3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值（第2课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解函数的最大（小）值的概念 2、 掌握求简单函数的最值的方法 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 函数的最大（小）值 难点 求简单函数的最值 新知导入 观察右图，可以发现，二次函数的图象上有一个最低点，即，都有．当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数有最小值． 你能以函数为例说明函数的最大值的含义吗？ 函数的图象如右图所示，该图象上有一个最高点，即，都有，则称有最大值． 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得． 那么，我们称是函数的最大值． 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得． 那么，我们称是函数的最小值． 知识清单 知识点一：函数的最大（小）值 1.函数的最大（小）值：一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足：，都有 ；，使得，那么称M是函数的最大值；如果存在实数M满足：，都有；，使得 ，那么称M是函数的最小值. 例题讲解 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？ 例2 已知函数，求函数的最大值和最小值． 课堂练习 1.函数的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.函数在区间上的图象如图所示，则此函数在区间上的最小值、最大值分别是( ) A. ， B.2， C.， D.2， 3.已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 4.函数1在区间上的最大值与最小值的差是2，则a的值为( ) A. B.1 C. D.或 5.判断函数，的单调性，并求这个函数的最值. 6.已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值. 课后练习 1.函数在上的图象如图所示，则此函数的最大值和最小值分别为( ) A.3，0 B.3，1 C.3，无最小值 D.3，2 2.函数的最大值为( ) A. B. C. D.18 3.已知函数，，则函数( ) A.有最小值，无最大值 B.有最大值，无最小值 C.既有最小值又有最大值 D.既无最小值，又无最大值 4.已知函数在区间上的最大值为，则实数a等于( ) A. B. C. D. 5.（多选）下列说法正确的是( ) A.函数在上单调递减，最小值为-9 B.函数在上单调递增，最大值为-1 C.函数在上先增后减，最小值为0 D.函数的定义域是R，最小值为0 6.已知函数在区间上的最大值为，则实数m的值为________. 7.已知函数，. （1）当时，求函数的最大值和最小值； （2）求函数在区间上的最小值. 答案以及解析 知识清单 答案：1. 例题讲解 例题1 解：画出函数的图象（如图）．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度． 由二次函数的知识，对于函数，我们有： 当时，函数有最大值． 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m． 例题2 分析：由函数的图象（如图） 可知，函数在区间上单调递减．所以， 函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值． 解：，且， 则． 由，得，， 于是，即． 所以，函数在区间上单调递减． 因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值． 在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4． 课堂练习 1.答案：D 解析：因为是单调增函数， 又因为，所以，此函数最大值为5. 故选：D. 2.答案：C 解析：由函数的图象知，在上，当时，有最小值； 当时，有最大值. 2.答案：D 解析：函数在R上单调递增， 当时，，， 所以最大值与最小值之和为7. 故选：D. 3.答案：D 解析：a显然不等于0. 当时，函数单调递增，即，得； 当时，函数单调递减，即，得. 所以a值为或. 故选：D. 4.答案：这个函数是增函数；最小值为，最大值为36 解析：这个函数是增函数，证明如下： 任取且，则， 那么， 所以这个函数是增函数， 因此，当时，有，即. 从而这个函数的最小值为，最大值为36. 5.答案：此函数最大值为，最小值为 解析：，且，则. ，. 又，.，即. 在上是减函数， 最大值为，最小值为. 课后练习 1.答案：C 2.答案：B 解析：易得的定义域为，设 ，，所以当时，函数有最大值，为，所以的最大值为.故选B. 3.答案：D 解析：易知在上单调递减，在上单调递减，所以当时，，当时，，所以的值域为，故既无最小值，也无最大值.故选D. 4.答案：C 解析：函数，其图象的对称轴方程为.由题可知.若，则时，函数取得最大值，为，不满足题意；若，则函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最大值，为，解得或（舍去）. 5.答案：ABD 解析：对于A，函数在上单调递减，最小值是，故A正确；对于B，函数在上单调递增，最大值为，故B正确；对于C，函数在上单调递减，在上单调递增，最小值为，故C错误；对于D，函数的定义域是R，当时，，当时，，则的最小值为0，故D正确. 6.解析：函数， 当，即时，，不符合题意； 当，即时，在上单调递减，可得为最大值， 即，符合题意； 当，即时，在上单调递增，可得为最大值， 即，解得，不符合题意. 综上可得，. 7.解析：（1）当时，，， 由二次函数的性质知，，. （2）函数图象的对称轴为直线， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，. 综上所述， 学科网（北京）股份有限公司 $