知,,, 共线且方向相反,则 . 【练习▪39】已知空间向量,, ,若,,共面,则 . 【练习▪40】（2023·高二专题）在空间直角坐标系中,已知点,,,,若四点共面,则 . ▍练题型 向量模长与距离的坐标表示 4 【典例▪41】已知空间向量,,则 . 【变式▪42】（2023·高二专题）设,向量,则 . 【练习▪43】设空间向量,,若,则 . 【练习▪44】（2024·福建三明高二校考）若, ,,则的形状是 .（选填:锐角三角形、直角三角形或钝角三角形） 【练习▪45】（2024·甘肃定西高二校考练习）已知,若,,那么的最小值为 . 【练习▪46】如图,直三棱柱中,, ,点分别是、、的中点,点是上的动点.若,则线段长度为 .      【练习▪47】如图所示,在正四棱柱中,E,F,P分别是,,BD的中点,且,AB＝AD＝2, Q是平面内一点,若,则 . ▍练题型 空间向量夹角的坐标表示 5 【典例▪48】已知,,,夹角为,则 . 【变式▪49】已知,,,则 . 【变式▪50】已知,若夹角为钝角,则实数的取值范围是 . 【练习▪51】已知向量,, ,若向量与所成角为锐角,则实数的范围是 . 【练习▪52】如图,直三棱柱中,, ,,是,的中点. （1）求的距离; （2）求的值. 【练习▪53】（2024·广西河池高二）已知, ,,,. （1）若、共线,求实数; （2）若向量与所成角为锐角,求实数的范围. ▍练题型 坐标法求取值范围问题 6 【典例▪54】如图所示,在长方体中,,,点P为线段上一点,则的最小值为 .    【变式▪55】（24-25高二·四川）如图,在直三棱柱中,,,已知与分别为和的中点,与分别为线段和上的动点（不包括端点）,若,则线段的长度的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【练习▪56】（23-24高二·山西吕梁练习）在棱长为4的正方体中,点,分别为棱,的中点,,分别为线段,上的动点（不包括端点）,且,则线段的长度的最小值为 . 【练习▪57】（24-25高二·江西南昌练习）是被长为1的正方体的底面上一点,则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪58】（23-24高二·河北衡水练习）如图,在四棱锥中,底面为正方形,, 底面,点、分别为、的中点,若线段上存在点,使得,则线段的长度最小值为 . 【练习▪59】如图,棱长为1的正方体中,点在上,点在上,则的最小值为（    ）    A.1 B. C. D. 【练习▪60】（24-25高二·上海例题）如图,正方体的棱长为1,动点M在线段上,动点P在平面上,且平面. （1）当点M与点C重合时,求线段AP的长度; （2）求线段AP长度的最小值. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.在空间直角坐标系中,P（2,3,4）、Q（−2,−3,−4）两点的位置关系是（ ） A.关于轴对称 B.关于平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 2.已知向量且,则等于（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 3.空间直角坐标系中,已知点, ,则一定是（    ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.已知在空间单位正交基底下,是空间的一组单位正交基底,是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为（   ） A. B. C. D. 二、多选题 5.已知向量,,则（    ） A. B. C.向量,的夹角的余弦值为 D.若向量（,为实数）,则 三、填空题 6.已知向量,,且与垂直,则等于 . 四、解答题 7.（2023·全国高二作业）已知向量, ,点,. （1）求; （2）在直线上,是否存在一点,使⊥？（为原点） 8.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,P为上的点.且求: （1）λ的值; （2）异面直线PC与所成角的余弦值. 9.（2024高二·全国·专题练习）如图所示,在直三棱柱中,,,棱,M,N分别为的中点. （1）求BN的长; （2）求与所成角的余弦值; （3）求证:平面. $第三节空间向量及其运算的坐标表示 核心基础导学 【1】(28,3) 解析：由向量坐标的定义可知，，是空间的一个单位正交基 底，a=-2+8j+3k=(-2,8,3) 故答案为：(（-2,8,3) 【2】(-2,2,6) 解析：根据空间向量的坐标表示的定义可知 -2a1+2(色-3)=-2g+2点，-6，因为{色，，}是单位正交基底。 所以空间向量-28+2（色-38）的坐标是(-2,2，-6) 【3】A 解析：因为p=8a+66+4c 又“a=i+j,6=j+衣，d=+i, 户=8+)+6++4d4) =121+14+102=a2,14,10),故选：A 【4】(-2,-1,4),(-4,2,-4) 解析：设OA,08,00同方向的单位方向向量分别为，，证 因为D0=-OD=-(o+0p)=-0a,-,O,A+0,8) =-0-@+o)-00-2a-丽=-i-7-￥ 所以D0=(-2,-1,4）, 因为45=O丽-0A=0丽-(A+A4)=O8-0A-A=-4+27-4证 所以4B=（4,2,-4), 故答案为：（-2，-1,4)，(4,2-4) 【5】a+5=(2,-2,2),a-i=(2,0,-6),a6=-7,(2a)-5=14, (a-)(位+)=-8 解析：由题意， a+b=(2,-1-2)+(0,-1,4)=(2,-2,2), a-6=(2,-1-2)-(0,-14=(2,0,-6 a,b=(2,-1,-2)(0,-14)=2×0+（1)×（-1)+（←2)×4=-7， (2a)(-b)=-2a.6=-2×(7)=14 (a+6)(位-b)=(2-2,2)(20,-6)=2x2+(2)x0+2×←6)-8. 【6】(8-13) 解析：因为a=（-3,0,-1),所以2a=(6,0,-2),所以b-2a=(8,-1,3).· 【7】(13,) 解析：易知店=(03,2)，8C=(-2,0,2),所以号8c=(-10,1):因此可得 西-cn 【8】-7 解析：因为a=(-1,2,0),b=(2,0,1) 所以2ā+35=2(-12,0)+320,1)=4,43)， a-5=（1,2,0）-(2,0.1)=（3,2-1 所以(2ā+36)（位-）=4×(3)+4×2+3×（1)=-7.故答案为：-7 91子 解析：由a=L,x),c=(L,-1,1)可得a+c=(2,0,x+1) 所以（位+），5=2+1x0+2华+=-1，解得x=故答案为：月 【10】(7,1,2) 解析：设B(x,,=),则AB=(-1y-1,=)=(6,0,2) 「x-1=6 所以{y-1=0,解得：x=7,y=1,二=2.所以点B的坐标为(7,1,2) ==2 【11】(5,13,-3) 解析：设D(x,y,) 则4B=(2,-5,)-(4,1,3=(-2,6,-2),DC=(3-x,7-y,-5-), [3-x=-2 x=5 由题意得：AB=DC,即{7-y=-6,解得：{y=13,故顶点D的坐标为 -5-==-2 =-3 (5,13,-3) 【12】C 解析：设D(x,y,=),则AD=(x,y-1,),AB=(3,1,2),由AD=2AB得 [x=6 y-1=2即D(63,4),故选：C ==4 【13】(6,2,7) 解析：设点C(xy,=）,则AC=(x-2,y,=-1,BC=(x-10,y-4,=-13) 因为AC=-BC 所以(x-2,y,=-1)=-(x-10,y-4,=-13) x-2=10-x 即y=4-y,解得：x=6,y=2,==7,所以C的坐标为(6,2,7). 5-1=13-= 故答案为：(6,2,7) 【14】答案见解析 解析：(1)如图建立空间直角坐标系， 则由楼长为1的正因面体知A0aC5oc0l0,29号5 623 (2)如图建立空间直角坐标系， 则由底面边长为1，高为2的正三棱柱可得 o00.o,a010430,a0,02y2024c71 222 【15】答案见解析 解析：△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC,以C为原点，平面ABC 内过C点垂直于BC的直线为x轴，CB为y轴，CΣ为=轴，建立如图所 示的空间直角坐标系C5. 则有C(Qa,0)A(V5,10B0,2.0E0,02D0,21),M 2 解析：如图坐标系所示，因为∠AD8=30°，所以2-m130°，所以 BD BD=√5a,所以D(0,V3a,0):又因为BC=CD且∠BCD=90°，所以 △BCD是等腰直角三角形，则C在y轴投影点为BD中点，所以 （2a, 20 :又因为E是AC中点，且A(0,0,a)、C 2a2a,0 由中点坐标公式可知：E 5.5 4 :又因为F是AD中点，且 40aa、5ao叭.由中点坐标会式可知：o马 【17】详见解析 解析：如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为=轴， 过点A与xA:平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系. 则相关各点的坐标分别是： A(0,0.0),8(10,0,c(5,0),D(55,0) 22 22 P(0.0,2),E1,5,0. 2 【18】答案见解析 解析：已知平面QBB,Q⊥平面OAB,∠QOB=60°， 在平面QBB,9,取一向量⊥QB,由于平面OB8,Qn平面QAB=OB, 所以三⊥平面OAB,又∠AQB=90°，所以三，OA,OB两两垂直， 以O为原点，OA,O,三的方向为x,,二轴的正方向建立空间直角坐标 系Ox5, 如图所示 0 0 B y 因为O0,=2,∠Q,0B=60°，所以Q到=轴的距离为 lGlco6021 三棱柱OA8-0A的高为eo血=2x5=5, 则o(0,00),Q(0,15),A5,0,0）,4(V5,l5),(02,0) a(0,3,5 【19】4(2-2,0),B(2,2,0),4(2,0,25,D,(0,-2,0）,B2,425 解析： B 如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD所在直线为y,=轴，以过点O 作B,C的平行线为x轴建立空间直角坐标系， 设点A,(x,必，)，点A在平面xoy上则==0， 由图可知它到y轴投影对应数值-2，则y=-2, 到x轴投影对应数值为2，则x=2,即A(2,-2,0), 设点B,(x,y,),点B,在平面xOy上则==0， 由图可知它到y轴投影对应数值2，则y=2 到x轴投影对应数值为2，则x=2,即B,(2,2,0), 设点A(x,y,),点A在平面xo上则y=0, 由图可知它到x轴投影对应数值2，则x=2 到=轴投影对应数值为2V5,则==2√5，即A(2,0,2√3) 且点D在y轴上，则D(0,-2,0). 令Ox,Oy,O轴方向上的单位向量分别为i,j, 0D=-27,08=25+2j,则D8=08-0D=25+4 0D=25成，所以0D=0D+DB=0D+D,8=2i+4j+2W5 点B坐标为(2,4,2V3) 【20】(-√3,1) 解析：由侧面BB,CC是边长为2的菱形，∠CBB=60°，可得 OB,=1,0C1=V3, 又由AO⊥侧面BB,CC,且△AB,C为等腰直角三角形，可得QA=1, 如图所示，过点A作AE⊥平面BCC,B,垂足为E,连接B,E,C,E, BE /OC,CE /OB,AE //AO 所以A的坐标为(-√5,1) C B:--- 【21】答案见解析 解析：如图，连接BD交AC于O BC=CD,:△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD,∴AC⊥BD: 以O为坐标原点，OB,OC正方向为x,y轴，作=轴∥PA,可建立如图所 示空间直角坐标系， 0c=CDco,4C=4,A0=AC-00=3, 又0B=0D=CDm背=5， 则4(0，-3,0），(V5,0,0,c(01,0),D50,0,P0,-3,2),o(0,0.0) F(0,-l,1). 【22】(1)(2,3,1):(-2,3,-1):(2,-3,-10 (2)(2-3,1):(-2,3,1),(-2,-3,-1) (3)(-2,-3,1) 解析：(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为'， 则点P'在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点 在=轴上的坐标与点P在=轴上的坐标互为相反数. 所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P的坐标为(2,3， 同理，点P关于O,Ox坐标平面的对称点的坐标分别为 (-2,3,-1),(2-3,-1). (2)设点P关于x轴的对称点为Q, 则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及 在=轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在=轴上的坐标互为相反数. 所以，点P关于x轴的对称点9的坐标为(2-3，). 同理，点P关于y轴、=轴的对称点的坐标分别为(2,3，)，(-2，-3,1). （3)点(2,3，)关于坐标原点的对称点的坐标为(-2，-3,1). 重点题型专练 【23】C 解析：因为p在基底{a,b,c下的坐标是Q,3,2),所以p=a+36+2c, 设p在基底位+五a-五©下的坐标为(x,), 则p=x(a+)+y(G-)+G=+y归+(G-y5+c, 因此a+3跖+2c=G+y)a+(G-y)乃+=c,所以x+y=1,x-y=3,==2 即x=2,y=-1==2 即向量p在基底位+五，a-五G下的坐标为(2，-1,2).故选：C 【24】(2,13 解析：因为向量p在基底石+5,3+c,c+a下的坐标为(0,12)， 可得p=0×6+6)+1x6+e)+2×6+a=2a+5+3, 所以向量p在基底{a,6,}下的坐标为(2，L3) 【25】(3,-16) 解析：~向量p在基底{a+b,ā-b,3下的坐标是12,2)， ∴=(a+b)+2(6-6+2(3c)=3a-6+6 所以向量p在基底a,5,下的坐标是(3，-16).故答案为：(3，-16) 【26】(3,13) 解析：设向量P在基底a+,a-,©}下的坐标为(s,y,),则 D=x(a+B)+y(a-B)+=c, 又向量p在基底{a,6,下的坐标为(4,23)，则p=4a+25+3, 所以4a+25+3=xa+)+ya-)+c,即 4a+25+3x=+y)a+6k-y)b+c, 「x+y=4, x=3, 所以{x-y=2,解得y=1 ==3 5=3, 所以向量P在基底{位+6，ā-，}下的坐标为(3,13) 【27】1或-1 解析：由ā=(110)，万=(-10,2)， 则ka+b=(k-1,k,2）,a+kb=(1-k,l,2k), 又向量a+B与a+6平行，即存在1使得(k-1k,2)=21-k,L,2k)成 k-1=20-k) 立，则有k=1 ,解得k=1或k=-1.故答案为：1或-1. 2=22k 【28】2 解析：由空间向量m=(3,6,3),n=(12-1), 「3=-u 因为1，可得m=n,即6=，解得2=2.故答案为：2」 3=-业 【29】4 解析：因为a=(-3,2,5),b=(Lx,-),且a与b垂直， 所以a.6=-3+2x-5=0,解得x=4,故答案为：4 【30】号 解析：ka+=,10)+(-10,2)=(k-1,,2) 2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), 因为ka+i与2a-6互相垂直，所以(a+)(2a-)=0, 即化-1,2(2-25-70，解得：-子故答案为：号 【31】详见解析 解析：(1)已知a=(3,2,-1),b=(2,1,2), 则a2=14,b2=9,a.b=6, 所以(a+b}(a-2b)=a2-ā-6-252=14-6-2×9=-10： (2)因为(a+b)L(a-5) 所以(a+b)(a-5)=a2+1-k2)归.6-52=14+6-k2业=0， 解得：=子或-号 【32】(1)证明见解析：(2)证明见解析 解析：(1)证明：如图所示D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP 为=轴，建立空间直角坐标系， 2 设DC=a. 连接AC,AC交BD于G,连接EG 依题意得.4a,0),P0,0a),0,月， 因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为兮号0)且顶=a0-),西=号0分 所以PA=2EG,这表明PA1/EG. 而EGC平面EDB且PA文平面EDB,所以PA//平面EDB (2)证明：依题意得(aa,0),P店=(a,a,-a), 又丽=02导故历正-0+号号-0 22 所以PB⊥DE, 由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,EF,DEC面EFD,所以PB⊥平面 EFD. 【33】(1)证明见解析(2)证明见解析 解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则 A0,0,0)、B(10,0）、C,10）、D(0,10）、4(0,0,1、B(10,1)、C(11)、 2o,曲中点质得时、传0 (1 所以AB/GE,AB,⊥EF 即AB,/GE,AB,⊥EH 2)因为40-合-1，丽-0，匠-（时 40丽00 40丽+0-分=0， .AG⊥DF,AG⊥DE 又DF∩DE=D,所以AG⊥平面EFD 【34】证明见解析 解析：证明：以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A一x 设s0.则eo小.aa,go}s-6o. 可明元-(a.丽9西9- 则元丽号0且元远-号行0 所以PC⊥BE,PC⊥DE,且BE DE=E,BE,DEC平面BED, 所以PC⊥平面BED· 【35】2 解析：因为ā与B共线，所以存在2，使得=a, 「4=-22 即(4-2，x=2(-2,山，-)，故-2=2，解得 [2=-2 x=2.故答案为：2 x=-2 【36】2 「22-4=1 解析：由题意设ā=乃+c,所以22=x,解得=业=L,x=2.故答 2l=2 案为：2 【37】3 解析：A(1,5,2)、B(2,4,1)、C(m,3,n)三点共线， ∴A丽∥AC,即AC=1丽 AB=(1,-1,-1）,AC=(m-1,-2,n-2) ∴.（m-1,-2,n-2)=21,-1,-1)=（2,-2,-2) 「m-1=2 「2=2 .{-2=-2,解得{m=3, 2-2=-2 n=0 ,m+n=3.故答案为：3。 【38】-8 解析：因为ā，B共线且方向相反，所以设6=2ā，2<0 「x=2 即x2+y-2=22可得2+1-2=0解得2=-2或2=1（舍） y=32 所以x+y=A+32=41=-8,故答案为：-8 【39】-6 解析：若a,b,c共面，则存在实数x,y,使c=xa+yb 即(（-L,2,t)=x(-2,1m)+y0,-L,2)=（-2x+,x-y,2x+2y) -2x+y=-1 所以x-y=2,解得x=-1,y=-3,t=-m-6. mx+2y=t 所以m+t=-6.故答案为：-6 【40】1 解析：A(2,3,1,B(-11-1),C(0,-11),D1,Lx), A8=(-3,-2,-2),AC=（2,-4,0）,AD=(L-2,x-1, 又：A,B,C,D四点共面 ∴.由平面向量基本定理可知存在实数，L使AD=4B+AC成立， ∴.（-L,-2,x-1=2(-3,-2,-2）+(-2,-4,0) 「-1=-32-24 x=1 ,{-2=-22-4,解得{2=0，故答案为：1 x-1=-22 【41】√2 解析：因为空间向量a=(2,12),B=(12,2),则 3-a=(（12,2-(2,12)=(110), 因此，5-a=-+P+02=反.故答案为：巨 【42】5 解析：由A(3,2.83-17),得A西=(0，-36)，则Ac=西=(0，-12) 所以4C=+←+2=5.故答案为：5 【43】9 解析：因为空间向量a=（1,2,),b=(2,n,-4),且a1B 所以B=ā 即(2，n,-4)=2(-12,m) 「2=-2 可得{n=22,解得m=2,n=-4, -4=m 所以a=（12,2),6=(2-4-4) 则ā-b=(3,66),所以a-=-3+62+6=9.故答案为：9 【44】锐角三角形 解析：因为A(6,-1,4),B(L-2,1),C(4,2,3) 则A8=(-5,-1-3),Ac=(-2,3,-1),C=(3,42, 所以，回=25+1+9=B5,A=4+9+1=4 |BC=V9+16+4=29, 所以，△ABC中，AB边最长，内角C最大， 所以，C4.CB=(2,-3,1)(-3,-4,-2)=-6+12-2=4>0, 显然C、C西不共线，故C为锐角，故△ABC为锐角三角形. 【45】35 解析：因为a=1+x,1x),万=(0,2x,x,所以a-五=1+x,1-2x,0), 所以巨--V1+x+1-2x=5x2-2x+2= 名 所以-的最小值为5.故答案为：35 【46】5 解析：如图，以点A为原点，以AB,AC,AA为x,y,二轴建立空间直角坐标 系 E(0,4,2),F(2,0,0),G(2,0,4),D(0y,0), GD=（2,x,-4),EF=(2,-4,-2), 因为GDLEF,所以GD.EF=-2×2-4y+(4)×(2)=0,得y=1, 即D(o,L0),所以FD=V2-0+0-=5 【47】35 4 解析：建立如图所示空间直角坐标系， 2o}oaF(2引，0u0j。 2 ge平面CDD,C,故可设g(0,a,b),则PQ=(-1,a-1,b), 由于EF∥P吗，所以EF=2P9 1=2(a-1 ,解得a==子 所c引网品兰故等装为 4 【48】-3 解析：由ā=(2-2,0)，6=（化，0,3），得1a=22,VP+9,a.6=2, 曲，5夹有为告得号品可片御相 所以飞=-3.故答案为：-3 【491号 解析：由题意得QA=(0,12),OB=(2,0,-),则 (似)需品微答米手 -2 【50】1>-5且2≠1 解析：因为a与b的夹角为钝角，所以a.b<0且a与b不共线， 因为a=(1,-2,2),b=(（-1,2,-1,所以a.b=-1-4-1<0,解得1>-5 「1=-k 当a与万共线时，a=3,即-2,2)=(-12，-1)，则-2=2k,解得 2=-k k=-1,1=1,所以1>-5且2≠1.故答案为：1>-5且2≠1. 【51】L2Uo) 解折：由向量a-10),石=(m,02),可得a-万=m月-V5,月-原+4 因为可晋快前万出样相 0 10 所以6=(-10,2)，所以a+5=1-k,12)与2a+3=4,2,2), 又因为向量ā+b与2a+B所成角为锐角， 所以(a+b(2a+B)=1-k+2+4k>0,解得北>-1， 若向量845与+8共线则生行兰解狗行 所以实数k的范围是(1，与U(5+∞).故答案为：（山气U(宁+o) 【52】详见解析 解析：(1)如图，以C为原点，分别以CA,CB,CC℃，为x,y,=轴建立空间 直角坐标系C-=,依题意得B(01,0),W1,0,1),B(0,12),C(0,0,2) o52,@-7 网-+(+旷-所以的距离为号 (2)依题意得A(10,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B(0,12), .B4=(L,-L,2,CB=(0,l,2), 4.c8=3,B4=6,网=5 :…画)同同0 BA·CBV30 【s31wa(哈* 解析：(1解：因为a=(,l0),五=（1，y,2),c=(2,-2,),月=5，a⊥c 则=+y+4=5,可得y=0,ac=2x-2=0,解得x=1, 所以a=(1,0),6=10,2),所以a+5=(1-,12),2a+5=(42,2), 因为+阿a+列所以毕子华解得t=分 122 (2)解：由(1)知，a+5=1-k,12),2a+5=2,2) 因为向量a+3与2a+B所成角为锐角 所以(a+5)(2a+)=(-)x1+1x2+2×2业=3+3>0，解得k>-1, 又当k=时，(a+b)2a+6) 所实数：的国为时 【s41 解析：以C为坐标原点，分别以CD,CB,CC为x,y,二轴，建立空间直角 坐标系， 则C(0,0,0),2(N5,0,0,2(0,m,V5-V5m,0≤m≤1， D 则C平.DP=(0,m,5-3m小(5，m5-5m)=m2+(5-5m 当m=子时，可丽的最小值为子故答案为：子 【55】C 解析：在直三棱柱ABC-AB,G中，A4上底面ABC 以点A为坐标原点，AB,AC、AA所在直线分别为x、y、=轴建立 如下图所示的空间直角坐标系， G 长B 则A(0,0,0)、 由于GDLEF,则GD.F= 1x-y+ =0，可得x+2y-1=0, xe(0,1),则y= DF=2+y=V-2y+y2=V52-4y+1 5y- 故选：C. 【56】45 5 解析：以D为坐标原点，D4,DC,DD,所在的直线分别为x轴、y轴、 二轴，建立空间直角坐标系，如图所示 ZA D M 因为点E,F分别为棱DA,BB的中点，所以E(2,0,0),F(4,4,2) 设M(x,0,4),V(4,y,4),其中0<x<4,0<y<4 则w=(2y,4),F=(-4,-4,2） 因为丽1☑，则.FM=(2y,4)(区-4，-4,2)=2x-4y=0,解得 x=2y. 又因为0<x<4,0<y<4,则0<y<2, 可得0w=V-4)+y2+4-4=V2y-4+y2= 所以0-45，此时y=；,即线段的长度的最小值为45 故答案为：45 【57】B 解析：如图，以点D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,=轴， 建立空间直角坐标系， 则A(10,0),C(0,1),设P(6,),0≤x≤1,0≤y≤1，=1， a=1-x,y,-),PG=(x,1-y,0), 风网0-小-小*-y（ 当xy片时风阿取得最小值号 当x=0或1，y=0或1时，A.PC取得最大值0， 所以丽可的取值施网是[0故选B D 【58】4 解析：以D为原点，以DA,DC,DS所在的直线分别为x,,=轴，建立空间 直角坐标系， 如图所示，设SD=a,a>0,DG=,0<1<a -(.az).(0a0u号}月Fuoj, 则=01号-2a丽=(1-， 因为c驱10，所以.a丽1-A经-4小0 则a=2+》2x4,当且仅当=之时，即1时等号成 立，所以a24,即SD24,所以SD长度的最小值为4.故答案为：4 【59】C 解析：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则可设E(a,a,0),其中0≤a≤1，F(b,l,b),其中0≤b≤1 根据图中可知直线BD和直线B,C为异面直线， 若能取到两异面直线间的距离，则此时EF距离最小 根据异面直线公垂线的定义知EF⊥BD,EF⊥B,C, EF=(b-a,1-a,b),DB=(1,L,0),B1,L,1),C(0,L,0),则B,C=(-1,0,-1 则EFBD=b-a+1-a=0,E函.8，C=-b+a-b=0, 解得 3,满足a,b范围， 3 则此时歌--旷+e旷+-5+与+-马 则R。 .故选：C 3 【60】(1)2(2)6 解析：(1)如图，以D为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别为x、、 二轴，建立空间直角坐标 系，则A(1,0,0),B(1L,0),D,(0,0,1) 休0 设M(0,lm),P(x,,1),则 AF=(-Ly,),B五=(-L-1),BM=（1,0,m).因为AP1平面MBA, AP.BM=0, 所以 ,1-x+m=0, m丽-0得2x-y=0 当点M与点C重合时，m=0,x=y=1,此时AP=(0,1,1), 则AP的长度为V+=√互 (2)回=-旷+y2+1=22-2y+2= 即线段AP长度的最小值为 2 综合巩固提升 1.【答案】C 解析：，P(2,3,4)、Q(-2,-3,-4)两点的横坐标、纵坐标、竖坐标均 互为相反数， ∴两点关于坐标原点对称.故选C 2.【答案】C 解析：由题设ā+b=0,-1,1)+(4,10)=(4,1-元，2)， 由12a+b=16+0-)2+22=V29→22-2-6=(2+22-3)=0且 2>0,解得2=3.故选：C 3.【答案】C 解折：点A,-2,1山)，84,23)，C(6-14),则1AB√3+42+(-8时=V9 18C=V22+(3y+1=4,14C52+2+←7万2=√丙， 而|AC?+|BCAB,所以△ABC一定为直角三角形.故选：C 4.【答案】C 解析：设向量p在基底{a+石，a-,}下的坐标为(xy,),则 p=x(a+b)+y(a-b)+=c 又向量P在基底{a,5下的坐标为(42,3)，则p=4a+25+3无 所以4a+25+3=x(G++ya-+c,即 4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+=c [x+y=4, x=3, 所以{x-y=2,解得y=1,所以向量p在基底{a+五，ā-，©}下的坐标 ==3, ==3 为(3,1,3).故选：C 5.【答案】BC 解折：解：对于选项A由宁子，故A选项不正确 对于选项B,由日=5，月=5，故B选项正确： 对于选项C,由a.石=1x11x(-+(-)×1=-1,得 1 co万行，故C选项正确： 对于D选项，由 m=(20,0)=xa+b=(,x,-x)+(y,-,y)=(+y,x-y,-x+y）,得 一中解得x1,1,有yL,故D运项错说放选BC 6.【答案】7 解析：试题分析：a-b=(-1,0,1)-(L,2,3)=(-k-1-2,k-3),由(a-b) 与6垂直.(ka-b)b=-k-1-4+3北-9=0.k=7 7【答×1w56:2公（片到 解析：(1)2ā+b=(2,-6,4)+(-2,1)=0,-5,5) 故2a+=√02+(5+52=5万 (2) OE=OA+AE=QA+t4B=(-3,-1,4)+tL,-L,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t） 若O正上6，则O,6=0 所以-2（一3+）+(-1-D+4-2)=0,解得=号 因此存在点日，使得正上6。日点坐标为（名兰》 8.【答案】详见解析 解析：(1)设正三棱柱的棱长为2，设AC的中点为Q,连接BO 因为△ABC为正三角形，故OB⊥AC, 以AC的中点O为原点，OB,OC为x,y轴，以过点O和A4平行的直线 为=轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， B C 则4(0-10)，8(5,0.0），C0,10),4(0-1,2).C(0,12) 于是Aa=(（V51.0,4=0-2,2),4B=(V51,-2) 因为4平=4西，故4P=N51,-2,则PW51,2-1,-22+2), 故C乎=(52,1-2，-22+2)， 因为P℃1AB,所以C.A店=65元，1-2，-22+2(N51,0=0 即3+-2=0-号 ,4G=0,2,2) 所以1CP (网o7g 所以cos(C匣，AC)= C.AC。-3+2V2 1CP1AC12×2√28 由于异面直线所成角的范围为Q受， 所以异面直线PC与AC所成角的余弦值是5 8 9.【答案】(1)5：(2)@ :(3)证明见解析。 10 解析：(1)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠BCA=90°，以点C为原点，直 线CA,CB,CC分别为x,y,=轴建立空间直角坐标系， 由CA=CB=1,A4,=2,M,W分别为4B,4A的中点， 得a0.104a0,2C@a2ao12m052),d=a-10, 所以BW的长为1BWV+(←)2+下=5 A B (2)由(1)得，B4=4,-1,2,CB,=(0,1,2), 酰w风西需要 所以4B与8，C所成角的余弦值是30 10 （8)由D得G丽=兮若0.丽-a0-苏-0-0 GM,BW=2x1+2×-)+0x1=0,CNBW=1x1+0×(-+(-×1=0, 即CM⊥B,Cq⊥B,因此CM⊥BN,CN⊥BV, 而CM∩C,W=C,CM,C,Nc平面CN, 所以BW⊥平面CAMW.