22.1.1 二次函数 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.1.1 二次函数 从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线．在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度 y 与它距离喷头的水平距离 x 之间有什么关系？ 新课导入 1．理解并掌握二次函数的概念和一般形式． 2．会利用二次函数的概念解决问题． 3．能根据实际问题列二次函数关系式． 学习目标 问题1 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y. y＝6x2 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y，因为正方体展开后一共有上下左右前后六个面，每个面的面积都是棱长x的平方，所以整个正方体的表面积y就是6x2 4 问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 即 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 每个队要与除了自己之外的n-1个队各比一场，也就是n个队每个队都要比n-1场，但是我跟你比与你跟我比指的是同一场比赛，在我们俩这儿各算了一次，再除以2就是总的场次数了，所以m＝1/2n(n－1),化简后是m＝1/2n2－1/2n. 5 问题3 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？ 一年后的产量20(1＋x) 两年后的产量y＝20(1＋x)2， 即y＝20x2＋40x＋20. 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么一年后这种产品的产量就应该是现产量20加上增加的20x，也就是20乘以1+x倍，再过一年就再乘一个1+x，因此两年后的产量y＝20(1＋x)2，即y＝20x2＋40x＋20 6 课堂总结： 1．判断是否为二次函数的步骤：(1)化简；(2)看是否为整式；(3)符合y＝ax2＋bx＋c形式且a≠0. 2．根据实际问题列二次函数关系式的步骤：(1)审题找出等量关系；(2)设出两个表示变量的字母列出函数关系式；(3)化简． 3．求函数自变量取值范围：(1)分母≠0；(2)二次根号内式子≥0；(3)实际问题中，①边长>0；②三角形任意两边和>第三边；③靠墙养鸡场中，平行于墙的边≤墙长． 1．下列函数中，是y关于x的二次函数的是 (　　) A．y＝x3＋2x2＋3 B．y＝－ C．y＝x2＋x D．y＝mx2＋x＋1 2．函数y＝的自变量x的取值范围是 (　　) A．x≠3 B．x≥3 C．x≥－1且x≠3 D．x≥－1 C　 C　 问题1-3中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 y=6x2 想一想 y=20x2+40x+20 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 下列函数中，哪些是二次函数？ 小试牛刀 答：①、③是. 2.如果函数 是二次函数， 则 k 的值一定是_____. 0 1.如果函数 是二次函数， 则 k 的值一定是_______. 0 或 3 敢于创新 解析：1.令 k2－3k＝0.解得 k1＝0，k2＝3. 2.令 k2－3k＝0，且 k－3 ≠ 0.解得 k＝0. 解：由二次函数的定义得 当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数. ∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数. 解得m=1. 建立二次函数的模型 二 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。 xm xm （40-2x ）m 解： 由题意得： y=x(40-2x) 即 y=-2x2+40x (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为 y =-2x2+40x=-2×122+40×12 =192（m2） y m2 例3 一个二次函数 . （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 将x=0.5代入函数关系式 （2）当k=2时， 典例精析 二次函数的值 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 归纳小结 二次函数的值 -1 (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 5. . _____ 1 2 2 ) 2 1 ( . 4 = + + - = k k k x k y 则 是二次函数， 函数 6. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. ｛ 方法：用待定系数法可求二次函数表达式。 ｛ 例3 y = (m + 3)x （1）m 取什么值时，此函数是 正比例函数？ （2）m 取什么值时，此函数是 二次函数？ m2-7 能力提升： 19 课堂小结 1.二次函数的概念是什么？ 2.辨析二次函数时应注意哪些问题？ 1、 一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数,叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、函数的两边均为整式。 3.易错点 (1)二次函数要同时保证x的最高次数为2和二次项系数不为0； (2)容易漏掉二次项系数不为0. 板书设计 21 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y．显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 ． y＝6x2 ① 求函数值实际上就是求代数式的值．用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变． 归纳 当x＝________时，函数y＝x2＋5x－5的函数值为1. 题型五、确定自变量的取值 例5： －6或1 $