第1节 空间向量及其运算 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦空间向量及其运算的核心知识，从向量概念、线性运算到共线共面、数量积及投影等模块层层递进，通过“定义—性质—应用”构建清晰的学习支架，前后知识点环环相扣，便于学生建立结构化认知体系。 本资料突出体现数学抽象、逻辑推理与直观想象三大核心素养，如在共线向量定理中引导学生从几何直观过渡到代数表达，强化符号意识与推理能力；在数量积求夹角问题中，借助典型例题（如典例33）让学生体会如何将实际图形转化为向量关系进行计算，提升建模意识和运算能力。教师可直接用于课堂讲授或分层练习，既夯实基础又拓展思维，有效促进学生从“学会”走向“会学”，助力高效课堂建设。

第一节 空间向量及其运算 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:空间向量的有关概念 （1）在空间中,我们把具有大小和方面的量叫做空间向量. 注意:平面向量是在二维平面中,而空间向量是在三维的空间当中. （2）向量的长度（模）:向量的大小叫做向量的长度或模,如图,其模记为或. （3）特殊向量 长度为0的向量叫做零向量,记为0 . 模长为1的向量称为单位向量. 方向相同且模相等的向量称为相等向量. 与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为. ［对应练习:基础1］ ▍知识点2:空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法运算法则: 与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为: ; ; （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律: 交换律:. 结合律:. （3）的方向和长度 当时,与向量方向相同;当时,与向量方向相反.的长度是的长度的倍.即 （4）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律: 分配律: 结合律: .其中. ［对应练习:基础2］ ▍知识点3:共线向量 （1）定义:表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线或平行向量. （2）共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b（b≠0）,a∥b的充要条件是存在实数,使. 注意:因为零向量与任意向量平行,即对任意向量a,都有0∥a.所以共线定理中的b≠0不可丢掉,否则实数不存在,但依然有a∥b. （3）方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.直线l上任意一点都可以由直线l上一点和他的方向向量去表示. ［对应练习:题型1］ ▍知识点4:共面向量 （1）定义:平行于同一个平面的向量叫做共面向量. （2）共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,使p＝xa＋yb. （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数对（x,y）,使＝x＋y.. （4）共面向量定理的推论: 空间中的一点与不共线的三点,,共面的充要条件是存在唯一的有序实数组,使得且,其中为空间任意一点. ［对应练习:题型2］ ▍知识点5:空间向量的夹角 （1）夹角的定义 已知两个非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量的夹角,记作. （2）夹角的范围 空间任意两个向量的夹角的取值范围是.特别地,当时,两向量同向共线;当时,两向量反向共线;当时,两向量垂直,记作. ▍知识点6:向量的数量积 （1）定义:已知两个非零向量, 则叫做的数量积,记作,即. 规定:零向量与任何向量的数量积为0. （2）投影向量 如图①,在空间,向量向向量投影由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,,向量称为向量在向量上的投影向量.类似地,可以将向量向直线投影（如图②）. 如图③,向量向平面投影,就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线,垂足分别为,,得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量.这时,向量,的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. （4）向量数量积的性质 ①由可得向量自身的数量积就是其模的平方. ②的充要条件是为非零向量）. ③两个非零向量的夹角可由的数量积表示: . ④对于任意向量,总有,并且只有当时,等号成立. ⑤ （5）向量数量积的运算律 数乘结合律: 交换律:; 分配律: ［对应练习:基础3、题型3—题型7］ ▶练基础 空间向量的概念 1 【典例▪1】下列命题中为真命题的是（    ） A.空间向量与的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆 C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 【典例▪2】（多选）下列命题为真命题的是（    ） A.若空间向量满足,则 B.在正方体中,必有 C.若空间向量满足,,则 D.空间任一向量与它的相反向量不相等 【练习▪3】给出下列三个命题: ①方向相反的两个空间向量是相反向量; ②若是空间两个向量,满足且同向,则 ③不相等的两个空间向量的模必不相等 ④空间向量与的长度相等. 其中正确命题的序号是________. ▶练基础 空间向量的线性运算 2 【典例▪4】如图,在空间四边形ABCD中,E是线段AB的中点,,连接EF,CE,AF,BF.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: （1）; （2）; （3）. 【练习▪5】已知正方体的中心为,则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量; ②与是一对相反向量; ③与是一对相反向量; ④与是一对相反向量. A.个 B.个 C.个 D.个 【练习▪6】空间四边形ABCD,连接AC,BD.M,G分别是BC,CD的中点,则等于（    ）    A. B. C. D. 【练习▪7】如图所示,在四棱锥中,底面是平行四边形,已知,,, ,则（    ）    A. B. C. D. 【练习▪8】四面体中,,点在棱上,且,为中点,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪9】如图,分别是四面体的边的中点,是线段的一个三等分点（靠近点）,设,则（    ） A. B. C. D. ▶练基础 求空间向量的数量积 3 【典例▪10】如图,已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点.计算: （1）; （2）; （3）; （4）. 【练习▪11】如图,各棱长都为的四面体中,,则向量（    ） A. B. C. D. 【练习▪12】在四面体中,棱两两垂直,且为的重心,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪13】（多选）如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于的是（　　） A. B. C. D. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 空间向量的共线问题 1 空间向量共线的充要条件: ①.则存在唯一实数,使; ②若存在唯一实数,使,则. 证明空间三点共线的思路: （1）存在实数,使成立. （2）对空间任一点,有 【典例▪14】如图,四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面,M､N分别是AC､BF的中点,判断并证明与是否共线？（使用空间向量方法解题） 【变式▪15】如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且,.证明:四边形EFGH是梯形. 【变式▪16】满足下列条件,能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是（　　） A. B. C. D. 【变式▪17】（2023·全国高二专题）若,,,为空间四点,且（,不共线）,则是,,三点共线的_________条件 【变式▪18】如图,在正方体中,点在上,且,点在体对角线上,且.求证:,,三点共线.    【练习▪19】如图,正方体中,M,N分别在线段,上,且,, P为棱的中点.求证:. ▍练题型 空间向量的共面问题 2 （1）证明空间三个向量共面常用的方法 证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合,即若,则,,共面; （2）对空间四点,,,可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ① ②对空间任一点,,其中 ③或或 【典例▪20】如图所示,、分别是空间四边形的边、的中点.试判断并证明向量与向量、是否共面. 【变式▪21】若点平面,且对空间内任意一点满足,则_______. 【练习▪22】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是（其中O为坐标原点）（    ） A. B. C. D. 【练习▪23】已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若由确定的一点P与A,B,C三点共面,则 . 【练习▪24】如图,矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD,点M,N分别在对角线BD,AE上,且,.求证:平面CDE. 【练习▪25】如图所示,四面体中,G,H分别是的重心,设, ,点D,M,N分别为BC,AB, OB的中点. （1）试用向量表示向量; （2）试用空间向量的方法证明MNGH四点共面. 【练习▪26】（提升）已知在棱长为1的正方体中,,,分别在棱,, 上,且,,,点是平面,与平面的一个公共点,设,求的值. ▍练题型 利用数量积求长度与距离 3 线段长度的计算应牢记并能熟练地应用公式: . 【典例▪27】正三棱柱的各棱长都为, 、分别是、的中点,则的长为_______. 【变式▪28】已知,,是空间中两两垂直的单位向量,则（    ） A. B.14 C. D.2 【练习▪29】（2024·河南高二期末）如图,在平行六面体中,,, ,,则等于（    ） A. B. C. D.10 【练习▪30】已知空间向量两两夹角为,且,则 . 【练习▪31】（2024·广东高二）如图,四面体中,,,,,,是,的中点,则 . 【练习▪32】（2024·广东中山高二）如图,在平行六面体中,,,, ,,E是的中点,设,,,求的长. ▍练题型 利用数量积求夹角 4 【典例▪33】已知空间四边形各边及对角线长都相等,分别为,中点,求与夹角的余弦值. 【练习▪34】（2024·福建）如图,空间四边形的各边及对角线长都为2,是的中点,在上,且,求向量与向量所成角的余弦值.    【练习▪35】如图,平行六面体的底面是菱形,且,, ,求异面直线与所成的角的余弦值. 【练习▪36】（2023·全国高二课后作业）已知空间向量与满足,且,若与的夹角为,则 . 【练习▪37】（2024·云南）已知是两个空间向量,若,,则＝ . 【练习▪38】（2021·全国高二）已知空间向量满足,,则与的夹角为（    ） A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 【练习▪39】（22-23高二·山东期中）四面体中,,,,则（    ） A. B. C. D. ▍练题型 利用数量积证明垂直问题 5 【典例▪40】（2023·全国）已知空间四边形中, ,且分别是的中点,是的中点,用向量方法证明. 【练习▪41】（2024·全国高二专题）如图,⊥, ⊥,⊥,,分别是的中点,分别是的中点,用向量方法证明证明:⊥. 【练习▪42】（2023·上海高二）已知四面体的各棱长均为1,D是棱OA的中点,E是棱AB的中点,设,.,用空间向量方法判断与是否垂直. ▍练题型 空间向量的投影 6 【典例▪43】如图,棱长为1的正方体中,向量在向量上的投影向量是 ,向量在直线上的投影向量是 ,向量在平面上的投影向量是 .    【练习▪44】（2024·河北高二期中）在空间四边形中,,则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【练习▪45】（23-24·广东高二阶段练习）如图所示,在正方体中,为的中点,则向量在向量上的投影向量是（    ） A. B. C. D. 【练习▪46】（2023·河南郑州高二练习）如图,已知平面,,,则向量在上的投影向量等于 . 【练习▪47】已知空间向量,,且与夹角的余弦值为,则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. ▍练题型 数量积的取值范围 7 【典例▪48】（2023·全国·高二专题练习）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动,则的最大值为（    ） A.6 B.7 C.8 D.9 【练习▪49】（2024·福建）正方体的棱长为,是正方体外接球的直径,为正方体表面上的动点,则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪50】正四面体的棱长为4,空间中的动点P满足,则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【练习▪51】已知正四棱柱中,底面边长,,是长方体表面上一点,则的取值范围是_________. 【练习▪52】已知正四面体的各棱长为1,点E是AB中点,点F是线段DC上的动点（包含端点）,则的取值范围为 . 【练习▪53】（22-23高二·湖南）《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图的鳖臑中,平面,, ,E是BC的中点,H是内的动点（含边界）,且平面,则的取值范围是_________. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知在平行六面体中,同一顶点为端点的三条棱长都等于,且彼此的夹角都是,则此平行六面体的对角线的长为（    ） A. B. C. D. 2.若向量与不共线,,且,则向量与的夹角为（    ） A. B. C. D. 3.在平行六面体中, ,则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题 4.设是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列选项,其中正确的有（    ） A. B.不与垂直 C. D. 三、填空题 5.已知,,,, ,若,则的值为 . 6.（2024·全国高二课后）已知空间向量满足,,则的值为 . 7.（2023·全国高二）已知四点在平面内,且任意三点都不共线,点为平面外的一点,满足,则 . 8.空间四边形中,,, ,且异面直线与成,则异面直线与所成角的大小为 . 9.已知三棱锥的体积为,是空间中一点,,则三棱锥的体积是 . 四、解答题 10.如图,在120°的二面角中,AC⊂α, BD⊂β且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,已知AC＝AB＝BD＝6,试求线段CD的长.    11.如图所示,若为平行四边形所在平面外一点,为棱PC上的点,且,点在上,且,若, ,,四点共面,求实数的值.    12.（22-23·甘肃兰州高二期末）如图,正三棱柱中,底面边长为. （1）设侧棱长为,求证:; （2）设与的夹角为,求侧棱的长. 13.（2021·全国高二）已知正方体的棱长为1,E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围. $第一章空间向量与立体几何 第一节空间向量及其运算 核心基础导学 【1】A 解析：选项A:因为空间向量AB与BA互为相反向量，所以空间向量A5 与☑的长度相等，所以A正确： 选项B:将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成 个球面，所以B错误： 选项C:空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是 有向线段，所以C错误； 选项D:两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向 量AB与BA的模相等，所以D错误： 故选：A 【2】BC 解析：A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等， 而且还要方向相同，而A中向量ā，的方向不一定相同： B为真命题，AC与A,C的方向相同，模也相等，故AC=4C: C为真命题，由于空间向量m,n,P满足m=n,n=P,且向量的相等满足 传递性，故m=p; D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量.故选：BC 【3】④ 解析：对于①：方向相反且模长相等的两个空间向量是相反向量 对于②：向量无法比较大小，故a>五不成立. 对于③：不相等的两个空间向量有可能是相反向量，则模长相等 【4】(1)AD,图见解析：(2)CB,图见解析：(3)EF,图见解析： 解析：(1)AC+CB+BD=AB+BD=AD,如图： (2)AF-BF-AC=AB-AC=CB,如图： (3)因为E是线段AB的中点，CF=2FD,所以号A丽=，C可=C丽 所以西+元+号而=团+正+亚正+正=亚，如图： 【5】C 解析 对于①，：OA=-0C,OD=-0B,OA+0D=-(O丽+0C） :OA+OD与OB+OC是一对相反向量，①正确： 对于②，OB-OC=CB,OA-OD=DA,又CB=DA :.OB-OC与QA-OD不是相反向量，②错误： 对于③，OA=-OG,OB=-OD,OC=-OA,OD=-OB, :A+O8+0c+OD=-(@A'+0B+0C+0D）, :.OA+OB+OC+OD与OA+OB+OC+OD是一对相反向量，③正确： 对于④，OA-OA=AA,OC-OC=C元，又AA=-C'G :O4-Q4与0G-0C是一对相反向量，④正确.故选：C 【6】c 解析：MG分别是BC,CD的中点，∴c=,D=而 ：丽+0+D=西+亚+而=服+而=A0.故选：C 【7】A 解析：因为压历，所以正：历， 因为BD=A+BC=C而+AD=PD-PC+D-m=2PD-PC-A, 所以 丽-+2历-元-风-00-元-=-5-a, 2 故选：A 【8】B 解析：：点M在线段OA上，且OM=2MA,N为BC中点， 2 2 2 3 故选：B 【9】c 解析：如图所示，连接QF, 0D=0r+历，0下08+00 所以历-西，西=0-0丽，0正=a, :0D=0下+历=0F+西 =丽+{-丽列)+ =号+丽+而 +o丽+o++.故选：c 【011):2)(3)牙：4)专 解折：(1)因为丽=D, 由题意，可知∠ABD=60°，所以(BD,BA)=60°， 所烈亚函D丽-宁1w1oo0片1片片 (2)亚玩D而子面f片 (3)由题意，可知(BD.CD)=∠BDC=60, 丽0D0知而：片1kko面网=士k片片 2 2 24 (4)F.C2=8D+A)1C丽+C 玩.（←网+D.+(6+丽两 =而丽-丽+（而-）网+网 =-8D.c8-8a.c函+c而.-c西.a+aA.c网 【11】A 解折：由樱得弧，正夹角，而，c夹角，弧，函夹角均为号 CE=ED,AF =2FD, 丽=c+D正=而 3 .CF=BF-BC=BA+AF-BC =丽+号-c=丽+子-)c--c+ 3 31 正c+丽传额-c+ =c-c-cD+而+ 【12】D 解折：如图，D为AB的中点，则点G在cD上且cg=子CD, 则0-元+西-0元+0-6元+号区+丽) =0c+-oc+o-00)+o丽+o), 则0G(何a+O丽+0)=+o丽+0c)(@+o5+0c) =+0+00+20-.0丽+20a-0+2c.0) 4+900+o片. 故选D 【13】AC 解析：在空间四边形ABCD中，AB,AC夹角为60°，所以 2A丽，Ac=2×A×4Cos60°=a2.故A正确： AD,D8夹角为120，所以2AD.D丽=2×4D×Dp丽kos120°=-a2 故B错误： 因为点RG分别是AD,DC的中点，所以FG1AC且Fd=,AC,所以 AC,FG夹角为0，所以2P而.AC=2×Fd×4Gcos0°=a2.故C正确： 因为点E,F分别是AB,AD的中点，所以EF/IBD,所以EF,CB夹角为 120所以2证.西=2厨o20=,故D错误故选AC 重点题型专练 【14】共线：证明见解析 解析：因为M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行 四边形， 所以0=a++丽=++西 又-远+亚+历+丽：+正-正场 2 所以+示+扬+正-不-频 所以C西-可+2AF+F西=2MA+AF+FW=2 即C正=2M,即C2与共线 【15】证明见解析 解析：因为E,H分别是边AB,AD的中点， 所以正西，丽D,所以 =丽-正=AD-丽=D-丽)D. 又示=两，0西=，所以丽丽，西西， 所以而=6-示--名-@-西而 3 .3 所原宽且具厨个同，又点：不在0上所以四边形 EFGH是梯形， 【16】C 解析：对于空间中的任意向量，都有AB+BC=AC,说法A错误： 若AB-BC=AC,则AC+BC=AB,而AC+CB=AB,据此可知 BC=CB,即B,C两点重合，选项B错误： AB=BC,则A、B、C三点共线，选项C正确： A=Bd,则线段AB的长度与线段8C的长度相等，不一定有A、B、 C三点共线，选项D错误；本题选择C选项， 【17】充要 解析：若P,A,B,C为空间四点，且有PA=PB+uPC(PB,PC不共 线)，当+4=1时，即=1-，可得-PC=P西-PC),即 可=C西，所以A,B,C三点共线反之也成立，即+u=1是 A,B,C三点共线的充要条件 【18】证明见解析 解析：连接EF,FB, “丽=不狂=0丽 =A+丽+)可 =国+丽+列4 4码+-4， 两=丽-4=码+4-码+西+4) E丽=二F丽，.F川西 又EFO FB=F,∴，E,F,B三点共线 【19】证明见解析 解析：证明：N=E+BB+BV 因为M=子8A,马N=子，A, 所以而=号丽+丽+可， =丽+不+丽+网+4可). 丽+4西=丽+阿 又因为P为B,C,中点， 所拟丽西+明+职非钢+买酒 从而BP与M丽为共线向量.因为直线MW与BP不重合， 所以N11BP. 【20】向量M与向量AD,BC共面. 解析：由题图可得M=M☑+AD+DW,①：MW=MB+BC+CV,②. A=-E,DW=-C.由①+②得2=AD+BC, 即0=上AD+二C,故向量0与向量AD、C共面， 2 【21】8 解析：Pe平面ABC, ∴P,A,B,C四点共面， 又o丽=+0丽+g元 存日+1，解得=后故选D 或者根据：Pe平面ABC,、P,A,B,C四点共面，则存在实数x,y, 使得PA=xPB+yPC 即OA-OP=x(OB-OP）+yOc-OPP1-x-y万P=OA-xOB-yoC 1-x-y=4, 又4-Oi+4+2c,所以 {-x=42, 1 y=2 【22】D 解析：空间向量共面定理：OM=xOA+yOB+-OC,若A,B,C不共线，且 A,B,C,M共面，其充要条件是x+y+s=1 对A,因为1-1-1≠1，所以A,B,C,M四点不共面： 对B因为片+行对1，所以Aa,C四点不共国： 对C,由OM+OA+OB+OC=0可得OM=-OA-OB-OC, 因为-1-1-1=-3≠1，所以A,B,C,M四点不共面： 对D,由MA+MB+MC=0可得OA-OM+OB-OM+OC-OM=0 即a成五++，因为号片1.所以4c四点共 33 面.故选：D 【2318 解析：方法一：因为P与A,B,C三点共面 所以根据结论名+号+Q-)=1,所以2=名 方法二：因为P,A,B,C四点共面，所以存在不全为0的mn使得 PA=mPB +n PC O是平面ABC外任意一点，则可A-O丽=m(-OP)+n(C-O丽)， (m+n-1)OP=moB +nOc-OA 若A,B,C三点共线，则AB=1CB,即P8-=2(P店-PC) 整理得：(1-)P丽=-PC,所以丽=1-)P丽+2PC 此时若A=mPB+nPC,则m+n=1, 因为A,B,C三点不共线，PA=mPB+nPG, 所以m+n≠1， m 1 令ym+m+m+则x+y+=l 所以言+号+0-小=1，所以A=名故答案为：名 【24】证明见解析 解折：证明：因为M在BD上，且8M=8D, 所以丽+.同理D+丽 又CD=BA=-AB 所以0-陋+丽+-G丽+丽++GD+丽】 ++丽 又CD与DE不共线，所以，CD,DE共面.因为MW不在平面CDE 内，所以N/平面CDE. 【25】详见解析 解折：0瓜-=宁 因为OG=QA+AG, 而4G=2AD,AD=OD-A 又D为8c的中点所以OD=O丽+0©)， 所以o0-a+=0A+0-a)=a+子×o+oo)- =@4+08+0G)=a+5+⊙ (2)因为G丽=0i-0G, 丽玩-号远+6+0. 所以丽6+0)-+5+0=号。 西=，所以瓜：丽.所以aa班四点共面 2 【26】g 解析：如图所示 D G 正方体A5cD-4C2中，丽=弧丽-8cG=厨 0=而+证+：丽=通+0+：丽=而+亚+}丽。 O,A,C,E四点共面，O,G,F,B,四点共面， ,解得x+y=后，=号；x+y+=号故答案为： 【27】5 解折：依题意，设A西a,C=五，A4=c,则日-2， 由题意可得a.3=lcos5=2,ac=.c=0, 又E、F分别为AB、AC的中点， 所拟乐+瓜+原+5=++8 所以厨-（台+5++5+--a+6 =×4+片×4+4-x2-0+0=5,因此l-5 【28】A 解折：依题意得，同月--1，a.五=ac=c万=0： 所以 3a+5-2dV3a+5-2运=9a2+b2+4c2+6ab-12a-8-4be =V9+1+4=14,故选：A 【29】A 解析：依题总，设AB=a,AD=b,A4=c, 因为AB=AD=3,AA=4,∠BAD=90°，∠AAB=∠AAD=60°， 所以a=6=9,c=16,a,万=0，a:c=i.c=3×4cos60°=6， 又4C=44+AC=-A+A丽+AD=a+6-6, 所以-6+5-=6+62++2近-6-2a-6-西石 =√9+9+16-2×6-2×6=V10.故选：A 【30】V5 解析：依题意，a-6=5=6a=片 则-6+2=(a-6+2y2 =+5P4r-2a.6-45.8+4:8=6-2x34x+4x5, -五+2-5.故答案为：5 【319 解析：设A6=a,AB=b,AC=c, DE=a+丽+距=a+丽+ac-) ++和++ 网《++6+可 、2 =+8+8-2a6-2a6+26d =2+1+9-2x1x1xco60-2x1x3xco60+2x1x3xcoa60 =1-1-3*3= 2 :DE=@故答案为：@ 【32】3W6 解折：由题意得正=西+8c+0正=a+AD+元=à+5+号 又AB=5,AD=3,AA=4,∠DAB=90°，∠BA4=∠DA4,=60° 故霍-气65+月-+8++55+5+a =5+3+子x4+2leo90°+los60°+llos60 =25+94+3x5x3x0+3454 =25+9+4+6+10=54,故AE=A=36: 【3】子 解析：设OA=a,OB=b,OC=c,且各长度均为1， 则a-6=5.6=a.6=1w1xcos60=月 因为丽+.丽--5.网9厨号 所以丽丽+0-}片+5--片 所以o(@,丽） OE.BF 丽3 Q图与8驴所成角的杂弦值为号 【34】-5v 42 解析：由题意，O-AC是棱长为2的正四面体， 而8丽=B正+E0+OF=A+A+A0+2oC=A0+2AC-AB, 2 3 o丽=a+正=-40， 所以10+号c 9333 医份丽--0+云*45， 又o丽.丽=（片丽-4o)写0+4c-丽） 5 33 .故答案为：-52团 所以O丽品25g酸 42 3 【35】7v33 66 解析：4-(CD+c8+c可) =cD+c四+cC+2.c丽+c西.cg+c西.cC) =1+1+4+21×1×cos60°+1×2×cos60°+1×2×cos60°11 所以CA=1,即AC的长为√正， .DC,-CD+0B+cCCC-D) -CD.CC,-CD.CD+0B.CO-CB.OD+CC..CC,-CC,.CD 又由余弦定理得|Dc=Dc+lcc-2 DalC,os6o°=5 所以设所求异面直线所成角为6 co0=ko(网，pa)-epa6 阿·回.W 【36】4 解析：因为月1，ā与5的夹角为号 所以由a-五=2→os号=2→1片2→l4, 故答案为：4 【31日 解析：由题意得1a=22,1a--√万， 则1i-6f-7,即-25+8=7，则i5-月 则cosa.=86=之=占，故答案为：日 1a1b12×28 【38】D 解析：设a与b的夹角为6， 由a+b+c=0,得a+i=-c, 两边平方，得a+2a6+=c”, 因为月=2月=3月=4，所以4+22×3cos0+9=16,解得cos0=子 故选：D 【39】C 解析：由题知，AC=AD=2AB=2,∠BAD=60% 所以 AB.CD-AB.AD-AC)=AB.AD-AB.AC =4B.AD cosa∠BAD-.Gcos∠BAC=2, 所以12cos60°-1·2cos∠BAC=2,解得∠BAC=120°，故选：C 【40】证明见详解 解析：设OA=a,OB=b,OC=c, 由题意得 同==月，a6=cos∠AoB=a元=非cos∠AoC, 0=am+0丽) 因为o成-，o丽-6+)，所以oa=长+5+)， 又8c=c-6, 所似ooc=+5+)-8}长-a6+卡-5头0， 所以OG⊥BC 【41】证明见解析 解析：因为AD⊥AB,AD⊥AC,AB⊥AC, 所以AB.AD=AC.AD=AB.AC=0 因为M,N分别是BC,BD的中点， 所以@=ō=D-4C). 因为E,F分别是AB,CD的中点 所以 康-+而+丽：丽+而+c五+而+⑥而) =丽+c+而， 2 2 故取而-到（号+c+号而 =丽AD+4cD+AD+丽c-C-cD) =0+0+1+0-1-0)=0所以1W,得证 【42】8D与CE不垂直 解析：由题知， 丽=8o+函)=(-o丽+oa-o丽)-(-6+a-)-a-i, 丽-o+o=西++o=a+5-d 日--1，且两两的夹角为60 而-仔-治+5- =--两-+ co60-060+06 片号 =日0，所以.历与西不垂直， 【1丽还 丽（答案不唯一） 解析：（1)方法一：在正方体ABCD-A,B,C,D,中，易知 ABA,8,∠CA8=45 向量与向量4g夹角为45，园1，阿4可+可=厅 所以向量店在向量4C上的投影向量是 风网爵要石 方法二：设BD⌒A,C=O,如图，由正方体的性质可得 ABA8,AB=48,B9⊥A9, 向量正在向量4g上的投影向量是49=4C (2)如图，连接B,C,过B,作B,H⊥A,C,垂足为H,则AE在直线A,C上 的投影向量就是A4,F 在正方体ABCD-AB9D中，易知A81平面BCCA,因为BCC平面 BCCB,所以AB,⊥B,C 在Rta4马C电，48=L,AC=E,4C=5,6os∠4C-5 3 4Ago☑4c-94c 所以向量丽在直线4C上的投影向量是4C, (3)如图，连接AC,交BD于点O,易证AC⊥BD,AC⊥BB, 由BB,OBD=B,BB1,BDC平面BDDB,则AC⊥平面BDD,B, 所以正在平面8D04上的投影向量就是O丽，易知丽=丽 故答案为：4g:40:丽（答案不唯一） 【44】B 解析：在四面体中，因为∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD 设AC=2,BD=1,且AB.BD=D.DC=0,AC=A正+BD+DC, 则AC.8D=(A丽+BD+DC)BD=D, 而在花上的投影狗量为而平需时花.放老B dd 4G 【45】D 解析：设正方体的棱长为1，A西=a,AD=万，AA=c,则 月-lle1,a6=5c=ca=0, :0=c=丽+而=+5，巫=丽+=D西+g=+8 4石丽=6+)6+-ac+8++点5=0=分 网F9 向石在的量罗上给授影向呈是网和西调西 故选：D 【46】8C 解析：：PA⊥平面ABC, PA LBC,PC.BC=(PA+AB+BC)BC=PA.BC+AB.BC+BC.BC -0+6x6x分+6=54 向量元在元上的投影狗量为E平二4C:记 BCBC 36 故答案为：C 【47】D 解析：“同=压，月=5，ā与石夹角的余弦值为-9正 65 .a在B上的投影向量为 aB b VEx5x(9V 65 可可 )9五=-9.故选D. 5 =-5525 【48】c 解析：取AB中点O,连接PO,如图， D 则A.西=(Po+a(P0+08=P6-O4'=P6'-1, 当P在正方体表面上运动时，运动到D或C,处时，PO最大， 所以PO=D,D2+D42+A02=9,所以A.P西的最大值为8. 故选：C 【49】A 解析：由题意MW等于正方体的体对角线长，设点O为W的中点， 所oM=oN=0r=2F+r+F-5 2 则pM.丽=(Po+OM）(Po+Oj =PO+PO.(OM+ON)+OM.ON=PO+0- 0是 当点：与装个侧面的中心重合时可最小且（可）付片 当点P与正方体的顶点重合时，⊙最大，且 ®+ 由于点P是在正方体表面连续运动，所以P的取值范围是 丽苏的取值范国是[宁故选A 【50】D 解析：分别取BC,AD的中点区，B,则P丽+P-2P网=2W反 所以园=巨， 故点P的轨迹是以B为球心，以√反为半径的球 面，正P.PD=-(PF+4(四+而)(PF+网(PF-网 =网-时=4-P 又ED=√DC2-CE2=V16-4=V12=2√3 EF=√DE2-DF2=12-4=V8=2√2， 所以P网l=F-5=V5,P网=F+V5=35 所以AP.PD的取值范围为[-14,2].故选：D. 解析：取AC中点O D A.PC,=PO+0A)PO+OC,)=PO+0A)PO-OA PO-OA :当P为侧面A84中点时，P同=之：P0的最大值为体对角线的 -*1.又网网分11，o-a[0 即两石的取做范鼠为[ 【sa[ 解析：如图所示，正四面体D-ABC的棱长是1，E是AB的中点，点F是 线段DC上的动点（包含端点） 所以0=4C-丽=4C-丽 又R,C,D三点共线，所以AF=4C+(1-2)AD(0≤2≤1)， 丞亚(c-丽[c+-可 =0+-刘4cD-丽C-0-丽而 ()co60-0)o60 之+片则C示的取值范围为 13 44 故答案为： 【s1片 解析：设RG分别为AB,BD的中点，连接FG,ER,EC,如图， 易得FG/1AD,EF AC,EG/1CD, 因为FGC平面EFG,AD工平面EFG,所以AD/1平面EFG 同理AC11平面EFG 又因为AC,ADC平面ACD,ACOAD=A,所以平面EFG/1平面 ACD 因为EH/平面ACD,所以H为线段FG上的点 由AB⊥平面BCD,CDC平面BCD,得AB⊥CD 又∠BDC=90,则BD⊥CD, 由AB∩BD=B,AB,BDC平面ABD,得CD⊥平面ABD, 因为G/1CD,所以8G1平面ABD,BG1FG,cos∠EFG= EF 因为BD=2AB=2CD=2, 所以FG= 21 2 2 所以C4a=2EF.(巨F+F阳）=2EF'+2EF.F =2F+2 cos((-∠Eo)=2F-2p丽os∠EG =2F-2网阿=3-5 因为网所以区函e侣] 综合巩固提升 1.【答案】D 解析：如 D B 由题意可知，AC=AB+AD+AA AG=正+AD+A月 =AB+AD+AA+2A8.AD+2A8.AA+2ADAA =1+1+1+2×(cos60°+cos60°+cos60)=6, aC=6.故选D. 2.【答案】D 解析：由题意可 故：a1:,即向量a与的夹角为号，本题选择D选项 3.【答案】D 解折：因为AB=AD=4=2,∠BAD=受∠B4=∠DA4=号 可得AAD=0,A4=ADA=2×2×行=2，G25, 又因为BD=BA+AD+DD=AD+AA-AB,AC=AB+AD, 可得 AC.BD=(AB+AD)(AD+AA-AB)=AD'-AB+AB.AA+AD.AA =4-4+2+2=4, BD=(AD+A4-AB) =VAD'+A'+AB'+2AD.AA-2AD.AB-2AA AB =√4+4+4+4-0-4=2V5 所以直线BD与直线AC所成角的余弦值为 AC.BD. 4 6 同22x26.故选D. 4.【答案】ACD 解析：对于A,由平面向量数量积的结合律，可知A正确： 对于B,(6c)a-(e.a)3c=6c）a-c-a}i.c =(6c(ad）-(e.a(6.d=o, 所以(6.©a-(caB与c垂直，故B错误： 对于C,因为a,b不共线， 所以-司组成三角形的三边，所以月月<-列，故c正确： 对于D,(3a+2)-3a-25)9a-6a.6+6a.3-42=9-4,故D正 确.故选：ACD 5【答笑】君 解析：因为m⊥ 所以m,n=(a+b)(a+b)=a+(2+)a5+52=0 即月+(a+cos13°+2=0， 即18+(2+1)×3√2×5× √2 2 +252=0 解得=10 3 故答案为：10 3 6.【答案】-13 解析：因为a+五+c=0,所以（位+3+=0，则 a+万+c2+2a.b+5.c+c:a上0 因此a.6+6,c+8a=-3+1+4 =-13故答案为：-13 7.【答案】2 解析：因为A,8,C,D四点在平面a内， 且点P为平面a外的一点， 则有aAP+bBP+cCP+dDP=0, 其中a+b+c+d=0, 而AP+BP-4CP+2DP=0 所以1+1-4+1=0，解得1=2，故答案为：2 8.【答案】60 解析：因为异面直线AD与BC成60°角，则AD与BC夹角为60°或 120°， 又：AB+C+C⑦+D=0,.丽+C而=-(BC+D网 两边平方，得A丽+CD+2A丽.CD=C+D+2BC.DA, 即4+1+2×2x1xcos(E,c可)=-1+9+2x1×3 2， 或4+1+2x2x1xcs(@,0可-1+9+2x1x3×2 1 cos(西，可)-=片（或o@,c可）=2舍去) 即AB与C⑦夹角为60°，所以异面直线AB与CD所成角为60° 故答案为：60 9.【答案】4 解折：亚古风+后丽+范，故 15=-风+2P西+4元，3成：}风+丽+元 p 不纺令丽吸，则丽：+西+元，又1，故 5 5 点出48，C共面，故=c=号x6=4.故答案为：4 3 10.【答案】12 解析：，AC⊥AB,BD⊥AB,∴.CAAB=0,BD,AB=0, 又，二面角4-AB-B的平面角为120°， .<CA,BD=60°， .ICD-CD=(CA+AB+BD) =C+A否+8D+2,A8+2☑.8D+2A丽.8D =3×62+2×62c0s60°=144 ∴.CD=12. 1.【答案】 解析：连接BD,BG P 因为AE=PB-P☑，AB=DC,所以DC=PB-PA, 因为PC=PD+DC,所以PC=PD+P8-PA=-A+P丽+PD 因为器片所以网把，所以两：+时西+号玩 又因为丽=丽-风，所以丽：颗+兮丽+兮玩 因为铝=，所以府=丽：号风+号丽+号而 3 咽为而-页+而智网+号西+号玩，且0,9，P,0四 点共面所以1-智=0，解符m=子，故答案为：寻 3 12.【答案】(1)证明见解析：(2)2 解析：(1)由已知得AB,=AB+BB,,BC=BB+B,C=BB,+BC, :BB,⊥平面ABC .BB·AB=0,BBBC=0 又：△ABC是正三角形， (俪，=r-(属)=r-行号 :A瓜8C=(8+a)(⑧瓯+BCA丽.弧+AE,C+8+aC =0+网dc(丽，+网+0=5x6(1=0 .AB,⊥BC: (2)由(1)得c=B©cs(,C+a=-1, 又回-+丽+2丽丽-V2+画可 阿-vC+g+2ac丽-2+画， 网尚高 解得B=2,即侧棱长为2 B【打[9 解析：由已知E为棱B,C1上的动点，设B,E=2B,C(0≤1≤1. 因为AE-A瓦+B,E=A8+BC=A丽+B弧+BC AE AC=(AB+BB +BC)AC=AB.AC+BB AC+BC AC =1×V2×cos45°+×1×V2×cos45°=1+2 1+2 所以向量A正在向量A正方向上投影的数量为2 又0≤≤1,1s1+as2,5sl+355 2√2 所以向量A运在向量AC方向上投影的数量的取值范围为 2