4.3.1对数的概念学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.3.1 对数的概念 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解对数的概念及其性质 2、 掌握指数式与对数式的互化 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 对数的概念及其性质 难点 指数式与对数式的互化 新知导入 在上一节课中，通过指数幂运算，我们能从中求出经过年后B地景区的游客人次为2001年的倍数．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？ 上述问题实际上就是从，，，…中分别求出，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数． 一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识清单 知识点一：对数 1.对数的概念：一般地，如果 ，且，那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 ，其中 a 叫作对数的 ，N 叫作 . 2.常用对数与自然对数：以 10 为底的对数叫作常用对数，并把记为 ； （2）以为底的对数叫作自然对数，并把记为 . 知识点二：对数与指数的关系 3.对数与指数的关系：当，且时， . 知识点三：对数的性质 4.对数的性质：（1）负数和 没有对数； （2） ， . 例题讲解 例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 例2 求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 课堂练习 1.( ) A.3 B.2 C.1 D. 2.若，则的值为( ) A.2 B.4 C.8 D.9 3.将化为对数式正确的是( ) A. B. C. D. 4.（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 5.（多选）下列指数式与对数式互化正确的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 6.使式子有意义的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.计算：______. 8.若，则___________. 9.若，（且），则__________. 10.若方程的两个不相等的实根分别为，，则_______. 课后练习 1.( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知，那么用a表示是( ) A. B. C. D. 3.地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的( ) A.6倍 B.倍 C.倍 D.倍 4.已知，，则( ) A. B. C. D. 5.若，则有( ) A. B. C. D. 6.若与互为相反数，则( ) A. B. C. D. 7.在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，，则( ) A. B. C.4 D.6 8.若，且，则( ) A. B. C. D. 9.（多选）下列运算中正确的是( ) A. B. C. D. 10.（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 11.若，用a表示________. 12.__________. 13.若，则的值为___________. 14.已知实数a，b，c满足，且，则________________. 15.已知，则____________. 答案以及解析 知识清单 1. 底数 真数 2. 3. 4.0 0 1 例题讲解 例题1 解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 例题2 解：（1）因为，所以． （2）因为，所以．又，所以． （3）因为，所以，，于是． （4）因为，所以，，于是． 课堂练习 1.答案：C 解析：. 故选：C. 2.答案：A 解析：因为，所以，. 故选：A. 3.答案：B 解析： 故选：B 4.答案：ABD 解析：对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD. 5.答案：BD 解析：化成对数式是，故A错误；B正确； 化成对数式是，故C错误；D正确. 故选BD. 6.答案：D 解析：根据题意得解得或. 7.答案：2 解析：， 故答案为：2. 8.答案：64 解析：由，得， 所以，即. 9.答案：18 解析：，.，，. 10.答案： 解析：或， 由得，由得，所以. 课后练习 1.答案：A 解析：易知. 故选：A. 2.答案：A 解析：原式. 故选：A. 3.答案：C 解析：设里氏8.0和6.0级地震所释放出来的能量分别为焦耳，焦耳，则，，则，，故. 故选：C. 4.答案：B 解析：， 故选：B. 5.答案：C 解析：因为， 所以， 即， 故选：C. 6.答案：C 解析：由题意可知，则，. 故选：C. 7.答案：C 解析：由题意可得：. 故选：C. 8.答案：C 解析：由，得，由，得. 故选：C. 9.答案：AD 解析：对于A：，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数， ，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数， 所以，故D正确； 故选：AD. 10.答案：ACD 解析：对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确； 对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误； 对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确； 对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确. 故选：ACD. 11.答案： 解析：由，得，则， 所以. 故答案为：. 12.答案：3 解析：原式. 13.答案： 解析：，， ， . 故答案为： 14.答案： 解析：由可知，，， 所以，即，所以. 故答案为：. 15.答案：4 解析：因为， 所以. 故答案为：4. 学科网（北京）股份有限公司 $