13.2 与三角形有关的线段 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学中三角形的边与特殊线段，系统构建从三边关系定理到高、中线、角平分线的概念理解与应用的知识链条，前后衔接紧密，由“图—文—式—理”四维统一推进，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”。例如通过例题引导学生从具体数值判断能否构成三角形，逐步抽象出“任意两边之和大于第三边”的本质规律，并在等腰三角形周长问题中强化分类讨论与逻辑推理。课中教师可借助表格对比三种线段的定义、作图及性质，帮助学生建立结构化认知；课后练习覆盖基础巩固、综合应用与拓展探究，如第4题考查不等式条件下的整数解个数，促进学生深度思考，提升解决实际问题的能力。

13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1. 三边关系：用两点之间线段最短证明三边关系定理 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 表示：，， 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 表示：，， 2. 三角形具有稳定性 3. 建议： （1）关注研究数学问题时常说的“图--文--式--理”之间的关系； 图形 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 三角形两边之差小于第三边 两点之间线段最短 强调利用不等式性质证明推论 （2）涉及三角形的边的问题需考虑两方面：一是三角形的三边（不等）关系是否成立；二是是否构成三角形的检验意识． （3）在学习和应用这个定理时，“两边之和大于第三边”指的是“任何两边的和”都“大于第三边”，而学生的错误可能在于以偏概全．可让学生自己体会总结三角形成立的条件：当能确定三边长短时，两条较短边之和大于最长边；当不能确定三边长短时，需任意两边的和大于第三边. （4）应用：①会判断三条线段能否构成三角形； ②已知两边，求第三边的取值范围；关于等腰三角形边长、周长的一类习题，强化分类讨论和三边检验的意识. ③证明关于线段的不等关系. 【典型例题】 例1. 下列长度的线段能否组成三角形? （1）4，5，8 （2）3，3，6 （3），a，3 (a > 3) （4）, , (a> 0) （5）三边之比为4 : 6 : 10 例2. 求字母的取值范围： （1）若三角形三边分别为3，x－2，5，求x的范围； （2）若三角形两边长为5和7，求最长边x的取值范围； （3）等腰三角形腰长为3，求周长l的范围． 例3. 一个等腰三角形的周长为18cm. （1）已知一边长为4cm, 求其它两边长. （2）已知一边长为5cm, 求其它两边长. （3）已知一条边是另一条边的两倍, 求三角形的三边长. 例4.（书P21复习题3）如图，填空由三角形两边之和大于第三边，得AB+AD＞，PD+CD＞， 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD +PD+CD＞，即AB+AC＞. 例5.如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是. 【课后练习】 1.已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为3，则这个等腰三角形的周长为 . 2.三角形三边长分别为下列各组数，分别求出a的取值范围. （1）, , （2）, , 3. 已知a，b，c是△ABC的三边，a = 4，b = 6，且三角形的周长是大于14的偶数. （1）求c的值；（2）判断△ABC的形状. 4. △ABC的三边a，b，c都为正整数, 且abc，如果b = 4，那么这样的三角形有(　　) A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 5. 如图钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其中蕴含的数学道理是 . 13.2.2 三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的中线 （1）三角形的中线定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点所得的线段叫做三角形的中线． （2）作图：分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条中线. （3）书写格式：①∵AD是△ABC的中线（　　） ∴　　　＝　　　＝　　　　（　　） ②∵　　　＝　　　（　　） ∴AD是△ABC的中线（　　） （4）明确三角形中线的意义： ①三角形三条中线交于一点，交点在三角形的内部．这个交点叫三角形的重心. ②三角形的中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形(等分三角形面积问题)． 2. 三角形的角平分线 （1）定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线． （2）作图：分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条角平分线． （3）书写格式：①∵AD是△ABC的角平分线（　　） ∴∠　　＝∠　　＝∠　　　（　　） ②∵∠　　＝∠　　（　　） ∴AD是△ABC的角平分线（　　） （4）明确三角形角平分线的意义： ①三角形三条角平分线交于一点，交点在三角形的内部． ②三角形的角平分线与角的平分线的不同. 3. 三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线．三角形的高线简称三角形的高. （2）作图: 分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高．（提醒注意标垂足字母和直角符号） （3）书写格式：①∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC（或∠ADB＝90º，或∠ADC＝90º） ②∵△ABC中，AD⊥BC于D（或∠ADB＝90º，或∠ADC＝90º） ∴AD是△ABC的高． （4）明确三角形高的意义： ①有了高可以考虑与三角形面积有关的问题.（利用等积式求某些线段的长） ②高把一个三角形转化为两个直角三角形. ③锐角三角形三条高交于一点，交点在三角形的内部；直角三角形三条高交于一点，交点在直角顶点；钝角三角形三条高所在直线交于一点，交点在三角形的外部．（由高线引出分类讨论） 4. 建议： （1）按照概念的形成、画图依据、应用格式（类比垂线、中点）、分布情况（条数、位置）的框架展开研究，可以用表格进行整理. 名称 图形 概念 符号表示 与以前知识联系 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 中线 角平分线 高 备 注 三角形的三条中线相交于一点(内) 三角形的三条角平线相交于一点(内) 三角形的三条高相交于一点(由三角形的形状确定) （2）对于三角形中重要的三条线段，教学时始终应坚持对文、图、式的把握.学生经历画图、识图、用图的过程. （3）知识间的联系和联想，逐步渗透，提高学生的分析能力.　　 ①三角形的中线，联想中点及等分面积，再深入联想三角形的三条中线将三角形分成面积相等的6个部分； ②三角形的高线，联想90°导角，分类讨论，基本图形（可与三角形的导角问题结合），面积问题； ③三角形的角平分线，联想轴对称. （4）可以补充面积相关的问题. ①如图，△ABC中，已知AC=8，BC=6，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD=5，求BE的长. ②如图，△ABC中，AB=2cm，BC=4cm，△ABC的高AD与CE的比是多少？ ③如图，△ABC中，AB=AC，D是BC所在直线上一点，且DE⊥AB，DF⊥AC，CM⊥AB，试探究CM、DE、DF之间的关系. 第①题 第②题 第③题 ④等积的三角形剖分 二等分 三等分 四等分 ⑤拓展：如图△ABC，过A点的中线能把三角形分成面积相同的两部分.你能过AB边上一点E作一条直线EF，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？ 【典型例题】 ( B A C E ) ( B A C E ) ( A B C E )例1.如图, 是甲、乙、丙三位同学画的钝角△ABC的高, 其中画法错误的有__________ ① ② ③ 例2. 如图，在△ABC中∠1=∠2，G为AD中点, 延长BG交AC于点E. F为AB上一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的有_______. ①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的AD上的中线； ③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线. 例3. 如图, 已知AD是△ABC的中线，AB=5 cm，AC=3 cm, 则△ABD和△ACD的周长之差为_________, △ABD和△ACD的面积之差为__________. 例4. 如图, 在△ABC中, 已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点, 且S△ABC=4cm2, 则 ( A B C D E F )S△BEF= _______. ( A B C D ) 例3图 例4图 例5. 等腰三角形中， （1）一腰上的中线将原三角形的周长分为15cm和12cm两部分，求此三角形各边长． （2）一腰上的中线将原三角形的周长分为15cm和6cm两部分，求此三角形各边长． 【课后练习】 1. 下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是( ) . A. B. C. D. 2. 如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，下列说法错误的是(　) A. △ABC中，AC是BC边上的高B. △BCD中，DE是BC边上的高 ( _ E _ D _ C _ A B )C. △ABE中，DE是BE边上的高D. △ACD中，AD是CD边上的高 ( E D C B A F ) 第2题图 第3题图 第4题图 3. 如图，∠ACE=∠BCE，BD=CD，指出图中三角形的特殊线段. 图中有面积相等的三角形吗? 4.如图，AD，BE分别是△ABC的高线、中线，若S△ABE=8，BC=8，则高线AD的长为 . 5. Rt△ABC，∠C=90，CD⊥AB于D. （1）AC= 4，BC= 3，AB= 5，求CD； （2）若BC：AB=1：2，求CD：AC的值. 6.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则△ABC的重心是（ ） A.点D B.点E C.点F D.点G 学科网（北京）股份有限公司 $