4.2.1指数函数的概念学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 指数函数的概念 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解指数函数的概念 2、 理解实际问题中的指数函数模型 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 指数函数的概念 难点 指数函数的概念 新知导入 对于幂，我们已经把指数 的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数——指数函数． 一般地，函数（，且）叫做指数函数， 其中指数 是自变量，定义域是 ． 知识清单 知识点一：指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域为 . 例题讲解 例1 已知指数函数（，且），且，求，，的值． 例2 （1）随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 时间／年 A地景区 B地景区 人次／万次 年增加量／万次 人次／万次 年增加量／万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 在 问 如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元（不含门票）的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况． （2）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 课堂练习 1.给出下列函数： （1）； （2）； （3）； （4）. 其中指数函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若函数是指数函数，且，则( ) A. B. C. D. 3.函数是指数函数，则有( ) A.或 B. C. D.且 4.若函数是指数函数，则m的值为( ) A.或3 B. C.3 D. 5.若p：函数是指数函数；q：.则q是p的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 6.（多选）设指数函数（且），则下列等式中正确的是( ) A. B. C. D. 7.变量y随变量x变化的数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 2 4 8 16 32 64 现有三种函数模型：①，②，③，最符合上表变化规律的函数模型序号是__________. 8.若指数函数满足，则_______________. 课后练习 1.若函数是指数函数，则m的值为( ) A.或3 B. C.3 D. 2.函数（且）的图象一定过点( ) A. B. C. D. 3.已知集合，，则等于( ) A. B. C. D. 4.函数的值域是( ) A. B. C. D. 5.（多选）下列函数中，是指数函数的为( ) A. B. C. D. 6.（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是( ) A. B.C. D. 7.已知函数（，且）的图象过点，则__________. 8.若指数函数满足，则_________. 9.已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则_______________. 10.若函数（，且）在上的最大值与最小值的差为，则a的值为__________. 答案以及解析 知识清单 1.，且 R 例题讲解 例题1 分析：要求，，的值，应先求出的解析式，即先求 的值． 解：因为，且， 则，解得，于是． 所以，，，． 例题2 解：（1）设经过 年，游客给A，B两地带来的收入分别为和， 则，． 利用计算工具可得，当时，． 当时，． 结合图象可知： 当时，， 当时，． 当时，． （2）设生物死亡 年后，它体内碳14含量为． 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么． 当时，利用计算工具求得． 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约． 课堂练习 1.答案：A 解析：对于①，函数中的自变量x在底数位置上，不在指数位置上，故①不是指数函数； 对于②，函数的底数，故②不是指数函数； 对于③，函数中的指数式前的系数不是1，故③不是指数函数； 对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，故④是指数函数. 故选：A. 2.答案：A 解析：设（且），则由，得，所以. 3.答案：B 解析：由指数函数的概念，得且，解得. 故选：B. 4.答案：C 解析：由题意得所以. 5.答案C 解析：由函数是指数函数，得，解得或2，又，所以.由，得或2，所以q是p的必要不充分条件.故选C. 6.答案：ABC 解析：，A正确；，B正确； ，C正确； ，，D错误. 故选ABC. 7.答案：① 解析：根据表格数据可知最符合变量y随变量x变化规律. 故答案为：① 8.答案：27 解析：令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：27. 课后练习 1.答案：C 解析：由题意得所以. 故选：C. 2.答案：D 解析：因为，所以的图象一定过点. 故选：D. 3.答案：D 解析：，，，.，，. 因此. 故选：D 4.答案：A 解析：因为函数在R上是减函数，且， 所以当时，函数取得最小值为 当时，函数取得最大值为4， 故函数的值域为 故选：A. 5.答案：AD 解析：形如(且)形式的为指数函数，以上满足的条件的为AD. 6.答案：AC 解析：①若，则函数是R上的增函数， 函数的图象的对称轴方程为，故A符合，B不符合; ②若，则函数是R上的减函数，，函数的图象与y轴的负半轴相交， 故选：AC. 7.答案：2 解析：将代入得， 故答案为：2. 8.答案：27 解析：令（且），因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：27. 9.答案：或2 解析：①当时，，得; ②当时，，得，故或2. 故答案为：或2. 10.答案：或 解析：当时，函数在上单调递增，y的最大值为，最小值为a， 故有，解得或（舍去）； 当时，函数在上单调递减，y的最大值为a，最小值为， 故有，解得或（舍去）. 综上，或. 学科网（北京）股份有限公司 $