3.3 幂函数 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦幂函数，引导学生理解幂函数的概念、图象特征及性质。通过购买蔬菜、正方形面积等5个生活实例导入，观察解析式共同特征抽象出定义，衔接此前函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以数学抽象和逻辑推理为核心，知识清单清晰呈现定义与性质，例题练习分层设计，例3证明单调性强化推理能力。详细解析助力自主学习，帮助学生用数学眼光观察现实，用数学思维分析问题，提升学习效率与学科素养。

第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解幂函数的概念 2、 掌握幂函数的图象特征和性质 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 幂函数的概念 难点 幂函数的图象特征和性质 新知导入 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质．本节我们利用这些知识研究一类新的函数——幂函数． 先看几个实例． （1）如果张红以1元 的价格购买了某种蔬菜 ，那么她需要支付 元，这里 是 的函数； （2）如果正方形的边长为 ，那么正方形的面积 ，这里 是 的函数； （3）如果立方体的棱长为 ，那么立方体的体积 ，这里 是 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为 ，那么这个正方形的边长 ，这里 是 的函数； （5）如果某人 内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度，即 ，这里 是 的函数． 观察（1）～（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1，2，3，，；它们都是形如 的函数． 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数． 知识清单 知识点一：幂函数的定义 1.幂函数：一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是 . 知识点二：幂函数的图象和性质 2.幂函数，，，，的图象如图： 3.幂函数，，，，的性质如下表： 幂函数 定义域 R R R 值域 R R 单调性 增 在上 单调递增， 在上 单调递减 增 增 奇偶性 奇 偶 奇 奇 公共点 都经过点 例题讲解 例题1 .若幂函数的图象经过点，则__________. 例题2.若是幂函数，则_________. 例3 证明幂函数 是增函数 课堂练习 1.下列图象可能为幂函数图象的是( ) A. B.C. D. 2.已知幂函数的图象过点，则a等于( ) A.3 B.2 C. D. 3.已知函数是幂函数，则m的值为( ) A. B.2 C.或2 D.0 4.已知函数是幂函数.则( ) A. B.2 C. D.1 5.已知是幂函数，则( ) A. B. C.1 D.2 6.已知幂函数，则__________. 7.已知点在幂函数的图象上，则________. 8.已知幂函数经过点，则的值是________. 9.若幂函数是偶函数，则__________. 课后练习 1.已知函数是幂函数，则( ) A. B.2 C. D.1 2.已知幂函数在上单调递减，则( ) A. B. C.3 D.或3 3.已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是( ) A.1 B. C.1或 D.0 4.已知，，，则( ) A. B. C. D. 5.若幂函数的图象经过点，则( ) A. B. C.2 D. 6.图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是( ) A.3，， B.3，， C.，3， D.，，3 7.（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 8.（多选）若幂函数在上单调递减，则( ) A. B. C. D. 9.幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式________. 10.已知函数是幂函数，若，则________. 11.若函数是幂函数，且满足，则的值为____________. 12.已知幂函数的图象经过点. （1）试求m的值并写出该幂函数的解析式； （2）试求满足的实数a的取值范围. 答案以及解析 知识清单 1. 常数 3. 在上单调递减，在上单调递减 非奇非偶 例题讲解 例题1．解析：设，则有，，即，所以. 例题2. 解析：因为是幂函数，所以，即， 解得或. 例题3： 证明：函数的定义域是 ． ，且 ， 有． 因为 ， 所以 ，即幂函数 是增函数． 课堂练习 1.答案：C 解析：因为是幂函数， 所以，即，解得或2. 故选：C. 2.答案：C 解析：因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 3.答案：D 解析：幂函数（为常数）的性质有： 若自变量有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、B、C， 故D正确. 故选：D. 4.答案：D 解析：因为幂函数的图象过点，所以，即， 则，解得. 故选：D. 5.答案：B 解析：由题意得，得. 故选：B. 6.答案： 解析：由题意可知， 则，所以. 故答案为： 7.答案： 解析：因为点在幂函数的图象上， 所以，解得， 所以. 故答案为： 8.答案： 解析：因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为：. 9.答案： 解析：由于是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意. 当时，是偶函数，符合题意. 故答案为：. 课后练习 1.答案：C 解析：因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 2.答案：B 解析：因为函数为幂函数， 所以，即，解得或， 又在上单调递减，所以， 故选：B. 3.答案：A 解析：由幂函数的图象在上单调递减， 得，所以. 故选：A. 4.答案：A 解析：，，，最小， 又，，在上单调递增， 所以，即， 综上，. 故选：A. 5.答案：A 解析：因为函数为幂函数， 所以，即，所以， 因为函数的图像经过点， 所以，即， 所以，解得， 所以. 故选：A. 6.答案：A 解析：由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足. 故选：A. 7.答案：AB 解析：对于A，函数的定义域为R，且， 所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上单调递增，故A正确； 对于B，函数的定义域为R，且， 所以函数为奇函数，易知在上单调递增，故B正确； 对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，函数在区间上单调递减，故D错误. 故选：AB. 8.答案：CD 解析：因为幂函数在上单调递减， 所以，，解得，故，所以，. 故选：CD. 9.答案：或(答案不唯一) 解析：幂函数在上是减函数，设，则， 因为有很多解，如、、、等均符合题意. 故答案为：或(答案不唯一). 10.答案：2 解析：设，是常数，代入已知条件运算求解. 设，是常数，则， 解得，则. 故答案为：2. 11.答案：16 解析：设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16. 12.解析：（1）由题可得，所以， 所以，解得或， 又，所以， 则该幂函数的解析式为. （2）因为的定义域为，且在上单调递增，， 所以解得. 所以a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $