4.2.2 指数函数的图象和性质 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的图象与性质 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解指数函数的图象 2、 掌握指数函数的基本性质 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 指数函数的图象和性质 难点 指数函数的图象和性质 新知导入 下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数． 首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质． 先从简单的函数开始． 请完成的对应值表，并用描点法画出函数的图象（如图）． 画出函数的图象，并与函数的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图象，画出函数的图象？ 因为，点与点关于轴对称，所以函数图象上任意一点关于轴的对称点都在函数的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称． 根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数的图象，画出的图象（如图）． 知识清单 知识点一：指数函数的图象与性质 1.指数函数的图象和性质 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 单调性 增函数 奇偶性 例题讲解 例1 比较下列各题中两个值的大小： （1）； （2）； （3）． 小结： 利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． 例2 如图，某城市人口呈指数增长． （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 课堂练习 1.若，，，则( ) A. B. C. D. 2.已知命题，命题，则命题p是命题q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中是增函数的为( ) A. B. C. D. 4.已知指数函数在上单调递增，则实数a的值为( ) A. B.1 C. D.2 5.在，，，这四个数中，最大的数为( ) A. B. C. D. 课后练习 1.已知函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是( ) A. B. C. D. 2.设函数在区间单调递减，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是( ) A. B. C. D. 4.若，，，则( ) A. B. C. D. 5.若，则函数与的图象大致是( ) A.B.C.D. 6.函数的图象是( ) A. B. C. D. 7.函数，的值域是( ) A. B. C. D. 8.若，，，则( ) A. B. C. D. 9.已知，且，且，则a的取值范围是___________. 10.已知函数是偶函数，则__________. 11.已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又 不与该直线相交. （1）求的解析式； （2）函数，，求的最小值. 答案以及解析 知识清单 1. 减函数 非奇非偶 例题讲解 例1 分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来． 解：（1）和可看作函数当分别取2.5和3时 所对应的两个函数值． 因为底数，所以指数函数是增函数． 因为，所以． （2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数． 因为，所以． （3）由指数函数的性质知，， 所以． 例2 分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期． （2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系． 解：（1）观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年． （2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人． 课堂练习 1.答案：C 解析：因为函数是增函数， 所以，即， 又，所以. 故选：C. 2.答案：A 解析：根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题p是命题q的充分不必要条件. 故选：A. 3.答案：D 解析：对于，易知是减函数，故A不符合题意； 对于，易知是减函数，故B不符合题意； 对于，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意； 对于，由幂函数的性质可知，在上单调递增， 故选：D. 4.答案：D 解析：由题得，，或. 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意. 所以. 故选：D. 5.答案：C 解析：由函数与在R上单调递减，可知，， 只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增， 所以，所以这四个数中，最大的数为. 故选：C. 课后练习 1.答案：B 解析：当时，，故函数的图象恒过定点. 2.答案：D 解析：因为函数在区间单调递减，所以函数在区间单调递减，所以，即，故a的取值范围是，故选D. 3.答案：A 解析：在定义域R上单调递增，满足题意 、、在定义域内都不是单调递增的. 故选：A. 4.答案：A 解析：，在R上单调递减，，故，所以， 又，在上单调递增，，故， 即，所以. 故选：A. 5.答案：A 解析：因为，所以是增函数，的图象与y轴上的交点为 故只有A项正确. 故选：A. 6.答案：B 解析：的定义域为R，关于原点对称，且，故为偶函数，其图象关于y轴对称，，故排除C，D；当时，，排除A.故选B. 7.答案：B 解析：令，，则，，所以，又在R上单调递增，所以，即.故选B. 8.答案：D 解析：因为函数在R上单调递增，且， 所以，即， 同理可得，，， 所以. 故选：D. 9.答案： 解析：，所以在定义域上单调，又，所以单调递增，所以，所以. 10.答案：1 解析：为偶函数，，即，解得.当时，，其定义域为R，且满足，故为偶函数. 11. 解析：（1）的图象无限接近直线但又不与该直线相交， ， 又的图象经过原点，，即， . （2）由（1）得，， 令，则， 即，， 故当，即时，取得最小值，为. 学科网（北京）股份有限公司 $