13.2 与三角形有关的线段 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

13.2与三角形有关的线段

13.2.1三角形的边

1. 三边关系：用两点之间线段最短证明三边关系定理

定理：三角形任意两边之和大于第三边.

表示：，，

推论：三角形任意两边之差小于第三边.

表示：，，

2. 三角形具有稳定性

3. 建议：

（1）关注研究数学问题时常说的“图--文--式--理”之间的关系；

图形	文字语言	符号语言	理论依据
	三角形两边之和大于第三边     三角形两边之差小于第三边		两点之间线段最短   强调利用不等式性质证明推论

（2）涉及三角形的边的问题需考虑两方面：一是三角形的三边（不等）关系是否成立；二是是否构成三角形的检验意识．

（3）在学习和应用这个定理时，“两边之和大于第三边”指的是“任何两边的和”都“大于第三边”，而学生的错误可能在于以偏概全．可让学生自己体会总结三角形成立的条件：当能确定三边长短时，两条较短边之和大于最长边；当不能确定三边长短时，需任意两边的和大于第三边.

（4）应用：①会判断三条线段能否构成三角形；

②已知两边，求第三边的取值范围；关于等腰三角形边长、周长的一类习题，强化分类讨论和三边检验的意识.

③证明关于线段的不等关系.

 

【典型例题】

例1. 下列长度的线段能否组成三角形?

（1）4，5，8            （2）3，3，6        （3），a，3  (a > 3) 

（4）, ,   (a> 0)           （5）三边之比为4 : 6 : 10

例2. 求字母的取值范围：

（1）若三角形三边分别为3，x－2，5，求x的范围；

（2）若三角形两边长为5和7，求最长边x的取值范围；

（3）等腰三角形腰长为3，求周长l的范围．

例3. 一个等腰三角形的周长为18cm.

（1）已知一边长为4cm, 求其它两边长. 

（2）已知一边长为5cm, 求其它两边长.

（3）已知一条边是另一条边的两倍, 求三角形的三边长.

例4.（书P21复习题3）如图，填空由三角形两边之和大于第三边，得AB+AD＞，PD+CD＞，

将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD +PD+CD＞，即AB+AC＞.

 

 

 

例5.如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是.

 

 

 

 

【课后练习】

1.已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为3，则这个等腰三角形的周长为     .

2.三角形三边长分别为下列各组数，分别求出a的取值范围.

（1）, , （2）, ,

3. 已知a，b，c是△ABC的三边，a = 4，b = 6，且三角形的周长是大于14的偶数.

（1）求c的值；（2）判断△ABC的形状.

4. △ABC的三边a，b，c都为正整数, 且abc，如果b = 4，那么这样的三角形有(　　)

 A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个

5. 如图钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其中蕴含的数学道理是          .

 

 

 

 

 

13.2.2  三角形的高、中线与角平分线

1. 三角形的中线

（1）三角形的中线定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点所得的线段叫做三角形的中线．

（2）作图：分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条中线.

（3）书写格式：①∵AD是△ABC的中线（　　）

∴　　　＝　　　＝　　　　（　　）

②∵　　　＝　　　（　　）

∴AD是△ABC的中线（　　）

（4）明确三角形中线的意义：

①三角形三条中线交于一点，交点在三角形的内部．这个交点叫三角形的重心.

②三角形的中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形(等分三角形面积问题)．

2. 三角形的角平分线

（1）定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．

（2）作图：分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条角平分线．

（3）书写格式：①∵AD是△ABC的角平分线（　　）

∴∠　　＝∠　　＝∠　　　（　　）

②∵∠　　＝∠　　（　　）

∴AD是△ABC的角平分线（　　）

（4）明确三角形角平分线的意义：

①三角形三条角平分线交于一点，交点在三角形的内部．

②三角形的角平分线与角的平分线的不同.

3. 三角形的高

（1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线．三角形的高线简称三角形的高.

（2）作图: 分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高．（提醒注意标垂足字母和直角符号）

 

 

 

 

 

（3）书写格式：①∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC（或∠ADB＝90º，或∠ADC＝90º）

②∵△ABC中，AD⊥BC于D（或∠ADB＝90º，或∠ADC＝90º）

∴AD是△ABC的高．

（4）明确三角形高的意义：

①有了高可以考虑与三角形面积有关的问题.（利用等积式求某些线段的长）

②高把一个三角形转化为两个直角三角形.

③锐角三角形三条高交于一点，交点在三角形的内部；直角三角形三条高交于一点，交点在直角顶点；钝角三角形三条高所在直线交于一点，交点在三角形的外部．（由高线引出分类讨论）

4. 建议：

（1）按照概念的形成、画图依据、应用格式（类比垂线、中点）、分布情况（条数、位置）的框架展开研究，可以用表格进行整理.

名称	图形	概念	符号表示	与以前知识联系
三角形的中线
三角形的角平分线
三角形的高

 

	锐角三角形	直角三角形	钝角三角形
中线
角平分线