第2节 空间向量基本定理 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦空间向量基本定理及其应用，从基底概念出发，层层递进地引导学生理解向量的唯一分解与正交分解，构建起从二维到三维空间的思维桥梁。通过“基底判断—向量表示—实际应用”三阶段学习支架，实现知识迁移与能力进阶。 资料亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“逻辑推理”和“数学建模”。例如典例18利用空间向量证明垂直关系，让学生在几何直观中提炼代数表达，强化逻辑推理意识；练习23通过异面直线夹角求解，将现实问题转化为向量运算模型，提升数学语言表达力。整套设计结构清晰、题型丰富，既利于教师精准施教，又助学生建立空间观念与理性思维，有效突破难点，提升综合解题能力。

第二节空间向量基本定理 核心基础导学 【1】BD 解析：对于A,因为a,b,}是空间的一个基底，所以a,6,c为不共面的非 零向量，A不正确： 对于B,由空间向量基本定理知，对任一空间向量P,存在唯一有序实数 组(x,y,),使P=xa+yb+-c,B正确； 对于C,a⊥b,B⊥c,但a,c不一定垂直，C不正确： 对于D,假设a+25,5+2,c+2a共面，则存在唯一实数对(x,y),使得 a+2b=xB+2E+y6+2a), 1=2y 所以{2=x ,无解，所以ā+25，b+2,c+2a不共面 0=2x+y 所以{a+2b,5+2正，G+2可以构成空间的一个基底，D正确.故选：BD. 【2】ACD 解析：对于A,能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量， 由于非零向量ā，五与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量ā，五与任何一个向量均共面，则a,五必共线，A正确： 对于B,空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一组基 底，B错误： 对于C,由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个 基底，C正确： 对于D,由于{a,5,}是空间的一个基底，故a,6,c不共面， 而a+,a-万与a,3共面，故与c不共面，且a+,a-万不共线， 故{a+b,ā-，也是空间的一个基底，D正确，故透：AcD 【3】AC 解析：由向量共面定理可知，若存在实数x,y,使MP=xM☑+yE,则点 P,M,A,B共面，故A正确： 若a,共线，p不与a,6共线，则不存在实数x,y,使P=xa+b,故B错 若向量a、B所在的直线是异面直线，则a,b的方向不相同也不相反，且 所在直线也不 相交，所以向量a、五一定不共线，故C正确： 若ā、五、是空间三个基底向量，则对空间任一向量P,总存在唯一的 有序实数组(c,y,),使P=xa+b+c,故D错误；故选：AC 【4】C 解析：因为AB,AC,AD共面，故A错误： 因为AB,A4,AB共面，故B错误： 因为AC,AC,CC共面，故D错误： 因为DA,D,C,D,D三个向量是不共面的，可以作为一个基底，故C正 确；故选：C 【5】c 解折：向量a5,正是空间的一个基底，显然à=P+95=力-9，即 向量a,3分别与向量，g共面，A、B不是； 假定向量c与向量P,g共面，显然五，g不共线，即存在实数2，“，使得 c=Ap+ug 即有c=(2+归+(2-)奶，所以a,b,c共面，与已知矛盾，因此向量c与 向量P,9不共面， 所以向量c可以与P,9一起构成空间的另一个基底，C对，D错 故选：C 【6】BC 解析：对于A选项，2a+万=(2a-)+25,所以2a+万、2a-6、B共面： 对于B选项，假设a+-c、a-万-c、a共面， 则存在1、∈R使得 a=a+i-©)+ua-i-c)=(2+u)a+(a-u5-2+u5 2+0=1 因为a,b,c构成空间的一个基底，则{2-=0，无解 2+4=0 假设不成立，故a+b-c、a-b-c、a不共面： 对于C选项，假设a+b、a-b、a+c共面， 则存在m、neR,使得a+c=m(a+)+n-), 所以，c=(m+n-)a+(m-nb,则a、b、c共面，与题设矛盾， 故a+b、a-b、a+c不共面； 选项D,因为2c-6a=-2(3a-G),则2c-6a、3a-c共线，则a-25、 2c-6a、3a-c共面.故选：BC. 【7】A 解析：因为a=马+可，=马，+马，c=马+闷}不能构成空间的一个基底， 所以存在实数x、y使得c=xa+yb, 即+e=xg+8)+y官+e), 即e+把，=x+(x+y)月，+ye, 因为{何，品，}是空间的一个基底， [x=1 「x=1 则红+y=0,解得y=1。 y=t t=-1 故选：A 【8】BCD 解析：对于选项A:因为a-c=(a-b)+(6-e), 所以a-b,b-c,a-c三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B:因为a+=x(a-B)+y6-G上xa+(x+y5-元， [x=1 则-x+y=0,方程无解，即不存在实数x,y使得该式成立， y=-1 所以a-b,b-c,ā+c不共面，可以作为基底向量，故B正确： 对于选项C:因为a+b=x(a-)+y6-上xa+(←x+y5-e, x=1 则-x+y=1,方程无解，即不存在实数x,y使得该式成立， -y=0 所以ā-b,b-c,ā+b不共面，可以作为基底向量，故C正确： 对于选项D:因为a+b+=x位-b)+>(6-）上xa+(←x+y5-元， x=1 则-x+y=1,方程无解，即不存在实数x,y使得该式成立， -y=1 所以a-B,6-c,ā+6+c不共面，可以作为基底向量，故D正确： 故选：BCD. 【o1a+5+:a)5+5:a)点5+ 解析：(1)连接ACAD',AC, 而ac+=而+aD+0)2++行： (2)c+D)+2+=+5+： (3)丽=C+AD)=西+而+a+D+A] 丽+2而+2=+5+8. 【10】而=++；正=5+ 解析 R AD=网+AC+CD=4:+AC+C8 所以4D向量是名+片5+。 AE-AC+CE-AC+00 2 -++a+ 2 c+5 所以4：向量为子5+ 【11】C 解析：因为8N=C,即N为8C的中点，所以ON=O+OC) 因为oM=2u,所以oM=号 m=丽-om=丽+o网列=+5+.故选：C 【12】A 解折：C=2PE,西=元， 正=征-而=+西-而=而+托而=+c-P}而 -而+c-D-+c-c-+背c-c-) -c+丽， =1,=号子，+y+1故选：A 【13】D 解折：依题意亚-D+下-D+丽+DC) 而+远+远而+而-c列 2 -2 号而+西+c=+- 故选：D 【14】A 解析：因为D为BC中点， 所以而=丽+丽=丽+c=丽+c-丽)丽+分c, 21 因为E为AD靠近D的三等分点， 所以A正=2AD 所以0=0+正=0a+D-0a+丽+aC) =丽+网-a+元， ++宁故选：A 3 3 【15】B 解折：记BC的中点为，连接AB,则正=丽+C), XAB=08-OA=B-a,AC=OC-OA=G-a, 所似店-6-+--+5+宁 由重心性质可知石=号丽，所以G-{ā+片5+)， 所以DG=DA+AG= +++名++选：® 重点题型专练 【16】 解析：设AB=a,AD=b,AA=c, 则同=月-1，月=2，a.6=0, c.a=c.i=2×1xcos120°=-1， AC,=AC+CC,=AB+AD+=a+b+G, 回-5+5+-+5+可 ++f+26.6+5+ca司 =√P+2+2+20-1-1)=5. ∴线段AC,的长为√2 【11威：+片+，M的长为 2 解析：因为W是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 丽：死+丽=而+}=而+-c而+版-丽-D列 =-上丽+AD+暖=-1a+6+: 21 21 2 222 由题意，可得月-月=1l2∠MB=∠D=60,∠BAD=90, 4 =片+片1-0分2a0+宁x2coor-号 2 所以圆=5，即的长为5 2 2 【18】证明见解析 解析：设正=ā，AD=i,c=,则{a,5构成空间的一个基底， BD=AD-AB=6-a. AP=AB+BC+CP=a+b+6 所以8D.AP=6-a)a+6+c）=b2-a2+i.6-ae =32-32+3×4c0s60°-3×4c0s60°=0，所以PA⊥BD 【19】证明见解析 解析：(1)设☑=a,丽=，元=c,正四面体的棱长为1， 因为历=历+丽：历+号国+}项+钢-厉+元-阿) =网+历+元)++) 而=而-顶=场-风6+郑+-)， 2 而而-历玩-万+8-+) 而而-而玩-元=+6+兼+6-)】 所石西6+-+-款s6- =18x1x1xcos-9=0,所以A018O,即A0⊥B0, 36 3 同理，AO⊥CO,BO⊥CO,所以AO,BO,C0两两垂直. 【20】证明见解析 解析：证明：设AB=d,AC=b,AD= 则延西-压c+而还++分北+6 丽=丽-示=D-丽+ac)-非+6)-6+)， =w-a=c-西+D}-++6-), ©H网5+-5+ (a+b+e=(←a-i+e .a2+b2+82-2a6-2i.6+2b6=a2+b2+82+2a6-2a6-2b6 4a.6=45a.i-6.6=06.(a-c)=0 又6=AC,a-6=D8AC.DB=0 AC⊥DB,:AC⊥DB,同理可证AD⊥BC,AB⊥CD, 这个四面体相对的棱两两垂直 【2号 解析：不妨设正四面体的边长为2 设C8=a,CD=b,C=c,a,b,c两两成60°角， 调示-C+正+宁， 西@+号+ 设AF,CE所成角为6， AF.CE 所以cos *+ 【22】详见解析 解折：1)0a=0+而=A+网++丽列 +6a+o丽-+片c+a-+e-丽] +丽++远-+ =+丽+c++ (2)由题意知月--1，a-5=ac=5,c=子，厨=a-i, 则网后-可-f-a+-1, 网后+5+-+f+。+5+ 元厨=6-列传++ ++-若5-5-= 所以co8<OG,8A OG.BA 17 |6a34 【1m=+片，+8-日 2)网-：网5： 解折：(1)由题意可得：哑=元+亚=元+可=a+, 2 4C=4瓦+丽+8C=a-d+b=a+i- (2)由题意可得：a.6=0,a,c=6c=1×2×1-1, 2 因为网+分4-字46。 -6+5-）=后+62++2五6-2i8-25d =V1+1+4-2-2=V5, 丽4c-(++6-a4a6-+5- 2 2 DM.AC 可得cos DM,A,C -1 DMAC -6 又因为异面直线夹角为锐角或直角，所以异面直线DM与A,C所成角的 余弦值V6 6 【24】A 解析：依题意，得 xa+yB+cc=x(@i+e;+e,)+y(e,+e:-e,)+=(G-e;+e,) =(x+y+=)2,+(Gx+y-=)月，+(6-y+=月，=e,+22,+ 「5 [x+y+5=1 由空间向量基本定理，得x+-三=2，解得{y=-1故选：A x-y+==3 22 【25】证明见详解。 解析 证明：连接AG并延长，交BC于点H,由题意， 可令{A,P西，PC}作为空间向量的一组基底， 顾-o风+0+子丽 4 +西亚汉网- 4 4 +丽+ 4 连接DM.因为点D,E,F,M共面，所以存在唯一的实数对(2，川 使DM=2DE+uDF,即PM-PD=A(PE-PD)+(PF-PD), 所以PM=Q-2-)PD+2PE+PF=Q-2-)mPA+mPB+tPC. 由空间向量基本定里知-m,宁点宁， 所以二+上+上=40-2-四+42+4=4为定值. m nt 综合巩固提升 1.【答案】C 解析：向量a,b,c是不共面的三个向量， 对于A,3a=2(a-)+(a+2),则向量3a,a-,a+2五共面，A不能构成空 间基底； 对于B,25=6-2a)+6+2a),则向量25,5-2a,5+2a共面，B不能构成 空间基底： 对于D,2c=(a+c)-(a-C,则向量c,a+c,a-c共面，D不能构成空间基 底： 对于C,假定向量a,25,-c共面，则存在不全为0的实数A,2,使得 a=225+26-c), 1=0 整理得a-(22+2,)5+2,c=0,而向量a,b,c不共面，则有22+月=0， 2=0 显然不成立， 所以向量ā，2,3-c不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底。 故选：C 2.【答案】D 解析：由题意可知： AB=AD=A4,=2,∠AAB=120°，∠DAB=60°，∠AAD=90° 可将：西而=2x2宁2，西瓜=2x2( AD,AA=2×2×0=0, 因为证=MD+DP=4D+(D,g+DD)=+AD-A4) 可得丽-丽+D-) =面+而+网+2丽D-2丽-2而) =4+4+4+2x2-2×(22x0]=5, 所以M=5,即MP=5.故选：D. 3.【答案】D 解析：令A8=a,AD=i,A=c,因为A8=AA=AD 所以-=月，令月-l=mm>o, 因为证= 所以丽=丽+丽+丽=-而+丽+}3c=-5+à+=a-5 因为DV=D' 所以W=AA+A'D+DW=AA+AD+DC=c+B+a, 因为DM⊥AV,所以DM.AN=0, 所以(6-+5+=0， 所以ac+a5+a2-36.c-362-3a6=0 444 因为∠aAD=∠aA'=∠DA=60,月-月=m6m>0) 所以宁+专}=0，解得故运：D 848 4.【答案】AC 解析：对于A选项，由题意可知AC=A8+AD+A4, 则AC=(4B+AD+A4)乃 =AB'+AD+AA,+2AB.AD+2AB.AA,+2AD.AA =62+62+62+2×6×6×c0s60°+2×6×6×cos60°+2×6×6×c0s60°=6， ∴.AC=6V6,所以选项A正确： 对于B选项，C=B+BC=AD-A 所以8CA4=4D-A)A4=ADAA-AA=6×6×cos60-6=-18 BC=AD-AA=AD-)=VAD-D.+ =V6-2×6×6xc0s60°+6=6， 则o(c,网） B.C.AA 同乏， ∴.向量B,C与AA的夹角是120°，所以选项B不正确： 对于C选项，BD=AD-AB 又因为AC=AB+AD+AA 所以AC·BD=(A店+AD+A4)4D-AB) AB.AD+AD.AD+AA,AD-AB.AB-AD.AB-AA,AB =6×6×c0360°+62+6×6×c0360°-62-6×6×c0360°-6×6×c0s60°=0， ,∴，AC⊥BD,所以选项C正确； 对于D选项，设BD,与AC所成角的平面角为0， 因为BD=BD+D而=AA+AD-A8,AC=A店+AD 所以 BD AC=(AA+AD-AB)(AB+AD)=AA.AB+AA,AD-AB+AD =6×6×c0s60°+6×6×c0s60°-62+62=36 B可-AA+AD-A=VA+AD-AB列 =V4+AD+AB+2A4AD-244A8-2AD.A8=65, Ad=B+A可-V丽+AD时=店+2aBAD+AD'=65 ·co0=os(画，4C丽a62x656所以选项D不正 36 确.故选：AC 5【答案】a证+m+远；@ 2 解析：，矩形ABCD中，AB=1,BC=√3， 则可得子M-9,ow行Dw9,Aay1 2 因为平面ABC与平面ACD垂直，BM⊥AC,平面ABC∩平面 ACD=AC, 则BM⊥平面ACD,所以BM⊥WD D 由题可得BD=BM+W+WD 所以IBD2=(BM+MW+WD BM+MN+ND+2(BM.MN+MN.ND+BM.ND) -9r9 所以1D.故答案为：++而：而 2 6【答案】1)@=号+丽+：(2)@-园 解折：(1)OM=2MA,BN=CV, N-ON-0M08+0G)-A--104+108+10G 2)0A=oa=0c=2.∠A0c=∠80c=5∠408- 所以oao元=0o丽oc=0,o.o丽=plos于-2， 所以@-a+a+1o元 3“ 2 2 ++元-6丽元+丽元 网++阿-a丽 +片2+片2子2=号，所以网国 7.【答案】详见解析 解析：(1) 丽=a+西+8C+丽=-+丽+c+,=丽+而-折 (2)证明： :诚=-西=-D,网-C丽--D, .DM=NB,D,M,B,N共面. ()当01.49上 证明：设A4=c4D=bA店=ā， :底面ABCD为菱形，则当经=1时，， AB .AG=AB+BC+CC=a+b+,AB=AB-AA=a-G, ∠AAD=∠AAB=∠DAB=60, :4C4B=(a+b+a0.(a-c)=a2+a.6-6.6-2=0, AC⊥AB」第二节 空间向量基本定理 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:空间向量基本定理 如果空间中的三个向量,,不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得.其中,空间中不共面的三个向量,,组成的集合{,,},常称为空间向量的一组基底.此时,,,都称为基向量;如果,则称为在基底{,,}下的分解式. 注意:基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都是共线向量,与任意两个非零向量都共面,所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. ▍知识点2:空间向量的正交分解 （1）单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. （2）正交分解:把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. ▶练基础 基底向量的概念 1 基底判断的基本思路及方法: （1）基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. （2）方法: ①若向量中存在零向量,则不能作为基底;若存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设,运用空间向量基本定理,建立关于的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 【典例▪1】（多选）设是空间的一个基底,则下列结论正确的是（    ） A.可以为任意向量 B.对任一空间向量,存在唯一有序实数组,使 C.若,则 D.可以构成空间的一个基底 【典例▪2】（多选）下列说法正确的是（   ） A.若两个非零向量,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则,共线 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D.若是空间的一个基底,则也是空间的一个基底 【练习▪3】（多选）下列选项中正确的是（    ） A.若存在实数x,y,使,则点P,M, A,B共面; B.若与共面,则存在实数x,y,使; C.若向量所在直线是异面直线,则向量一定不共线; D.如果是空间的三个向量,则对空间任一向量,总存在唯一的有序实数组,使得. 【练习▪4】如图,在平行六面体中,可以作为空间向量的一个基底的是（    ）    A.,, B.,, C.,, D.,, 【练习▪5】（2024·四川高二练习）已知是空间的一个基底,设,则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A. B. C. D.以上都不对 【练习▪6】若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是（    ） A.、、 B.、、 C.、、 D.、、 【练习▪7】若是空间的一个基底,且向量不能构成空间的一个基底,则（    ） A. B.1 C.0 D. 【练习▪8】（多选）已知向量能构成空间的一组基底,则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A. B. C. D. ▶练基础 用基底表示空间向量 2 【典例▪9】如图,在平行六面体中, ,,, P是的中点,M是的中点,N是的中点,用基底表示以下向量:    （1）; （2）; （3）. 【练习▪10】（2024·全国高二课后）已知在三棱台中,,设,以为空间的一个基底表示向量. 【练习▪11】（2023·高二专题）如图,在空间四边形中,,,,且, ,则等于（    ）    A. B. C. D. 【练习▪12】（2023·高二专题）数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥为阳马,平面,且,若,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪13】在四面体中,是的中点, 是的中点.设,,,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪14】在正四面体中,,, ,为中点,为靠近的三等分点,用向量,,表示（    ） A. B. C. D. 【练习▪15】已知三棱锥,点是的中点,点是的重心（三角形三条中线的交点叫做重心）设, ,,则向量用基底可表示为（     ）    A. B. C. D. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 空间向量基本定理的应用 1 ▷角度1:求线段长或模长 【典例▪16】（2023·高二课时练习）如图所示,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,,.求线段的长.            【练习▪17】（2024·上海高二）如图所示,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,且和的夹角都是, 是中点,设,,,试以,,为基向量表示出向量,并求的长. ▷角度2:证明垂直关系 【典例▪18】（2024·安徽高二练习）如图所示,在四棱锥中,底面是边长为3的菱形,且 ,利用空间向量证明. 【练习▪19】（2023·全国高二专题练习）如图,正四面体的高的中点为,利用空间向量证明,,两两垂直. . 【练习▪20】如图,四面体,,,,,, ,分别为棱,,,,,的中点,且,利用空间向量证明, ,. ▷角度3:求向量夹角 【典例▪21】（2023·上海松江高二练习）在正四面体ABCD中,E,F分别是棱AD、BC中点.求AF与CE所成角的余弦值. 【练习▪22】如图,在棱长为1的正四面体中,, 分别是边,的中点,点在上,且,设,,. （1）试用向量,,表示向量; （2）求. 【练习▪23】如图,平行六面体中,底面ABCD是边长为1的正方形,, ,,,,M为中点. （1）用空间的一个基底表示,; （2）求,,异面直线DM与所成角的余弦值. ▷角度4:利用唯一性求参数（重难点） 【典例▪24】是空间的一个基底,, ,若,则x,y,z分别为（    ） A.,, B.,1, C.,1, D.,1, 【变式▪25】如图,在三棱锥中,点G为的重心,点M在上,且,过点M任意作一个平面分别交棱于点D,E,F,若,求证:为定值． ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知,,是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A.,, B.,, C.,, D.,, 2.（2023·湖北高二）在平行六面体中,底面是菱形,侧面是正方形,且,,,若P是与的交点,M是的中点,则（    ） A.5 B.7 C.3 D. 3.在如图的平行六面体中，已知,,,N为上一点,且,若,则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4.如图,一个平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是（    ） A. B.向量与的夹角是60° C.AC1⊥DB D.BD1与AC所成角的余弦值为 三、填空题 5.已知矩形中,,,将矩形沿对角线折起,使平面与平面垂直,过,分别向作垂线,垂足分别为,,用,,表示,则 ，与之间的距离为 ． 四、解答题 6.（2023·浙江）如图,空间四边形中, ,,,点在上,且,.  （1）以为一组基底表示向量; （2）求的长度. 7.（2023·全国高二专题练习）如图,在底面为菱形的平行六面体中,分别在棱上,且,且. （1）用向量表示向量; （2）求证:共面; （3）当为何值时,. $