3.2.2奇偶性学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解函数的奇偶性的概念 2、 掌握判定简单函数的奇偶性的方法 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 函数的奇偶性 难点 判定简单函数的奇偶性 新知导入 前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质．下面继续研究函数的性质——奇偶性． 画出并观察函数 和 的图象（如图），你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 可以发现，这两个函数的图象都关于 轴对称． 类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于 轴对称”这一特征吗？ 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做偶函数． 观察函数 和的图象（如图），你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？ 可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形． 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做奇函数． 知识清单 知识点一：函数的奇偶性 1.偶函数：一般地，设函数的定义域为D，如果，都有，且 ，那么函数就叫做偶函数.偶函数的图象关于 对称. 2.奇函数：一般地，设函数的定义域为D，如果，都有，且 ，那么函数就叫做奇函数.奇函数的图象关于 对称. 例题讲解 例1 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． 思考 （1）判断函数 的奇偶性． （2）如图是函数 图象的一部分， 你能根据 的奇偶性画出它在 轴左边的图象吗？ （1）利用定义判断奇偶性．函数 的定义域为 ，对每一个 ，都有 ，即 是奇函数． （2）由奇函数的图象关于原点对称可画出 在 轴左边的图象．如图所示． 课堂练习 1.函数( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则( ) A. B.2 C.3 D. 3.（多选）下列函数为奇函数的是( ) A． B． C． D． 4.已知是偶函数，是奇函数，试将下图补充完整. 5.已知函数是定义域为R的奇函数，若，则________. 6.已知定义在R上的偶函数，当时，，则_________. 7.判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）. 课后练习 1.函数的图象大致为( ) A.B.C.D. 2.下列函数是偶函数的是( ) A. B. C. D. 3.已知函数，则的值是( ) A. B.0 C.1 D.2022 4.已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知函数在上单调递减，则m的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.（多选）某工厂8年来的产品年产量y与时间t（单位：年）的函数关系如图所示，则下面四个结论中正确的是( ) A.前3年的年产量增长速度越来越快 B.前3年的年产量增长速度越来越慢 C.3年后，这种产品停止生产 D.3年后，这种产品年产量保持不变 7.（多选）下列函数中为偶函数的是( ) A. B. C. D. 8.若函数定义域为I，若，有，且，则称函数为_________（“奇”或“偶”）函数. 9.已知是定义在R上的奇函数，若，则____________. 10.若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是________. 答案以及解析 知识清单 1. y轴 2. 原点 例题讲解 例题 解：（1）函数 的定义域为 ． 因为 ，都有 ，且 ， 所以，函数 为偶函数． （2）函数 的定义域为 ． 因为 ，都有 ，且 ， 所以，函数 为奇函数． 3）函数的定义域为 ． 因为 ，都有 ，且， 所以，函数为奇函数． （4）函数的定义域为 ． 因为 ，都有 ，且， 所以，函数为偶函数． 课堂练习 1.答案：A 解析：由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A. 2.答案：B 解析：是定义在R上的奇函数，当时，， 则． 故选：B． 3.答案：BC 解析：对于A，定义域为R，因为， 所以为偶函数，所以A不符合题意， 对于B，定义域为R，因为， 所以为奇函数，所以B正确， 对于C，定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以C正确， 对于D，定义域为， 因为， 所以为偶函数， 所以D不符合题意， 故选：BC 4.答案：见解析 解析：因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示. 5.答案： 解析：函数是定义域为R的奇函数，则， 若，则， 故答案为：. 6.答案：2 又因为定义在R上的偶函数，所以， 所以， 故答案为：. 7.答案：（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 解析：（1）函数的定义域为R， ， 所以，函数为偶函数； （2）函数的定义域为R， ，则且， 所以，函数为非奇非偶函数. 课后练习 1.答案：A 解析：因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C；又当时，，当且仅当时取等号，所以排除B，D. 故选：A. 2.答案：B 解析：定义域为R，，所以为奇函数； 定义域为R，，所以为偶函数； 定义域为R，，所以为奇函数； 定义域为，所以，为非奇非偶函数， 故选：B. 3.答案：B 解析：，则. 故选：B. 4.答案：A 解析：对称轴为，开口向上，要想在区间是减函数，所以. 故选：A. 5.答案：A 解析：由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需，解得，即m的取值范围为. 故选：A. 6.答案：AD 解析：由图象可知，前3年年产量的增长速度越来越快，后5年的年产量是不变的，所以AD正确. 故选：AD. 7.答案：AB 解析：因为函数的定义域为R， 且，故为偶函数，A正确; 因为的定义域为， 且，故B正确; 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 故函数不具有奇偶性，C错误; 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 故函数不具有奇偶性，D错误; 故选：AB. 8.答案：偶 解析：若函数定义域为I，若，有，且，则称函数为偶函数. 故答案为：偶. 9.答案： 解析：因为，，所以， 又因为是定义在R上的奇函数，所以， 又，所以，解得. 故答案为：. 10.答案： 解析：的开口向下， 对称轴方程为，要使在上是增函数， 只需，即，实数a的取值范围为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $